4-1-3巧求周长.题库教师版.pdf

1例题精讲例题精讲基本概念周长：封闭图形一周的长度就是这个图形的周长面积：物体的表面或封闭图形的大小，叫做它们的面积基本公式：长方形的周长(长宽)，面积长宽2正方形的周长边长，正方形的面积边长边长4常用方法：对于基本的长方形和正方形图形，可以直接用公式求出它们的周长和面积，对于一些不规则的比较复杂的几何图形，我们可以采用转化的数学思想方法割补成基本图形，利用长方形、正方形周长及面积计算的公式求解转化是一种重要的数学思想方法，在转化过程中要抓住“变”与“不变”两个部分转化后的图形虽然形状变了，但其周长和面积不应该改变，所以在求解过程中不能遗漏掉某些线段的长度或某部分图形的面积转化的目标是将复杂的图形转化为周长或面积可求的图形寻求正确有效的解题思路，意味着寻找一条摆脱困境、绕过障碍的途径因此，我们在解决数学问题时，思考的着重点就是要把所需解决的问题转化为已经能够解决的问题也就是说，在直接求解不容易或很难找到解题途径的问题时，我们往往转化问题的形式，从侧面或反面寻找突破口，知道最终把它转化成一个或若干个能解决的问题这种解决问题的思想在数学中叫“化归”，它是数学思维中重要的思想和方法原有图形结构原有图形结构在几何中，有许多图形是由一些基本图形组合、拼凑而成的这样的图形我们称为不规则图形不规则图形的面积往往无法直接应用公式计算那么，不规则图形的面积怎样去计算呢？对称、旋转、平移这几种几何变换就是解决这类面积问题的手段平移：平移：在平面图形的计算中，常常要将一个平面图形移动到平面上的另一个位置进行计算其中，将图形沿一个固定方向的移动叫做平移，一个图形经过平行移动不改变其形状与大小，所以图形面积是保持不变的利用图形的平移，可以使面积计算问题的解法简捷明快，颇有新意割补：割补：割补法在我国古代叫“出入相补原理”，我国古代魏晋时期著名的数学家刘徽在九章算术注中就明确地提出“出入相补，各从其类”的出入相补原理这个原理的内容是几何图形经过分、合、移、补所拼凑成的新图形，它的面积不变旋转：旋转：在平面图形的割补中，有时要将一个图形绕定点旋转到一个新的位置，产生一种新的图形结构，图形在转动过程中形状大小不发生改变利用这种新的图形结构可以帮我们解决面积的计算问题巧求周长巧求周长对称对称旋转旋转平移平移新的图形结构新的图形结构在原有图形结构中在原有图形结构中解决问题较困难解决问题较困难在新的图形结构中在新的图形结构中解决问题较容易解决问题较容易2对称：对称：平面图形中有许多简单漂亮的图形都是轴对称图形轴对称图形沿对称轴折叠，轴两侧可以完全重合也就是说，如果一个图形是轴对称图形，那么对称轴平分这个图形的面积熟悉轴对称图形这个性质，对面积计算会有很大帮助代换：代换：在几何计算中，对有关数量进行适当的等量代换也是解决问题的已知技巧本讲主要通过求一些不规则图形的周长，体会一种转化思想，重点在于把不规则图形转化为规则图形的方法，包括平移、旋转、割补、差不变原理，通过这些方法的学习，让学生体会求周长的技巧，提高学生的观察能力、动手操作能力、综合运用能力【例例 1】求图中所有线段的总长求图中所有线段的总长(单位：厘米单位：厘米)2134EDCBA【解析】要注意到，题目所求的是图中所有线段的总长，而图中的线段，并不仅仅是AB、BC、CD、DE四段，还包括AC、BE等等，因此不能简单地将图中标示的线段长度进行求和同时应该注意到，43ACABBC；3 126BEBCCDDE，等等因此，为了计算图中所有线段的总长，需要先计算 AB、BC、CD、DE 这四条线段分别被累加了几次这里，可以按照每条线段分别是由几部分组成的加以讨论：由 1 段组成的线段共有 4 条，即 AB、BC、CD、DE，而求和过程中 AB、BC、CD、DE 