资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题（每题4分，共48分）
1．已知线段c是线段a和b的比例中项，若a=1，b=2,则c=( )
A．1 B． C． D．
2．下列判断正确的是（ ）
A．任意掷一枚质地均匀的硬币10次，一定有5次正面向上
B．天气预报说“明天的降水概率为40%”，表示明天有40%的时间都在降雨
C．“篮球队员在罚球线上投篮一次，投中”为随机事件
D．“a是实数，|a|≥0”是不可能事件
3．如图，矩形ABCD中，E是AB的中点，将△BCE沿CE翻折，点B落在点F处，tan∠BCE=．设AB=x，△ABF的面积为y，则y与x的函数图象大致为
A． B．
C． D．
4．如图，由一些完全相同的小正方体搭成的几何体的左视图和俯视图，则这个几何体的主视图不可能是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在矩形中，，在上取一点，沿将向上折叠，使点落在上的点处，若四边形与矩形相似，则的长为（ ）
A． B． C． D．1
6．设，则代数式的值为（ ）
A．－6 B．－5 C． D．
7．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、，点是轴正半轴上的一点，当时，则点的纵坐标是（ ）
A．2 B． C． D．
8．已知反比例函数y＝2x﹣1，下列结论中，不正确的是（ ）
A．点（﹣2，﹣1）在它的图象上
B．y随x的增大而减小
C．图象在第一、三象限
D．若x＜0时，y随x的增大而减小
9．下列事件中必然发生的事件是（ ）
A．一个图形平移后所得的图形与原来的图形不全等
B．不等式的两边同时乘以一个数，结果仍是不等式
C．200件产品中有5件次品，从中任意抽取6件，至少有一件是正品
D．随意翻到一本书的某页，这页的页码一定是偶数
10．将一个直角三角形绕它的最长边（斜边）旋转一周得到的几何体为（ ）
A． B． C． D．
11．已知关于x的一元二次方程x2-（2k+1）x+k+1=0， 若x1+x2=3，则k的值是（ ）
A．0 B．1 C．﹣1 D．2
12．甲、乙、丙、丁四人各进行了次射击测试，他们的平均成绩相同，方差分别是则射击成绩最稳定的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
二、填空题（每题4分，共24分）
13．记函数的图像为图形，函数的图像为图形，若N与没有公共点，则的取值范围是___________.
14．如图，D在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，E是边AD一个动点，将△ABE沿BE对折成△BEF，则线段DF长的最小值为_____．
15．若一个圆锥的侧面展开图是一个半径为3cm，圆心角为120°的扇形，则该圆锥的侧面面积为_____cm2（结果保留π）．
16．如图，一块飞镖游戏板由大小相等的小正方形格子构成，向游戏板随机投掷一枚飞镖，击中黑色区域的概率是______．
17．若m+=3，则m2+=_____．
18．已知A（﹣4，y1），B（﹣1，y2）,C(1,y3） 是反比例函数y=﹣图象上的三个点，把y1与、的的值用小于号连接表示为________．
三、解答题（共78分）
19．（8分）如图是某区域的平面示意图，码头A在观测站B的正东方向，码头A的北偏西方向上有一小岛C，小岛C在观测站B的北偏西方向上，码头A到小岛C的距离AC为10海里．
（1）填空： 度， 度；
（2）求观测站B到AC的距离BP（结果保留根号）．
20．（8分）一个布袋中有红、黄、绿三种颜色的球各一个，从中先摸出一个球，记录下它的颜色，将它放回布袋，搅匀，再摸出一个球，记录下它的颜色．
（1）试用树形图或列表法中的一种列举出这两次摸出球的颜色所有可能的结果；
（2）求两次摸出球中至少有一个绿球的概率．
21．（8分）（1）解方程
（2）计算：
22．（10分）如图1，AB、CD是圆O的两条弦，交点为P.连接AD、BC．OM⊥ AD，ON⊥BC，垂足分别为M、N.连接PM、PN.
