资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题（每题4分，共48分）
1．下列运算正确的是（ ）
A．x6÷x3＝x2 B．（x3）2＝x5 C． D．
2．某人沿倾斜角为β的斜坡前进100m，则他上升的最大高度是( )m
A． B． C． D．
3．小明利用计算机列出表格对一元二次方程进行估根如表:那么方程的一个近似根是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，△ABC∽△ADE ， 则下列比例式正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，四边形ABCD是菱形，∠A=60°，AB=2，扇形BEF的半径为2，圆心角为60°，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
6．在半径为3cm的⊙O中，若弦AB＝3，则弦AB所对的圆周角的度数为（ ）
A．30° B．45° C．30°或150° D．45°或135°
7．已知反比例函数 y＝的图象如图所示，则二次函数 y =ax 2－2x和一次函数 y＝bx+a 在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A．° B．° C．° D．
8．在直角梯形ABCD中，AD//BC，∠B=90º，E为AB上一点，且ED平分∠ADC，EC平分∠BCD，则下列结论：①DE⊥EC；②点E是AB的中点；③AD∙BC=BE∙DE；④CD=AD+BC．其中正确的有（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④
9．抛物线的顶点为，与轴交于点，则该抛物线的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
10．的半径为，弦，，，则、间的距离是：（ ）
A． B． C．或 D．以上都不对
11．关于的一元二次方程有一个根是﹣1，若二次函数的图象的顶点在第一象限，设，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12．一元二次方程配方后化为( )
A． B． C． D．
二、填空题（每题4分，共24分）
13．在相似的两个三角形中,已知其中一个三角形三边的长是3，4，5，另一个三角形有一边长是2，则另一个三角形的周长是 ．
14．已知小明身高，在某一时刻测得他站立在阳光下的影长为.若当他把手臂竖直举起时，测得影长为，则小明举起的手臂超出头顶______.
15．二次函数图象与轴交于点，则与图象轴的另一个交点的坐标为__．
16．在直径为4cm的⊙O中，长度为的弦BC所对的圆周角的度数为____________.
17．如图，在四边形中，，，则的度数为______．
18．如图，一个宽为2 cm的刻度尺在圆形光盘上移动，当刻度尺的一边与光盘相切时，另一边与光盘边缘两个交点处的读数恰好是“2”和“10”（单位：cm），那么该光盘的直径是_____________cm．
三、解答题（共78分）
19．（8分）计算：（1）；（2）解方程
20．（8分）已知二次函数y=﹣x2+2x+m．
（1）如果二次函数的图象与x轴有两个交点，求m的取值范围；
（2）如图，二次函数的图象过点A（-1，0），与y轴交于点C，求直线BC与这个二次函数的解析式；
（3）在直线BC上方的抛物线上有一动点D，DEx轴于E点，交BC于F，当DF最大时，求点D的坐标，并写出DF最大值．
21．（8分）已知实数满足，求的值.
22．（10分）在水果销售旺季，某水果店购进一优质水果，进价为20元/千克，售价不低于20元/千克，且不超过32元/千克，根据销售情况，发现该水果一天的销售量y（千克）与该天的售价x（元/千克）满足如下表所示的一次函数关系．
销售量y（千克）
…
34.8
32
29.6
28
…
售价x（元/千克）
…
22.6
24
25.2
26
…
（1）某天这种水果的售价为23.5元/千克，求当天该水果的销售量．
（2）如果某天销售这种水果获利150元，那么该天水果的售价为多少元？
23．（10分）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点E，CF⊥AF，且CF=CE
（1）求证：CF是⊙O的切线；
（2）若sin∠BAC=，求的值．
24．（10分）如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点P为BC边上一点（不与B、C重合），连接PA，以P为旋转中心，将线段PA顺时针旋转90°，得到线段PD，连接DB．
（1）请在图中补全图形；
（2）∠DBA的度数．
25．（12分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BA＝BC，BD平分∠ABC．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）过点D作DE⊥BD，交BC的延长线于点E，若BC＝5，BD＝8，求四边形ABED的周长．
26．如图，四边形是平行四边形，、是对角线上的两个点，且．求证：．
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、D
【分析】分别根据同底数幂的乘法法则，幂的乘方运算法则，算术平方根的定义以及立方根的定义逐一判断即可．
【详解】解：A．x6÷x3＝x3，故本选项不合题意；
B．（x3）2＝x6，故本选项不合题意；
C.，故本选项不合题意；
D.，正确，故本选项符合题意．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了算术平方根、立方根、同底数幂的除法以及幂的乘方与积的乘方，熟记修改运算法则是解答本题的关键．
2、B
【分析】设他上升的最大高度是hm，根据坡角及三角函数的定义即可求得结果.