这四条线段各被累加了 1 次类似地考虑到，由 2 段组成的线段共有 3 条，求和过程中 AB、DE 各被累加了 1 次，BC、CD 各被累加了 2 次由 3 段组成的线段共有 2 条，求和过程中 AB、DE 各被累加了 1 次，BC、CD 各被累加了 2 次由 4 段组成的线段只有 AE，其中 AB、BC、CD、DE 各被计算了 1 次综上所述，AB、DE 各被计算了 4 次，BC、CD 各被计算了 6 次因而图中所有线段的总长度为：44263 148 厘米【例例 2】如图所示，一个大长方形被三条线段分成了四个小长方形，各条线段长度见图如图所示，一个大长方形被三条线段分成了四个小长方形，各条线段长度见图(单位：厘米单位：厘米)求：求：图中所有长方形的周长之和图中所有长方形的周长之和21342【解析】类似于上题，题目中所说的长方形，并不只包括最小的几个长方形，因此需要先求出每条线段在求和过程中被累加了多少次因为没从大长方形的长上找到一条线段，就能对应地找到大长方形内的一个长方形，所以可以利用上一个问题的结论来解决这个问题当然，要考虑到，每个长方形都有两条长和两条宽，因此计算过程中应该注意不要漏算先考虑大长方形的长上各边：应用上一道题目的结论，每条边上长为 4、3、1、2 的线段分别被计算了 4、6、6、4 次然后再考虑大长方形的宽：因为共有432 110 个长方形，所以长度为 2 的宽被计算了10 220次故总周长可以用下式计算得到：24 43 6 1 62 42 20136 厘米【例例 3】如图，正方形的边长为如图，正方形的边长为，被分割成如下，被分割成如下个小长方形，求这个小长方形，求这个小长方形的所有周长之和个小长方形的所有周长之和412123【解析】4445256【巩固巩固】（“希望杯希望杯”第一试）如右图，正方形第一试）如右图，正方形的边长是的边长是厘米，过正方形内的任意两点画直线，可厘米，过正方形内的任意两点画直线，可ABCD6把正方形分成把正方形分成个小长方形。这个小长方形。这个小长方形的周长之和是多少厘米？个小长方形的周长之和是多少厘米？99ABCD【解析】从总体考虑，在求这个小长方形的周长之和时，、这四条边被用了 次，其9ABBCCDDA1余四条虚线被用了次，所以个小长方形的周长之和是：（厘米）。296462472【例例 4】下图表示一块地，四周都用篱笆围起来，转弯处都是直角已知西边篱笆长下图表示一块地，四周都用篱笆围起来，转弯处都是直角已知西边篱笆长米，南边篱笆长米，南边篱笆长17米四周篱笆长多少米？米四周篱笆长多少米？23不不不不1723 不不不不1723DCBA【解析】因为这块地的东边和北边的篱笆转弯处是直角，可以将东西方向的篱笆平移到最外边得到线段，AD将南北方向的篱笆平移到最外边得到线段，则折线的长等于折线的长BDACBADB所以东边和北边篱笆的长分别和西边、南边的篱笆长相等列式为：四周篱笆长为：(米)2317280（）【巩固巩固】(希望杯培训题希望杯培训题)右图的周长是右图的周长是 分米分米6不 不7不不【解析】把那些与水平方向平行的小线段都”放”下来，恰好与底边一致；把竖直方向的小线段都依次”贴到”左边，恰好贴满左边，因此多有的短横线的长的和为分米，所有的短竖线的长的和为分米，67图形的周长为(分米)67226（）【巩固巩固】计算右边图形的周长计算右边图形的周长(单位：厘米单位：厘米)。41510【解析】要求这个图形的周长，似乎不可能，因为缺少条件。但是，我们仔细观察这个图形，发现它的每一个角都是直角，所以，我们可以将图中右上缺角处的线段分别向上、向右平行移动到虚线处(见右下图)，这样正好移补成一个长方形。求长方形的周长就易如反掌了。所以图形的周长是：(厘米)。