图1 图2
（1）求证：△ADP ∽△CBP；
（2）当AB⊥CD时，探究PMO与PNO的数量关系，并说明理由；
（3）当AB⊥CD时，如图2，AD=8,BC=6, ∠MON=120°，求四边形PMON的面积.
23．（10分）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x=1，且抛物线经过A（﹣1，0）、C（0，﹣3）两点，与x轴交于另一点B．
（1）求这条抛物线所对应的函数关系式；
（2）在抛物线的对称轴x=1上求一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，并求出此时点M的坐标；
（3）设点P为抛物线的对称轴x=1上的一动点，求使∠PCB=90°的点P的坐标．
24．（10分）如图1，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，如果点E由点B出发沿BC方向向点C匀速运动，同时点F由点D出发沿DA方向向点A匀速运动，它们的速度分别为每秒2cm和1cm，FQ⊥BC，分别交AC、BC于点P和Q，设运动时间为t秒（0＜t＜4）．
（1）连接EF，若运动时间t＝秒时，求证：△EQF是等腰直角三角形；
（2）连接EP，当△EPC的面积为3cm2时，求t的值；
（3）在运动过程中，当t取何值时，△EPQ与△ADC相似．
25．（12分）如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC=120 mm，高AD=80mm，要把它加工成矩形零件PQMN，使矩形PQMN的边QM在BC上，其余两个项点P，N分别在AB，AC上．
（1）当矩形的边PN=PQ时，求此时矩形零件PQMN的面积；
（2）求这个矩形零件PQMN面积S的最大值．
26．如图，在△ABC中，点D在边AB上，DE∥BC，DF∥AC，DE、DF分别交边AC、BC于点E、F，且．
（1）求的值；
（2）联结EF，设=，=，用含、的式子表示．
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、B
【分析】根据线段比例中项的概念，可得a：c=c：b，可得c2=ab=2，故c的值可求，注意线段不能为负．
【详解】解：∵线段c是a、b的比例中项，∴c2=ab=2，
解得c=±，
又∵线段是正数，∴c=．
故选：B．
【点睛】
本题考查了比例中项的概念，注意：求两个数的比例中项的时候，应开平方．求两条线段的比例中项的时候，负数应舍去．
2、C
【分析】直接利用概率的意义以及随机事件的定义分别分析得出答案．
【详解】A、任意掷一枚质地均匀的硬币10次，一定有5次正面向上，错误；
B、天气预报说“明天的降水概率为40%”，表示明天有40%的时间都在降雨，错误；
C、“篮球队员在罚球线上投篮一次，投中”为随机事件，正确；
D、“a是实数，|a|≥0”是必然事件，故此选项错误．
故选C．
【点睛】
此题主要考查了概率的意义以及随机事件的定义，正确把握相关定义是解题关键．
3、D
【解析】设AB＝x，根据折叠，可证明∠AFB=90°，由tan∠BCE=，分别表示EB、BC、CE，进而证明△AFB∽△EBC，根据相似三角形面积之比等于相似比平方，表示△ABF的面积.
【详解】设AB＝x，则AE＝EB＝x，由折叠，FE＝EB＝x，则∠AFB＝90°，由tan∠BCE＝，∴BC＝x，EC＝x，∵F、B关于EC对称，∴∠FBA＝∠BCE，∴△AFB∽△EBC，∴，∴y＝，故选D.
【点睛】
本题考查了三角函数，相似三角形，三角形面积计算，二次函数图像等知识，利用相似三角形的性质得出△ABF和△EBC的面积比是解题关键.
