资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．将抛物线y＝2x2向左平移3个单位得到的抛物线的解析式是( )
A．y＝2x2+3 B．y＝2x2﹣3
C．y＝2(x+3)2 D．y＝2(x﹣3)2
2．钓鱼岛是中国的固有领土，位于中国东海，面积为4400000m2，数据4400000用科学记数法表示为（ ）
A．4.4×106 B．44×105 C．4×106 D．0.44×107
3．如图，在△ABC中，点D在BC上，DE∥AC，DF∥AB，下列四个判断中不正确的是( )
A．四边形AEDF是平行四边形
B．若∠BAC＝90°，则四边形AEDF是矩形
C．若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是矩形
D．若AD⊥BC且AB＝AC，则四边形AEDF是菱形
4．若，则的值为（ ）
A．0 B．5 C．-5 D．-10
5．方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
6．如图，点是以为直径的半圆上的动点，于点，连接，设，则下列函数图象能反映与之间关系的是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．在平面直角坐标系中，将抛物线向左平移1个单位，再向下平移1个单位后所得抛物线的表达式为( )
A． B．
C． D．
8．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧，点是这段弧所在圆的圆心，，点是的中点,D是AB的中点，且，则这段弯路所在圆的半径为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，AB，AM，BN 分别是⊙O 的切线，切点分别为 P，M，N．若 MN∥AB，∠A＝60°，AB＝6，则⊙O 的半径是（ ）
A． B．3 C． D．
10．正六边形的周长为6，则它的面积为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．如图，在直角坐标系中，已知点、，对连续作旋转变换，依次得到，则的直角顶点的坐标为__________．
12．若，则锐角α的度数是_____．
13．如图，在⊙O中，半径OC与弦AN垂直于点D，且AB＝16，OC＝10，则CD的长是_____．
14．如图，分别以等边三角形的每个顶点为圆心、以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段圆弧围成的曲边三角形称为勒洛三角形，若这个等边三角形的边长为3，那么勒洛三角形（曲边三角形）的周长为_____．
15．从1,2,3三个数字中任取两个不同的数字，其和是奇数的概率是_________．
16．已知关于x的一元二次方程x2+kx﹣6=0有一个根为﹣3，则方程的另一个根为_____．
17．若关于x的一元二次方程x2＋4x＋k﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是____．
18．已知，．且，设，则的取值范围是______．
三、解答题(共66分)
19．（10分）如图，是的弦，为半径的中点，过作交弦于点，交于点，且．
（1）求证：是的切线；
（2）连接、，求的度数：
（3）如果，，，求的半径．
20．（6分）如图，已知二次函数y＝ax1+4ax+c（a≠0）的图象交x轴于A、B两点（A在B的左侧），交y轴于点C．一次函数y＝﹣x+b的图象经过点A，与y轴交于点D（0，﹣3），与这个二次函数的图象的另一个交点为E，且AD：DE＝3：1．
（1）求这个二次函数的表达式；
（1）若点M为x轴上一点，求MD+MA的最小值．
21．（6分）随着移动互联网的快速发展，基于互联网的共享单车应运而生．为了解某小区居民使用共享单车的情况，某研究小组随机采访该小区的10位居民，得到这10位居民一周内使用共享单车的次数分别为：17，12，15，20，17，0，7，26，17，1．
（1）这组数据的中位数是 ，众数是 ；
（2）计算这10位居民一周内使用共享单车的平均次数；
（3）若该小区有200名居民，试估计该小区居民一周内使用共享单车的总次数．
22．（8分）如图，在△ABC中，AB=，∠B=45°，．求△ABC的周长．
23．（8分）已知x＝1是一元二次方程（a﹣2）x2+（a2﹣3）x﹣a+1＝0的一个根，求a的值．
24．（8分）已知，为⊙的直径，过点的弦∥半径，若．求的度数．
25．（10分）如图，为的直径，点为延长线上的一点，过点作的切线，切点为，过两点分别作的垂线，垂足分别为，连接．
求证：（1）平分；
（2）若，求的长．
26．（10分）以下各图均是由边长为1的小正方形组成的网格，图中的点A、B、C、D均在格点上．
（1）在图①中，PC：PB＝ ．
（2）利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法．
①如图②，在AB上找一点P，使AP＝1．
②如图③，在BD上找一点P，使△APB∽△CPD．
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、C
【解析】按照“左加右减，上加下减”的规律，从而选出答案.