(1015)250【巩固巩固】下图是一个锯齿状的零件，每一个锯齿的两条线段都长下图是一个锯齿状的零件，每一个锯齿的两条线段都长 2 厘米，求这个零件的周长厘米，求这个零件的周长 【解析】平移法，将锯齿状的零件转化成平行四边形，两组对边相等都等于 24 厘米，所以这个零件的周长是 242=48(厘米)【例例 5】下图中标出的数表示每边长，单位是厘米它的周长是多少厘米？下图中标出的数表示每边长，单位是厘米它的周长是多少厘米？【解析】平移转化为求长方形的周长，长方形的长 5+6=11(厘米)，宽 1+3=4(厘米)，周长(11+4)2=30(厘米)，(5+6)+(1+3)2=30(厘米)，它的周长是 30 厘米【巩固巩固】右图是由七个长右图是由七个长 5 厘米、宽厘米、宽 3 厘米的相同长方形经过竖放、横放而成的图形求这个图形的周长？厘米的相同长方形经过竖放、横放而成的图形求这个图形的周长？【解析】平移法(3+5)3+3+52+6(5-3)2=76(厘米)【例例 6】一个周长是一个周长是 20 厘米的正方形，剪下一个周长是厘米的正方形，剪下一个周长是 6 厘米的正方形，剩下的图形的周长是厘米的正方形，剩下的图形的周长是 (写出所有可能的结果写出所有可能的结果)【解析】周长为 6 厘米的正方形的边长为：(厘米)，周长为 20 厘米的正方形的边长为641.5(厘米)，在一个正方形中剪下一个小正方形有两种情况：20455图 1图 2对于图 1 的周长，与原来正方形的周长相等，为 20 厘米；图 2 的周长，观察可以发现，比原来正方形的周长多了两条小正方形的边，即为：(厘米)201.5223【例例 7】求下图的周长求下图的周长 【解析】通过平移转化为右上图，周长等于大长方形周长加上 AB、CD 的长，即有周长为(50+35)2+102=190(厘米)【巩固巩固】求右图的周长求右图的周长 【解析】140 厘米【巩固巩固】下图的小正方形边长为下图的小正方形边长为 1 厘米这个图形的外沿的周长是多少厘米？厘米这个图形的外沿的周长是多少厘米？【解析】28 厘米【例例 8】如下图是某校的平面图，已知线段如下图是某校的平面图，已知线段 a120 米，米，b130 米，米，c70 米，米，d60 米，米，l250 米杨老米杨老师每天早晨绕学校跑师每天早晨绕学校跑 3 圈，问每天跑多少米？圈，问每天跑多少米？【解析】平移法转化为长方形再求(120130+60)(70+250)233780(米)【例例 9】(第七届第七届”小机灵杯小机灵杯”数学竞赛初赛数学竞赛初赛)下面两张图中，周长较大的是下面两张图中，周长较大的是 (在横线上填写表示在横线上填写表示图名的字母图名的字母)6第8题 141410BA【解析】通过平移比较发现比多两小段边，得的周长较大BAB【巩固巩固】如下图，正方形操场边长如下图，正方形操场边长 100 米，一只蚂蚁沿甲地走了一圈，另一只蚂蚁沿乙地走了一圈，谁走的米，一只蚂蚁沿甲地走了一圈，另一只蚂蚁沿乙地走了一圈，谁走的路长？路长？它们各走了多少米？它们各走了多少米？【解析】我们分别求甲、乙的周长甲的周长可转化为长方形周长(如图)，即为(100+50+30)2=360(米)再求乙的周长 乙的周长等于长方形周长加上 2 个 30 米，即为(100+50)2+302=360(米)所以它俩走的一样长【巩固巩固】求右图所示图形的周长求右图所示图形的周长(单位：分米单位：分米)501050【解析】这道题最简单的方法也是用平移法来解下面我们来看一个基本解法这是一个组合图形，由两个矩形组成，不要误认为两个矩形周长的和就是组合图形的周长仔细观察图形可以发现：右边矩形的右边边长可以移到左边，这样就可以使左边的矩形变得完整所以，这个组合图形的周长就是左边矩形的周长再加上右边矩形的一条已知边长的倍2即：(分米)50102502220（）【例例 10】如图是一个机器零件的侧面图，图中每一条最短线段长如图是一个机器零件的侧面图，图中每一条最短线段长 5 厘米，这个零件高厘米，这个零件高 30 厘米，求这个厘米，求这个零件侧面的周长是多少厘米？