4、A
【分析】由左视图可得出这个几何体有2层，由俯视图可得出这个几何体最底层有4个小正方体．分情况讨论即可得出答案．
【详解】解：由题意可得出这个几何体最底层有4个小正方体，有2层，
当第二层第一列有1个小正方体时，主视图为选项B；
当第二层第二列有1个小正方体时，主视图为选项C；
当第二层第一列,第二列分别有1个小正方体时，主视图为选项D；
故选：A．
【点睛】
本题考查的知识点是简单几何体的三视图，根据所给三视图能够还原几何体是解此题的关键．
5、C
【分析】可设AD=x，由四边形EFDC与矩形ABCD相似，根据相似多边形对应边的比相等列出比例式，求解即可．
【详解】解：∵AB=1，
可得AF=BE=1，
设DF=x，则AD=x+1，FE=1，
∵四边形EFDC与矩形ABCD相似，
∴，
即：，
解得，（不合题意舍去），
经检验是原方程的解，
∴DF的长为，
故选C.
【点睛】
本题考查了翻折变换（折叠问题），相似多边形的性质，本题的关键是根据四边形EFDC与矩形ABCD相似得到比例式．
6、A
【分析】把a2+2a-12变形为a2+2a+1-13，根据完全平方公式得出（a+1）2-13，代入求出即可.
【详解】∵，
∴
= a2+2a+1-13
=（a+1）2-13
=（-1+1）2-13
=7-13
=-6.
故选A.
【点睛】
本题考查了二次根式的化简，完全平方公式的运用，主要考查学生的计算能力．题目比较好，难度不大．
7、D
【分析】首先过点B作BD⊥AC于点D，设BC=a，根据直线解析式得到点A、B坐标，从而求出OA 、OB的长，易证△BCD ≌△ACO，再根据相似三角形的对应边成比例得出比例式，即可解答.
【详解】解：过点B作BD⊥AC于点D，设BC=a，
∵直线与轴、轴分别交于点、，
∴A(-2,0)，B（0,1），即OA=2， OB=1，AC=，
∵，
∴AB平分∠CAB，
又∵BO⊥AO，BD⊥AC，
∴BO= BD=1，
∵∠BCD =∠ACO，∠CDB=∠COA =90°，
∴△BCD ≌△ACO，
∴ ，即a:=1:2
解得：a1=， a2=-1（舍去），
∴OC=OB+BC=+1=，所以点C的纵坐标是.
故选：D.
【点睛】
本题考查相似三角形的判定与性质、角平分线的性质的综合运用，解题关键是恰当作辅助线利用角平分线的性质.
8、B
【分析】由反比例函数的关系式，可以判断出（-2，-1）在函数的图象上，图象位于一、三象限，在每个象限内y随x的增大而减小，进而作出判断，得到答案．
【详解】A、把（﹣2，﹣1）代入y＝2x﹣1得：左边＝右边，故本选项正确，不符合题意；
B、k＝2＞0，在每个象限内，y随x的增大而减小，故本选项错误，符合题意；
C、k＝2＞0，图象在第一、三象限，故本选项正确，不符合题意；
D、若x＜0时，图象在第三象限内，y随x的增大而减小，故本选项正确，不符合题意；
不正确的只有选项B，
故选：B．
【点睛】
考查反比例函数的图象和性质，特别注意反比例函数的增减性，当k＞0，在每个象限内，y随x的增大而减小；当k<0，在每个象限内，y随x的增大而增大．
9、C
【分析】直接利用随机事件、必然事件、不可能事件分别分析得出答案．
【详解】A、一个图形平移后所得的图形与原来的图形不全等，是不可能事件，故此选项错误；
B、不等式的两边同时乘以一个数，结果仍是不等式，是随机事件，故此选项错误；
C、200件产品中有5件次品，从中任意抽取6件，至少有一件是正品，是必然事件，故此选项正确；
D、随意翻到一本书的某页，这页的页码一定是偶数，是随机事件，故此选项错误；
故选C．
【点睛】
此题主要考查了随机事件、必然事件、不可能事件，正确把握相关定义是解题关键．
10、D
【解析】如图旋转，想象下，可得到D.