【详解】y＝2x2向左平移3个单位得到的抛物线的解析式是y＝2（x＋3）2，故答案选C.
【点睛】
本题主要考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变换规律，解本题的要点在于熟知“左加右减，上加下减”的变化规律.
2、A
【解析】试题分析：根据科学记数法是把一个大于10的数表示成a×10n的形式（其中1≤a＜10，n是正整数）．确定a×10n（1≤|a|＜10，n为整数），1100000有7位，所以可以确定n=7-1=6，再表示成a×10n的形式即可，即1100000=1．1×2．故答案选A．
考点：科学记数法．
3、C
【解析】A选项，∵在△ABC中，点D在BC上，DE∥AC，DF∥AB，
∴DE∥AF，DF∥AE，
∴四边形AEDF是平行四边形；即A正确；
B选项，∵四边形AEDF是平行四边形，∠BAC=90°，
∴四边形AEDF是矩形；即B正确；
C选项，因为添加条件“AD平分∠BAC”结合四边形AEDF是平行四边形只能证明四边形AEDF是菱形，而不能证明四边形AEDF是矩形；所以C错误；
D选项，因为由添加的条件“AB=AC，AD⊥BC”可证明AD平分∠BAC，从而可通过证∠EAD=∠CAD=∠EDA证得AE=DE，结合四边形AEDF是平行四边形即可得到四边形AEDF是菱形，所以D正确.
故选C.
4、C
【分析】将转换成的形式，再代入求解即可．
【详解】
将代入原式中
原式
故答案为：C．
【点睛】
本题考查了代数式的运算问题，掌握代入法是解题的关键．
5、A
【分析】此题考查一元二次方程解的情况的判断．利用判别式来判断，当时，有两个不等的实根；当时，有两个相等的实根；当时，无实根；
【详解】题中，
所以次方程有两个不相等的实数根，
故选A；
6、C
【解析】设圆的半径为，连接,求出，根据CA⊥AB,求出，即可求出函数的解析式为.
【详解】设：圆的半径为，连接，
则，
，即是圆的切线，则，
则
则
图象为开口向下的抛物线，
故选：．
【点睛】
本题考查了圆、三角函数的应用,熟练掌握函数图像是解题的关键.
7、B
【分析】直接关键二次函数的平移规律“左加右减，上加下减”解答即可.
【详解】将抛物线向左平移1个单位，再向下平移1个单位后所得抛物线的表达式为：
故选：B
【点睛】
本题考查的是二次函数的平移，掌握其平移规律是关键，需注意：二次函数平移时必须化成顶点式.
8、A
【分析】根据题意，可以推出AD＝BD＝20，若设半径为r，则OD＝r﹣10，OB＝r，结合勾股定理可推出半径r的值．
【详解】解：，
，
在中，，
设半径为得：，
解得：，
这段弯路的半径为
故选A．
【点睛】
本题主要考查垂径定理的应用、勾股定理的应用，关键在于设出半径为r后，用r表示出OD、OB的长度．
9、D
【分析】根据题意可判断四边形ABNM为梯形，再由切线的性质可推出∠ABN=60°，从而判定△APO≌△BPO，可得AP=BP=3，在直角△APO中，利用三角函数可解出半径的值.
【详解】解：连接OP，OM，OA，OB，ON
∵AB，AM，BN 分别和⊙O 相切，
∴∠AMO=90°，∠APO=90°，
∵MN∥AB，∠A＝60°，
∴∠AMN=120°，∠OAB=30°，
∴∠OMN=∠ONM=30°，
∵∠BNO=90°，
∴∠ABN=60°，
∴∠ABO=30°，
在△APO和△BPO中，
，
△APO≌△BPO（AAS），
∴AP=AB=3，
∴tan∠OAP=tan30°==，
∴OP=，即半径为.