零件侧面的周长是多少厘米？【解析】采用平移，零件侧面的周长等于长方形周长加上内部 10 条最短线段长，即(57+30)2+510=180(厘米)【例例 11】下图是一面砖墙的平面图，每块砖长下图是一面砖墙的平面图，每块砖长 20 厘米，高厘米，高 8 厘米，像图中那样一层、二层厘米，像图中那样一层、二层一共摆十一共摆十层，求摆好后这十层砖墙的周长是多少？层，求摆好后这十层砖墙的周长是多少？7 【解析】我们仍然可以通过平移转化为长方形来求长方形的长是 10 块砖的长度，即 2010=200(厘米)，宽是 10 块砖的宽度，即 810=80(厘米)，所以十层砖墙的周长是(200+80)2=560(厘米)【巩固巩固】把长把长 2 厘米、宽厘米、宽 1 厘米的长方形砖块摆成如图的形状，求该图形的周长？厘米的长方形砖块摆成如图的形状，求该图形的周长？【解析】66 厘米【例例 12】右图是由右图是由个同样大小的正方形组成的，如果这个图形的面积是个同样大小的正方形组成的，如果这个图形的面积是平方厘米，那么它的周长平方厘米，那么它的周长16400是多少厘米？是多少厘米？【解析】考虑此类问题我们即可以局部分析，各个突破，也可以纵观全局整体思考每个正方形的面积为(平方厘米)，所以每个正方形的边长是厘米观察右图，这个40016255图形的周长从上下方向来看是由条正方形的边组成，从左右方向来看是由7214条正方形的边组成，所以其周长为厘米423420 5 14520170【巩固巩固】图中是由周长都是图中是由周长都是 20 厘米的小正方形组成的，它的周长是多少厘米？厘米的小正方形组成的，它的周长是多少厘米？【解析】160cm【巩固巩固】下图是由边长为下图是由边长为 1 厘米的厘米的 11 个正方形堆成的个正方形堆成的“土土”字图形试求出其周长字图形试求出其周长【解析】周长是由 24 条 1 厘米的边长组成，所以周长=124=24(厘米)【巩固巩固】如图，每个小方格是一个正方形，如果该图总面积是如图，每个小方格是一个正方形，如果该图总面积是 52 个平方单位，试求这个图形的外沿周长是个平方单位，试求这个图形的外沿周长是多少个长度单位？多少个长度单位？8【解析】40 个长度单位【例例 13】图图、图、图都是由完全相同的正方形拼成的，并且图都是由完全相同的正方形拼成的，并且图的周长是的周长是厘米，那么图厘米，那么图的周长是的周长是22多少厘米？多少厘米？(2)(1)【解析】图的周长是小正方形边长的倍，图的周长是小正方形边长的倍，因此，图的周长为1218厘米2212 1833【例例 14】边长是边长是厘米的厘米的 个正方形拼成一个长方形，这个长方形的周长是多少？个正方形拼成一个长方形，这个长方形的周长是多少？153【解析】想一想，把几个正方形拼合在一起，拼出的长方形的周长与所有正方形的周长相差多少呢？由 个大小相同正方形拼成一个长方形，只有一种拼法，就是把三个正方形排成一排于是拼成的3长方形的长是厘米，宽是厘米15 34515所以长方形的周长是：(长宽)(厘米)245152120（）【巩固巩固】用一块长用一块长 分米，宽分米，宽分米的长方形纸板与两块边长分米的长方形纸板与两块边长分米的正方形纸板拼成一个正方形拼成的分米的正方形纸板拼成一个正方形拼成的844正方形的周长是多少分米？正方形的周长是多少分米？