11、B
【分析】利用根与系数的关系得出x1+x2=2k+1，进而得出关于k的方程求出即可．
【详解】解：设方程的两个根分别为x1，x2，
由x1+x2=2k+1=3，
解得：k=1，
故选B．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，能把求k的值的问题转化为解方程得问题是关键．
12、C
【分析】根据方差的意义，即可得到答案．
【详解】∵丙的方差最小，
∴射击成绩最稳定的是丙，
故选C．
【点睛】
本题主要考查方差的意义，掌握方差越小，一组数据越稳定，是解题的关键．
二、填空题（每题4分，共24分）
13、或
【分析】分两种情况讨论：①M在N的上方，因为抛物线开口向上，故只要函数与函数组成的方程组无解即可.②M在N的下方，因为抛物线开口向上，对称轴为直线x=3，故只需考虑当x=-2和6时在直线的下方即可.
【详解】①M在N的上方，因为抛物线开口向上，故只要函数与函数组成的方程组无解即可.可得：
整理得：
∴
②M在N的下方，因为抛物线开口向上，对称轴为直线x=3，故只需考虑当x=-2和6时在直线的下方即可.
当x=-2时，4+12-5a+3＜6，解得：
当x=6时，36-36-5a+3＜-2，解得：a＞1
故
综上所述：或
【点睛】
本题考查的是二次函数与一次函数是交点问题，本题的关键在于二次函数的取值范围，需考虑二次函数的开口方向.
14、
【分析】连接DF、BD，根据DF＞BD−BF可知当点F落在BD上时，DF取得最小值，且最小值为BD−BF的长，然后根据矩形的折叠性质进一步求解即可.
【详解】如图，连接DF、BD，
由图可知，DF＞BD−BF，
当点F落在BD上时，DF取得最小值，且最小值为BD−BF的长，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD=4、BC=6，
∴BD=，
由折叠性质知AB=BF=4，
∴线段DF长度的最小值为BD−BF=，
故答案为：.
【点睛】
本题主要考查了矩形的折叠的性质，熟练掌握相关概念是解题关键.
15、3π
【详解】．
故答案为：．
16、
【分析】求出黑色区域面积与正方形总面积之比即可得答案.
【详解】图中有9个小正方形，其中黑色区域一共有3个小正方形，
所以随意投掷一个飞镖，击中黑色区域的概率是，
故答案为．
【点睛】
本题考查了几何概率，熟练掌握概率的计算公式是解题的关键.注意面积之比几何概率．
17、7
【解析】分析：把已知等式两边平方，利用完全平方公式化简，即可求出答案．
详解：把m+=3两边平方得：（m+）2=m2++2=9，
则m2+=7，
故答案为：7
点睛：此题考查了分式的混合运算，以及完全平方公式，熟练掌握运算法则及公式是解本题的关键．
18、
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征可分别计算出y1，y2，y3的值即可判断．
【详解】∵A（﹣4，y1），B（﹣1，y2）,C(1,y3） 是反比例函数y=﹣图象上的三个点，
∴，，，
∴，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，由反比例函数确定函数值即可．
三、解答题（共78分）
19、（1）30，45；（2）（5－5）海里
【分析】
（1）由题意得：，，由三角形内角和定理即可得出的度数；
（2）证出是等腰直角三角形，得出，求出，由题意得出，解得即可．
【详解】
解：（1）由题意得：，，
；
故答案为30，45；
（2），
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
解得：，
答：观测站B到AC的距离BP为海里．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，通过解直角三角形得出方程是解题的关键．
20、（1）详见解析；（2）
【分析】（1）利用树状图列举出所有可能，注意是放回小球再摸一次；
（2）列举出符合题意的各种情况的个数，再根据概率公式解答即可．
【详解】（1）列树状图如下：
故（红，红），（红，黄），（红，绿），（黄，红），（黄，黄），（黄，绿），（绿，红），（绿，黄），（绿，绿）共9种情况
（2）由树状图可知共有3×3＝9种可能，“两次摸出球中至少有一个绿球”的有5种，所以概率是：.