【详解】设他上升的最大高度是hm，由题意得
，解得
故选：B.
3、C
【分析】根据表格中的数据，0与最接近，故可得其近似根.
【详解】由表得，0与最接近，
故其近似根为
故答案为C.
【点睛】
此题主要考查对近似根的理解，熟练掌握，即可解题.
4、D
【解析】∵△ABC∽△ADE ， ∴，
故选D．
【点睛】本题考查相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应边成比例这一性质是解答此题的关键．
5、B
【分析】根据菱形的性质得出△DAB是等边三角形，进而利用全等三角形的判定得出△ABG≌△DBH，得出四边形GBHD的面积等于△ABD的面积，进而求出即可．
【详解】连接BD，
∵四边形ABCD是菱形，∠A=60°，
∴∠ADC=120°，
∴∠1=∠2=60°，
∴△DAB是等边三角形，
∵AB=2，
∴△ABD的高为，
∵扇形BEF的半径为2，圆心角为60°，
∴∠4+∠5=60°，∠3+∠5=60°，
∴∠3=∠4，
设AD、BE相交于点G，设BF、DC相交于点H，
在△ABG和△DBH中，
，
∴△ABG≌△DBH（ASA），
∴四边形GBHD的面积等于△ABD的面积，
∴图中阴影部分的面积是：S扇形EBF-S△ABD=
=．
故选B．
6、D
【分析】根据题意画出图形，连接OA和OB，根据勾股定理的逆定理得出∠AOB＝90°，再根据圆周角定理和圆内接四边形的性质求出即可．
【详解】解：如图所示，
连接OA，OB，
则OA＝OB＝3，
∵AB＝3，
∴OA2+OB2＝AB2，
∴∠AOB＝90°，
∴劣弧AB的度数是90°，优弧AB的度数是360°﹣90°＝270°，
∴弦AB对的圆周角的度数是45°或135°，
故选：D．
【点睛】
此题主要考查圆周角的求解，解题的关键是根据图形求出圆心角，再得到圆周角的度数.
7、C
【分析】先根据抛物线y=ax2-2x过原点排除A，再由反比例函数图象确定ab的符号，再由a、b的符号和抛物线对称轴确定抛物线与直线y=bx+a的位置关系，进而得解．
【详解】∵当x=0时，y=ax2-2x=0，即抛物线y=ax2-2x经过原点，故A错误；
∵反比例函数y=的图象在第一、三象限，
∴ab＞0，即a、b同号，
当a＜0时，抛物线y=ax2-2x的对称轴x=＜0，对称轴在y轴左边，故D错误；
当a＞0时，b＞0，直线y=bx+a经过第一、二、三象限，故B错误；
C正确．
故选C．
【点睛】
本题主要考查了一次函数、反比例函数、二次函数的图象与性质，根据函数图象与系数的关系进行判断是解题的关键，同时考查了数形结合的思想．
8、C
【解析】如图（见解析），过点E作，根据平行线的性质、角平分线的性质、相似三角形的判定定理与性质逐个判断即可.
【详解】如图，过点E作
，即
ED平分，EC平分
，即
，故①正确
又ED平分，EC平分，
点E是AB的中点，故②正确
在和中，
同理可证：
，故④正确
又
，即
在中，
，故③错误
综上，正确的有①②④
故选：C.
【点睛】
本题考查了平行线的性质、角平分线的性质、相似三角形的判定定理与性质，通过作辅助线，构造垂线和两组全等的三角形是解题关键.
9、A
【分析】设出抛物线顶点式，然后将点代入求解即可.