故选D.
【点睛】
本题考查了切线的性质，切线长定理，解直角三角形，全等三角形的判定和性质，关键是说明点P是AB中点，难度不大.
10、B
【分析】首先根据题意画出图形，即可得△OBC是等边三角形，又由正六边形ABCDEF的周长为6，即可求得BC的长，继而求得△OBC的面积，则可求得该六边形的面积．
【详解】解：如图，连接OB，OC，过O作OM⊥BC于M，
∴∠BOC=×360°=60°，
∵OB=OC，
∴△OBC是等边三角形，
∵正六边形ABCDEF的周长为6，
∴BC=6÷6=1，
∴OB=BC=1，
∴BM=BC=，
∴OM= ，
∴S△OBC=×BC×OM= ，
∴该六边形的面积为： ．
故选：B．
【点睛】
此题考查了圆的内接六边形的性质与等边三角形的判定与性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、
【分析】根据勾股定理列式求出AB的长，再根据第四个三角形与第一个三角形的位置相同可知每三个三角形为一个循环组依次循环，然后求出一个循环组旋转前进的长度，再用2019除以3，根据商为673可知第2019个三角形的直角顶点为循环组的最后一个三角形的顶点，求出即可．
【详解】解：∵点A（-3，0）、B（0，4），
∴AB==5，
由图可知，每三个三角形为一个循环组依次循环，一个循环组前进的长度为：4+5+3=12，
∵2019÷3=673，
∴△2019的直角顶点是第673个循环组的最后一个三角形的直角顶点，
∵673×12=8076，
∴△2019的直角顶点的坐标为（8076，0）．
故答案为（8076，0）.
【点睛】
本题主要考查了点的坐标变化规律，仔细观察图形得到每三个三角形为一个循环组依次循环是解题的关键，也是求解的难点．图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．
12、45°．
【分析】直接利用特殊角的三角函数值得出答案．
【详解】解：∵，
∴α＝45°．
故答案为：45°．
【点睛】
本题考查的知识点特殊角的三角函数值，理解并熟记特殊角的三角函数值是解题的关键.
13、4
【解析】根据垂径定理以及勾股定理即可求答案．
【详解】连接OA，
设CD＝x，
∵OA＝OC＝10，
∴OD＝10﹣x，
∵OC⊥AB，
∴由垂径定理可知：AB＝16，
由勾股定理可知：102＝82+（10﹣x）2
∴x＝4，
∴CD＝4，
故答案为：4
【点睛】
本题考查垂径定理，解题的关键是熟练运用垂径定理以及勾股定理，本题属于基础题型．
14、3π．
【分析】利用弧长公式计算．
【详解】曲边三角形的周长=33π．
故答案为：3π．
【点睛】
本题考查了弧长的计算：弧长公式：l(弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R)．也考查了等边三角形的性质．
15、
【分析】由1，2，3三个数字组成的无重复数字的两位数字共有6个，其中奇数有4个，由此求得所求事件的概率．
【详解】解：由1，2，3三个数字组成的无重复数字的两位数字共有3×2=6个，其中奇数有2×2=4个，
故从中任取一个数，则恰为奇数的概率是 ，
故答案为：．
【点睛】
本题考查古典概型及其概率计算公式的应用，属于基础题．解题的关键是掌握概率公式进行计算．
16、1
【分析】设方程的另一个根为a，根据根与系数的关系得出a+（﹣3）=﹣k，﹣3a=﹣6，求出即可．
【详解】设方程的另一个根为a，
则根据根与系数的关系得：a+（﹣3）=﹣k，﹣3a=﹣6，
解得：a=1，
故答案为1．
【点睛】
本题考查了根与系数的关系和一元二次方程的解，能熟记根与系数的关系的内容是解此题的关键．
17、k≤5
【详解】解：由题意得，42-4×1×（k-1）≥0,
解之得
k≤5.