【点睛】
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
21、（1），；（2）
【分析】（1）利用配方法解一元二次方程即可得出答案；
（2）先将sin45°和tan60°的值代入，再计算即可得出答案.
【详解】解：（1）方程整理得：，
配方得：，即，
开方得：，
解得：，；
（2）原式
.
【点睛】
本题考查的是解一元二次方程和三角函数值，比较简单，需要牢记特殊三角函数值.
22、（1）证明见解析；（2）PMO=PNO，理由见解析；（3）S平行四边形PMON=6
【分析】（1）利用同弧所对的圆周角相等即可证明相似,（2）由OM⊥ AD，ON⊥BC得到M、N为AB、CD的中点，再由直角三角形斜边中线等于斜边一半即可解题,（3）由三角形中位线性质得∠QBC=90°,进而证明∠QCB=∠PBD,得到四边形MONP为平行四边形即可解题.
【详解】（1）因为同弧所对的圆周角相等，所以∠A=∠C, ∠D=∠B,所以△ADP∽△CBP.
（2）PMO=PNO
因为OM⊥ AD，ON⊥BC，
所以点M、N为AB、CD的中点，
又AB⊥CD，
所以PM=AD,PN=BC，
所以，∠A=∠APM，∠C=∠CPN，
所以∠AMP=∠CNP,得到PMO与PNO.
（3）连接CO并延长交圆O于点Q，连接BD.
因为AB⊥CD，AM=AD,CN=BC，
所以PM=AD,PN=BC.
由三角形中位线性质得，ON=.
因为CQ为圆O直径，所以∠QBC=90°，
则∠Q+∠QCB=90°，
由∠DPB=90°，得∠PDB+∠PBD=90°，而∠PDB=∠Q，
所以∠QCB=∠PBD,所以BQ=AD，
所以PM=ON.
同理可得，PN=OM.所以四边形MONP为平行四边形.
S平行四边形PMON=6
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质,圆的基本知识,圆周角的性质,直角三角形的性质,平行四边形的判定,综合性强,熟悉圆周角的性质是求解（1）的关键,利用斜边中线等于斜边一半这一性质是求解（2）的关键,证明四边形MONP为平行四边形是求解（3）的关键.
23、（1）y＝x2－2x－1．（2）M（1，－2）．（1 P（1，－4）．
【解析】分析：（1）根据抛物线的对称轴可求出B点的坐标，进而可用待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）由于A、B关于抛物线的对称轴直线对称，若连接BC，那么BC与直线x=1的交点即为所求的点M；可先求出直线BC的解析式，联立抛物线对称轴方程即可求得M点的坐标；
（1）若∠PCB=90°，根据△BCO为等腰直角三角形，可推出△CDP为等腰直角三角形，根据线段长度求P点坐标．
详解：（1）∵抛物线的对称轴为x=1，且A（﹣1，0），∴B（1，0）；
可设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x﹣1），由于抛物线经过C（0，﹣1），则有：a（0+1）（0﹣1）=﹣1，a=1，∴y=（x+1）（x﹣1）=x2﹣2x﹣1；
（2）由于A、B关于抛物线的对称轴直线x=1对称，那么M点为直线BC与x=1的交点；
由于直线BC经过C（0，﹣1），可设其解析式为y=kx﹣1，则有：1k﹣1=0，k=1；
∴直线BC的解析式为y=x﹣1；
当x=1时，y=x﹣1=﹣2，即M（1，﹣2）；
（1）设经过C点且与直线BC垂直的直线为直线l，作PD⊥y轴，垂足为D；
∵OB=OC=1，∴CD=DP=1，OD=OC+CD=4，∴P（1，﹣4）．