【详解】解：设抛物线解析式为，
将点代入得：，
解得：a=1，
故该抛物线的解析式为：，
故选：A.
【点睛】
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
10、C
【分析】先根据勾股定理求出OE=6，OF=8，再分AB、CD在点O的同侧时，AB、CD在点O的两侧时两种情况分别计算求出EF即可.
【详解】如图，过点O作OF⊥CD于F，交AB于点E，
∵，
∴OE⊥AB，
在Rt△AOE中，OA=10，AE=AB=8，∴OE=6，
在Rt△COF中，OC=10，CF=CD=6，∴OF=8，
当AB、CD在点O的同侧时，、间的距离EF=OF-OE=8-6=2；
当AB、CD在点O的两侧时，AB、CD间的距离EF=OE+OF=6+8=14，
故选：C.
【点睛】
此题考查了圆的垂径定理，勾股定理，在圆中通常利用垂径定理和勾股定理求半径、弦的一半、弦心距三者中的一个量.
11、D
【分析】二次函数的图象过点，则，而，则，，二次函数的图象的顶点在第一象限，则，，即可求解．
【详解】∵关于的一元二次方程有一个根是﹣1，
∴二次函数的图象过点，
∴，
∴，，
则，，
∵二次函数的图象的顶点在第一象限，
∴，，
将，代入上式得：
，解得：，
，解得：或，
故：，
故选D．
【点睛】
主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求与的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用
12、A
【分析】先把常数项移到方程的右边，再在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，即可.
【详解】
移项得：，
方程两边同加上9，得：，
即：，
故选A.
【点睛】
本题主要考查解一元二次方程的配方法，熟练掌握完全平方公式，是解题的关键.
二、填空题（每题4分，共24分）
13、8或6或
【分析】由一个三角形三边的长是3，4，5，可求得其周长，又由相似三角形周长的比等于相似比，分别从2与3对应，2与4对应，2与5对应，去分析求解即可求得答案．
【详解】解：∵一个三角形三边的长是3，4，5，
∴此三角形的周长为：3+4+5=12，
∵在相似的两个三角形中，另一个三角形有一边长是2，
∴若2与3对应，则另一个三角形的周长是：;
若2与4对应，则另一个三角形的周长是：;
若2与5对应，则另一个三角形的周长是:.
【点睛】
本题考查相似三角形性质．熟知相似三角形性质，解答时由于对应边到比发生变化，会得到不同到结果，本题难度不大，但易漏求，属于基础题．
14、0.54
【分析】在同一时刻，物体的高度和影长成比例，根据此规律列方程求解.
【详解】解：设小明举起的手臂超出头顶xm,根据题意得，
，
解得x=0.54
即举起的手臂超出头顶0.54m.
故答案为：0.54.
【点睛】
本题考查同一时刻物体的高度和影长成比例的投影规律，根据规律列比例式求解是解答此题的关键.，
15、
【分析】确定函数的对称轴为：，即可求解．
【详解】解：函数的对称轴为：，故另外一个交点的坐标为，
故答案为．
【点睛】
本题考查的是抛物线与轴的交点和函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数与坐标轴的交点、二次函数的对称轴是解题的关键．
16、60°或 120°
【分析】如下图所示，分两种情况考虑：D点在优弧CDB上或E点在劣弧BC上时，根据三角函数可求出∠OCF的大小，进而求出∠BOC的大小，再由圆周角定理可求出∠D、∠E大小，进而得到弦BC所对的圆周角．
【详解】解：分两种情况考虑：D在优弧CDB上或E在劣弧BC上时，可得弦BC所对的圆周角为∠D或∠E，如下图所示，
作OF⊥BC，由垂径定理可知，F为BC的中点，
∴CF=BF=BC=，
又直径为4cm，
∴OC=2cm，
在Rt△AOC中，cos∠OCF=，
∴∠OCF=30°，
∵OC=OB，
∴∠OCF=∠OBF=30°，
∴∠COB=120°，
∴∠D=∠COB=60°，
又圆内接四边形的对角互补，
∴∠E=120°，
则弦BC所对的圆周角为60°或120°．
故答案为：60°或120°．
【点睛】
此题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，锐角三角函数定义，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握圆周角定理是解本题的关键．
17、18°
【分析】根据题意可知A、B、C、D四点共圆，由余角性质求出∠DBC的度数,再由同弧所对的圆周角相等，即为所求 ．
【详解】解：∵在四边形中，，
∴A、B、C、D四点在同一个圆上,
∵∠ABC=90°，,
∴∠CBD=18°,
∴∠CAD=∠CBD=18°
故答案为：18°
【点睛】
本题考查的是四点共圆、互为余角的概念和同圆中同弧所对的圆周角相等．
18、10
【分析】本题先根据垂径定理构造出直角三角形，然后在直角三角形中已知弦长和弓形高，根据勾股定理求出半径，从而得解．
【详解】如图，设圆心为O，弦为AB，切点为C．如图所示．则AB＝8cm，CD＝2cm．
连接OC，交AB于D点．连接OA．
∵尺的对边平行，光盘与外边缘相切，
∴OC⊥AB．
∴AD＝4cm．
设半径为Rcm，则R2＝42＋（R−2）2，
解得R＝5，
∴该光盘的直径是10cm．
故答案为：10.