点睛:本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△>0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当△=0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当△<0时，一元二次方程没有实数根.
18、
【分析】先根据已知得出n=1-m，将其代入y中，得出y关于m的二次函数即可得出y的范围
【详解】解：∵
∴n=1-m，
∴
∵，
∴，
∴
当m=时，y有最小值，
当m=0时，y=1
当m=1时，y=1
∴
故答案为：
【点睛】
本题考查了二次函数的最值问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键
三、解答题(共66分)
19、（1）证明见解析； （2）30°；（3）．
【分析】（1）连接OB，由圆的半径相等和已知条件证明∠OBC＝90°，即可证明BC是⊙O的切线；
（2）连接OF，AF，BF，首先证明△OAF是等边三角形，再利用圆周角定理：同弧所对的圆周角是所对圆心角的一半即可求出∠ABF的度数；
（3）作CG⊥BE于G，如图，利用等腰三角形的性质得BG＝5，再证明∠OAB＝∠ECG，则sin∠ECG＝sin∠OAB＝，于是可计算出CE＝13，从而得到DE＝2，由，得， ，即可求出的半径.
【详解】连接．
，，
，，
又．
，
，
，
是的切线；
（2）连接OF，AF，BF，
，，
，
又，
是等边三角形，
，
．
（3）过点作于，
，，
，
∴，
在中，
，sin∠ECG＝sin∠OAB＝，
，，
又，
．
由，得：，
，
的半径为．
【点睛】
此题考查了切线的判定，以及相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．
20、（1）；（1）．
【分析】（1）先把D点坐标代入y＝﹣x+b中求得b，则一次函数解析式为y＝﹣x﹣3，于是可确定A（﹣6，0），作EF⊥x轴于F，如图，利用平行线分线段成比例求出OF＝4，接着利用一次函数解析式确定E点坐标为（4，﹣5），然后利用待定系数法求抛物线解析式；
（1）作MH⊥AD于H，作D点关于x轴的对称点D′，如图，则D′（0，3），利用勾股定理得到AD＝3，再证明Rt△AMH∽Rt△ADO，利用相似比得到MH＝AM，加上MD＝MD′，MD+MA＝MD′+MH，利用两点之间线段最短得到当点M、H、D′共线时，MD+MA的值最小，然后证明Rt△DHD′∽Rt△DOA，利用相似比求出D′H即可．
【详解】解：（1）把D（0，﹣3）代入y＝﹣x+b得b＝﹣3，
∴一次函数解析式为y＝﹣x﹣3，
当y＝0时，﹣x﹣3＝0，解得x＝﹣6，则A（﹣6，0），
作EF⊥x轴于F，如图，
∵OD∥EF，
∴＝＝，
∴OF＝OA＝4，
∴E点的横坐标为4，
当x＝4时，y＝﹣x﹣3＝﹣5，
∴E点坐标为（4，﹣5），
把A（﹣6，0），E（4，﹣5）代入y＝ax1+4ax+c得，解得，
∴抛物线解析式为；
（1）作MH⊥AD于H，作D点关于x轴的对称点D′，如图，则D′（0，3），
在Rt△OAD中，AD＝＝3，
∵∠MAH＝∠DAO，
∴Rt△AMH∽Rt△ADO，
∴＝，即＝，
∴MH＝AM，
∵MD＝MD′，
∴MD+MA＝MD′+MH，
当点M、H、D′共线时，MD+MA＝MD′+MH＝D′H，此时MD+MA的值最小，
∵∠D′DH＝∠ADO，
∴Rt△DHD′∽Rt△DOA，
∴＝，即＝，解得D′H＝，
∴MD+MA的最小值为．
【点睛】
此题主要考查二次函数综合，解题的关键是熟知二次函数的图像与性质、相似三角形的判定与性质及数形结合能力.