点睛：本题考查了二次函数解析式的确定、轴对称的性质以及特殊三角形的性质等知识，难度适中．
24、（1）详见解析；（2）2秒；（3）2秒或秒或秒．
【分析】（1）由题意通过计算发现EQ＝FQ＝6，由此即可证明；
（2）根据题意利用三角形的面积建立方程即可得出结论；
（3）由题意分点E在Q的左侧以及点E在Q的右侧这两种情况，分别进行分析即可得出结论．
【详解】解：（1）证明：若运动时间t＝秒，则
BE＝2×＝（cm），DF＝（cm），
∵四边形ABCD是矩形
∴AD＝BC＝8（cm），AB＝DC＝6（cm），∠D＝∠BCD＝90°
∵∠D＝∠FQC＝∠QCD＝90°，
∴四边形CDFQ也是矩形，
∴CQ＝DF，CD＝QF＝6（cm），
∴EQ＝BC﹣BE﹣CQ＝8﹣﹣＝6（cm），
∴EQ＝QF＝6（cm），
又∵FQ⊥BC，
∴△EQF是等腰直角三角形；
（2）由（1）知，CE＝8﹣2t，CQ＝t，
在Rt△ABC中，tan∠ACB＝＝，
在Rt△CPQ中，tan∠ACB＝＝＝，
∴PQ＝t，
∵△EPC的面积为3cm2，
∴S△EPC＝CE×PQ＝×（8﹣2t）×t＝3，
∴t＝2秒，
即t的值为2秒；
（3）解：分两种情况：
Ⅰ．如图1中，点E在Q的左侧．
①∠PEQ=∠CAD时，△EQP∽△ADC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠CAD=∠ACB，
∵△EQP∽△ADC，
∴∠CAD=∠QEP，
∴∠ACB=∠QEP，
∴EQ=CQ，
∴CE=2CQ，
由（1）知，CQ=t，CE=8-2t，
∴8-2t=2t，
∴t=2秒；
②∠PEQ=∠ACD时，△EPQ∽△CAD，
∴，
∵FQ⊥BC，
∴FQ∥AB，
∴△CPQ∽△CAB，
∴，即，
解得：，
∴，
解得：；
Ⅱ．如图2中，点E在Q的右侧．
∵0＜t＜4，
∴点E不能与点C重合，
∴只存在△EPQ∽△CAD，
可得，即，
解得：；
综上所述，t的值为2秒或秒或秒时，△EPQ与△ADC相似．
【点睛】
本题是相似形综合题，主要考查矩形的性质和判定，三角函数，相似三角形的判定和性质，用方程的思想解决问题是解本题的关键．
25、（1）矩形零件PQMN的面积为2304mm2;（2）这个矩形零件PQMN面积S的最大值是2400mm2.
【分析】（1）设PQ=xmm，则AE=AD-ED=80-x，再证明△APN∽△ABC，利用相似比可表示出,根据正方形的性质得到（80-x）=x,求出x的值，然后结合正方形的面积公式进行解答即可．
（2）由（1）可得，求此二次函数的最大值即可．
【详解】解：（1）设PQ=xmm，
易得四边形PQDE为矩形，则ED=PQ=x，
∴AE=AD-ED=80-x，
∵PN∥BC，
∴△APN∽△ABC，
，
即，
，
∵PN=PQ，
，
解得x=1．
故正方形零件PQMN面积S=1×1=2304（mm2）．
（2）
当时，S有最大值==2400（mm2）．
所以这个矩形零件PQMN面积S的最大值是2400mm2.
【点睛】
本题考查综合考查相似三角形性质的应用以及二次函数的最大值的求法．
26、 (1)见解析；（2）=﹣．
【解析】（1）由 得，由DE//BC得，再由DF//AC即可得；
（2）根据已知可得 ， ，从而即可得.
【详解】（1）∵ ， ∴，
∵DE//BC，∴，
又∵DF//AC，∴ ；
（2）∵，∴，
∵，与方向相反 ， ∴ ，
同理： ，
又∵，∴.
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