【点睛】
此题考查了切线的性质及垂径定理，建立数学模型是关键．
三、解答题（共78分）
19、（1）；（2）
【分析】（1）先把特殊角的三角函数值代入原式，然后再计算；
（2）利用配方法求解即可．
【详解】解：（1）原式
（2）∵，
∴，即，
则，
∴．
【点睛】
本题考查了特殊角的三角函数值以及用因式分解法解方程．记住特殊角的三角函数值是解题关键，
20、（1）m>-1；（2）y=-x+3，y=-x2+2x+3；（3）D（），DF=
【分析】（1）利用判别式解答即可；
（2）将点A的坐标代入抛物线y=-x2+2x+m即可求出解析式，由抛物线的解析式求出点B（3,0），设直线BC的解析式为y=kx+b，将B(3，0)，C(0，3)代入y=kx+b中即可求出直线BC的解析式；
（3）由点D在抛物线上，设坐标为（x，-x2+2x+3），F在直线AB上，坐标为（x，-x+3） ，得到DF=-x2+2x+3-(-x+3)=-x2+3x=，利用顶点式解析式的性质解答即可.
【详解】（1）当抛物线与x轴有两个交点时，∆>0，即4+4m>0，
∴m>-1；
（2）∵点A(-1，0)在抛物线y=-x2+2x+m上，
∴-1-2+m=0，
∴m=3，
∴抛物线解析式为y=-x2+2x+3，且C(0，3)，
当x=0时，-x2+2x+3=0，
解得x=-1，或x=3，
∴B（3,0），
设直线BC的解析式为y=kx+b，将B(3，0)，C(0，3)代入y=kx+b中，得:
，
解得，
∴直线AB的解析式为y=-x+3;
（3）点D在抛物线上，设坐标为（x，-x2+2x+3），F在直线AB上，坐标为（x，-x+3） ，
∴DF=-x2+2x+3-(-x+3)=-x2+3x=，
∴当时，DF最大，为，此时D的坐标为（）.
【点睛】
此题考查了利用判别式已知抛物线与坐标轴的交点个数求未知数的取值范围，利用待定系数法求函数解析式，利用顶点式解析式的性质求出线段的最值.
21、，2.
【分析】先根据分式的运算法则把所给代数式化简，然后解一元二次方程求出a的值，把能使分式有意义的值代入化简的结果计算即可.
【详解】解：原式
，
∵，
∴a(a+1)=0，
∴，，
∵，，
∴当时，原式.
【点睛】
本题考查了分式的计算和化简，以及一元二次方程的解法，熟练掌握分式的运算法则及一元二次方程的解法是解答本题的关键.