21、（1）16，17；（2）14；（3）2．
【分析】（1）将数据按照大小顺序重新排列，计算出中间两个数的平均数即是中位数，出现次数最多的即为众数；
（2）根据平均数的概念，将所有数的和除以10即可；
（3）用样本平均数估算总体的平均数．
【详解】（1）按照大小顺序重新排列后，第5、第6个数分别是15和17，所以中位数是（15+17）÷2＝16，17出现3次最多，所以众数是17，
故答案为16，17；
（2）14，
答：这10位居民一周内使用共享单车的平均次数是14次；
（3）200×14＝2
答：该小区居民一周内使用共享单车的总次数为2次．
【点睛】
本题考查了中位数、众数、平均数的概念以及利用样本平均数估计总体．抓住概念进行解题，难度不大，但是中位数一定要先将所给数据按照大小顺序重新排列后再求，以免出错．
22、
【分析】过点A作AD⊥BC于D，在Rt△ABD中解直角三角形可得出AD、BD的长，再在Rt△ACD中解直角三角形求出CD的长，利用勾股定理求出AC，然后根据三角形的周长公式列式计算即可得解．
【详解】解：过点A作AD⊥BC，交BC于点D．
∵Rt△ADB中，∠B=45°，∴∠BAD=∠B=45°，
∴AD=BD，
又AB=，
∴AD=AB·sin∠B=×=1=BD．
∵Rt△ACD中，，
∴DC=2，∴BC=BD+DC=1．
又Rt△ADC中，AD=1，DC=2，
∴AC==．
∴△ABC的周长为．
【点睛】
本题考查了解直角三角以及勾股定理，作辅助线构造出直角三角形是解题的关键．
23、a＝﹣2
【分析】根据一元二次方程的解的定义将x＝1代入方程即可求出答案．
【详解】解：将x＝1代入（a﹣2）x2+（a2﹣3）x﹣a+1＝0，得（a﹣2）+（a2﹣3）﹣a+1＝0，
∴a2﹣4＝0，
∴a＝±2，
由于a﹣2≠0，
故a＝﹣2.
【点睛】
本题考查一元二次方程的解，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解的定义，本题属于基础题型．
24、∠C=30°
【分析】根据平行线的性质求出∠AOD，根据圆周角定理解答．
【详解】解：∵OA∥DE，
∴∠AOD=∠D=60°，
由圆周角定理得，∠C= ∠AOD=30°
【点睛】
本题考查的是圆周角定理和平行线的性质，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．
25、（1）见解析；（2）
【分析】（1）连接OM，可证OM∥AC，得出∠CAM=∠AMO，由OA=OM可得∠OAM=∠AMO，从而可得出结果；
（2）先求出∠MOP的度数，OB的长度，则用弧长公式可求出的长．
【详解】解：（1）连接OM，
∵PE为⊙O的切线，∴OM⊥PC，
∵AC⊥PC，∴OM∥AC，
∴∠CAM=∠AMO，
∵OA=OM，∠OAM=∠AMO，
∴∠CAM=∠OAM，即AM平分∠CAB；
（2）∵∠APE=30°，
∴∠MOP=∠OMP﹣∠APE=90°﹣30°=60°，
∵AB=4，∴OB=2，
∴的长为．
【点睛】
本题考查了圆的切线的性质，弧长的计算，平行线的判定与性质以及等腰三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题．
26、（1）1：1；（2）①如图2所示，点P即为所要找的点；见解析；②如图1所示，作点A的对称点A′，见解析；
【分析】（1）根据两条直线平行、对应线段成比例即可解答；
（2）①先用勾股定理求得AB的长，再根据相似三角形的判定方法即可找到点P；
②先作点A关于BD的对称点A'，连接A'C与BD的交点即为要找的点P.
【详解】解：（1）图1中，
∵AB∥CD，
∴，
故答案为1：1．
（2）
①如图2所示，点P即为所要找的点；
②如图1所示，作点A的对称点A′，
连接A′C，交BD于点P，
点P即为所要找的点，
∵AB∥CD，
∴△APB∽△CPD．
【点睛】
本题考查了相似三角形的做法，掌握相似三角形的判定方法是解答本题的关键.
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