48【解析】两块边长分米的正方形纸可以拼成一个长 分米，宽分米的长方形纸板，与原有的一块 分米，4848宽分米的长方形纸板的面积一样大，而且这两个长方形两条宽的和正好等于一条长所以，拼法4如图所示然后运用正方形的周长计算公式很容易求出它的周长拼成的正方形的周长是：(分米)8432【例例 15】两个大小相同的正方形拼成了一个长方形，长方形的周长比原来的两个正方形周长的和减少了两个大小相同的正方形拼成了一个长方形，长方形的周长比原来的两个正方形周长的和减少了厘米，原来一个正方形的周长是多少厘米？厘米，原来一个正方形的周长是多少厘米？6【解析】先想一想，减少的厘米相当于正方形的几条边的边长呢？6把两个正方形拼成一个长方形时，拼成的长方形的周长比原来两个正方形的 条边减少了条边(如82图所示)而这两条边的和正好是减少的厘米，所以，正方形的边长是厘米，原来一个正方形的周6623长是厘米3412所以原来一个正方形的周长是：(厘米)62412【总结】通过这个例题，可以看出，求组合图形及一些特殊图形的周长与面积，一定要仔细观察，善于发现其中内在的联系，找出未知与已知的关系，将问题转化，从而得到解决下面我们来学习几种求几何图形周长和面积的技巧9【例例 16】(年年”希望杯希望杯”第一试第一试)右图中的阴影部分右图中的阴影部分是正方形，线段是正方形，线段长长厘米，线段厘米，线段2007BCGFFH18长长厘米，则长方形厘米，则长方形的周长是的周长是 厘米厘米AC24ADHEHGFEDACB【解析】本题需要注意，长方形的宽应等于正方形的边长ADHEBCGF由于图中阴影部分是个正方形，其四条边的边长都相等，且等于长方形的宽BCGFADHE的和应为长方形的长加上正方形的边长，所以等于长方形的长与宽FHACADHEBCGFADHE之和所以长方形的周长为：厘米ADHE(1824)284【巩固巩固】如图，在长方形如图，在长方形中，中，是正方形已知是正方形已知，求长方形，求长方形的周的周ABCDEFGH10cmAF 7cmHC ABCD长长HGFEDCBA【解析】通过观察发现是长方形的长与宽，所以长方形的周长是()AFHGABCD107234（cm【例例 17】如右图所示，如右图所示，在一个正方形内画中、小两个正方形，使三个正方形具有公共顶点，这样大正方在一个正方形内画中、小两个正方形，使三个正方形具有公共顶点，这样大正方形被分割成了正方形区域甲，和形被分割成了正方形区域甲，和形区域乙和丙甲的周长为形区域乙和丙甲的周长为厘米，乙的边长是甲的周长的厘米，乙的边长是甲的周长的L4倍，丙的周长是乙的周长的倍，丙的周长是乙的周长的倍，那么丙的周长为多少厘米？倍，那么丙的周长为多少厘米？长多少厘米？长多少厘米？1.51.5EF不不不JIFEHGDCBA【解析】乙的周长实际上是正方形的周长(我们可将乙与甲重合的两条线段分别向左、向下平移)，同AHJE样的，丙的周长也就是正方形的周长由于，所以丙的周ABCD4 1.56AE 6 1.59AD 长为厘米，9436(厘米)642EFAEAF【例例 18】用若干个边长都是用若干个边长都是厘米的平行四边形与三角形厘米的平行四边形与三角形(如右图如右图)拼接成一个大的平行四边形，已知大拼接成一个大的平行四边形，已知大2平行四边形的周长是平行四边形的周长是厘米，那么平行四边形和三角形各有多少个？厘米，那么平行四边形和三角形各有多少个？244【解析】大平行四边形上、下两边的长为厘米，观察上边，每厘米有两个平行四边形(24422)21206的边，所以共有小平行四边形个，而三角形的数量与小平行四边形的数量相等，也1206240 是个40【巩固巩固】用若干个边长都是用若干个边长都是厘米的平行四边形与三角形厘米的平行四边形与三角形(如右图如右图)拼接成一个大的平行四边形，已知大平行拼接成一个大的平行四边形，已知大平行2四边形的周长是四边形的周长是厘米，那么平行四边形和三角形各有多少个？