22、（1）当天该水果的销售量为2千克；（2）如果某天销售这种水果获利150元，该天水果的售价为3元．
【分析】（1）根据表格内的数据，利用待定系数法可求出y与x之间的函数关系式，再代入x=23.5即可求出结论；
（2）根据总利润每千克利润销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
【详解】（1）设y与x之间的函数关系式为y=kx+b，
将（22.6，34.8）、（24，32）代入y=kx+b，
，解得：，
∴y与x之间的函数关系式为y=﹣2x+1．
当x=23.5时，y=﹣2x+1=2．
答：当天该水果的销售量为2千克．
（2）根据题意得：（x﹣20）（﹣2x+1）=150，
解得：x1=35，x2=3．
∵20≤x≤32，
∴x=3．
答：如果某天销售这种水果获利150元，那么该天水果的售价为3元．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）根据表格内的数据，利用待定系数法求出一次函数关系式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
23、（1）见解析 （2）
【分析】（1）首先连接OC，由CD⊥AB，CF⊥AF，CF=CE，即可判定AC平分∠BAF，由圆周角定理即可得∠BOC=2∠BAC，则可证得∠BOC=∠BAF，即可判定OC∥AF，即可证得CF是⊙O的切线．
（2）由垂径定理可得CE=DE，即可得S△CBD=2S△CEB，由△ABC∽△CBE，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，易求得△CBE与△ABC的面积比，从而可求得的值．
【详解】（1）证明：连接OC．
∵CE⊥AB，CF⊥AF，CE=CF，
∴AC平分∠BAF，即∠BAF=2∠BAC．
∵∠BOC=2∠BAC，∴∠BOC=∠BAF．
∴OC∥AF．∴CF⊥OC．∴CF是⊙O的切线．
（2）解：∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，
∴CE=ED，∠ACB=∠BEC=90°．
∴S△CBD=2S△CEB，∠BAC=∠BCE．∴△ABC∽△CBE．
∴．∴．
24、（1）见解析；（2）90°
【分析】（1）依题意画出图形，如图所示；
（2）先判断出∠BPD＝∠EPA，从而得出△PDB≌△PAE，简单计算即可．
【详解】解：（1）依题意补全图形，如图所示，
（2）过点P作PE∥AC，
∴∠PEB＝∠CAB，
∵AB＝BC，
∴∠CBA＝∠CAB，
∴∠PEB＝∠PBE，
∴PB＝PE，
∵∠BPD+∠DPE＝∠EPA+∠DPE＝90°，
∴∠BPD＝∠EPA，
∵PA＝PD，
∴△PDB≌△PAE（SAS），
∵∠PBA＝∠PEB＝（180°﹣90°）＝45°，
∴∠PBD＝∠PEA＝180°﹣∠PEB＝135°，
∴∠DBA＝∠PBD﹣∠PBA＝90°．
【点睛】
本题考查了作图旋转变换，全等三角形的性质和判定，判断是解本题的关键，也是难点．
25、（1）详见解析；（2）1.
【分析】（1）根据平行线的性质得到∠ADB＝∠CBD，根据角平分线定义得到∠ABD＝∠CBD，等量代换得到∠ADB＝∠ABD，根据等腰三角形的判定定理得到AD＝AB，根据菱形的判定即可得到结论；
（2）由垂直的定义得到∠BDE＝90°，等量代换得到∠CDE＝∠E，根据等腰三角形的判定得到CD＝CE＝BC，根据勾股定理得到DE＝＝6，于是得到结论．
【详解】（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠CBD，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∴∠ADB＝∠ABD，
∴AD＝AB，
∵BA＝BC，
∴AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵BA＝BC，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）解：∵DE⊥BD，
∴∠BDE＝90°，
∴∠DBC+∠E＝∠BDC+∠CDE＝90°，
∵CB＝CD，
∴∠DBC＝∠BDC，
∴∠CDE＝∠E，
∴CD＝CE＝BC，
∴BE＝2BC＝10，
∵BD＝8，
∴DE＝＝6，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝AB＝BC＝5，
∴四边形ABED的周长＝AD+AB+BE+DE＝1．
【点睛】
本题考查了菱形的判定和性质，角平分线定义，平行线的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．
26、见解析
【分析】先根据平行四边形的性质得，，则，再证明得到AE＝CF．
【详解】证明：∵四边形为平行四边形
∴，
∴
∵
∴
∴
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对边相等；平行四边形的对角相等；平行四边形的对角线互相平分．
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