厘米，那么平行四边形和三角形各有多少个？23610【解析】大平行四边形上、下两边的长为厘米，观察上边，每厘米有两个平行四边形(23622)21166的边，所以有三角形个，小平行四边形个11661921923838139【例例 19】有有个小长方形，它们的长和宽分别相等，用这个小长方形，它们的长和宽分别相等，用这个小长方形拼成的大长方形个小长方形拼成的大长方形(如图如图)的面积是的面积是99平方厘米，求这个大长方形的周长平方厘米，求这个大长方形的周长45【解析】从图上可以知道，小长方形的长的倍等于宽的倍，所以长是宽的倍每个小长方形45541.25的面积为平方厘米，所以宽宽，所以宽为厘米，长为厘米大长方形的45951.25522.5周长为厘米(2.5422.5)229【巩固巩固】右图的长方形被分割成右图的长方形被分割成个正方形，已知原长方形的面积为个正方形，已知原长方形的面积为平方厘米，求原长方形的长与宽平方厘米，求原长方形的长与宽5120【解析】大正方形边长的倍等于小正方形边长的 倍，所以大正方形的边长是小正方形边长的倍，大正231.5方形的面积是小正方形面积的倍，所以小正方形面积为平方厘1.5 1.52.25120(2.2523)16米，所以小正方形的边长为厘米，大正方形的边长为厘米，原长方形的长为厘米，宽464312为厘米4610【例例 20】冯大叔给儿子做玩具用冯大叔给儿子做玩具用8个一样大的小长方形拼图，拼出了如图甲、乙的两种图案：图案甲是个一样大的小长方形拼图，拼出了如图甲、乙的两种图案：图案甲是一个正方形，图案乙是一个大的长方形；图案甲的中间留下了边长是一个正方形，图案乙是一个大的长方形；图案甲的中间留下了边长是2的正方形小洞求小长的正方形小洞求小长cm方形的长和宽？方形的长和宽？乙甲【解析】由甲图可以看出小长方形的长加上小正方形的边长等于小长方形的两个宽，由乙图可以看出，设小长方形的宽为，则小长方形的长为，根据乙图小长方形的 个长等于小长方形x cm(22)x cm3的个宽，列方程得，解得，所以小长方形的长为，宽为553(22)xx6x 10cm6 cm【例例 21】用同样的长方形条砖，在一个盆的周围砌成一个正方形边框，如右图所示已知外面大正方形用同样的长方形条砖，在一个盆的周围砌成一个正方形边框，如右图所示已知外面大正方形的周长是的周长是264厘米，里面小正方形的面积是厘米，里面小正方形的面积是900平方厘米，每块长方形条砖的长是平方厘米，每块长方形条砖的长是_厘厘米，米，宽是宽是_厘米厘米【解析】外面大正方形的边长为厘米，里面小正方形的边长为厘米，从图中可以看出，长方26446630形的宽为厘米，长方形的长为厘米(6630)218(6618)22411【例例 22】(第二届希望杯复试第二届希望杯复试)将若干个边长为将若干个边长为 的正六边形的正六边形(即单位六边形即单位六边形)拼接起来，得到一个拼接图拼接起来，得到一个拼接图1形，如图：形，如图：不 不=14不 不=12不 不=10不 不=6那么，要拼接成周长等于那么，要拼接成周长等于的拼接图形，需要多少个单位六边形？画出对应的一种图形的拼接图形，需要多少个单位六边形？画出对应的一种图形18【解析】先从变化中观察，寻找规律细心观察四个图形，可以发现：在拼接图形时，每增加一个单位六边形，拼接图形的周长要么不增加，要么增加或，如图24不 不 不 不 4不 不 不 不 2不 不 不 不 不因为两个单位六边形拼接的图形的周长只能是，因为，1018108，所以当拼接图形的周长等于时，所拼接的单位六边形有个、8444222222184个、个或个如图：567个：4个：5个：6个：7