第二章.导数和微分答案解析.doc

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第二章 导数与微分

一 导数
（一） 导数的概念（见§2.1）
Ⅰ 内容要求
（ⅰ）理解导数的概念及其几何意义，了解函数的可导性与连续性之间的关系。
（ⅱ）了解导数作为函数变化率的实际意义，会用导数表达科学技术中一些量的变化率。
Ⅱ 基本题型
（ⅰ）用导数定义推证简单初等函数的导数公式
1． 用导数定义求证下列导数公式，并记忆下列公式（每题4分）
（1） （2） （3）
（4） （5） （6）
（ⅱ）确定简单基本初等函数在某点处的切线方程和法线方程
2．（6分）求在点处的切线方程及法线方程。
解：，，所以
切线方程为
法线方程为
3．（6分）求在点处的切线方程。
解：，，
切线方程为，即
（ⅲ）科技中一些量变化率的导数表示
4．填空题（每题4分）
（1）若物体的温度与时间的函数关系为，则该物体的温度随时间的变化速度为
（2）若某地区时刻的人口数为，则该地区人口变化速度为
Ⅲ 疑难题型
（ⅰ）分段函数在分段点处的导数计算
5. 讨论下列函数在处的连续性与可导性
（1）（7分）
解：在处连续但不可导
（2）（7分）
解：
不存在，
所以在处连续但不可导
6．（8分）已知：，求
解：=
，

（ⅱ）用导数定义解决的有关抽象函数的题型（自学）
7．（7分）设，求．
解：=
=+
=
8．（7分）对任取的，总有，且在处可导，
求证：在上处处可导。
解：，取

即在上处处可导。
（二） 初等函数求导（见A §2.2, §2.3）；（B §2.2）
Ⅰ 内容要求
（ⅰ）记忆基本导数表，掌握四则求导法则及复合求导法则，了解反函数求导法则。
（ⅱ）了解高阶导数的概念，掌握初等函数一阶及二阶导数的求法，自学求函数n阶导数的一般表达式。
Ⅱ 基本题型
（ⅰ）初等函数一阶及二阶导数的计算题型
9. 求下列函数的一阶导数（每题4分）
（1），
（2）
（3） ，
（4）

（5）
（6）
（7）
（8），
10. 求下列函数在给定点处的函数值（每题6分）
（1），求
解：

（2），求
解：，
（3），求
解：，
，
（4），求
解：

11. 求下列函数的二阶导数（每题7分）
（1） ，
（2） ，
（3） ，
（4） ，
（5）

（6），，

Ⅲ 提高题型
（ⅰ）有关抽象函数的求导问题
12．（7分）设函数和可导，且，试求：
解：
13．（7分）设二阶可导，设，求
解：=

14．（7分）试从导出：
解：
（ⅱ）有关n阶导数的计算题型（自学）
15. 求下列函数n阶导数的一般表达式（每题7分）
（1）
（2）
，

（3）
（4）
（5）
（二） 隐函数、参数方程所确定函数的求导问题及相关变化率问题
（A见§2.4）；（B见§2.3）
Ⅰ 内容要求
（ⅰ）掌握隐函数和参数方程所确定函数的一阶导数，并学会计算简单的二阶导数。
（ⅱ）学会对数求导法。
*（ⅲ）学会解决一些简单实际问题中的相关变化率问题。
Ⅱ 基本题型
（ⅰ）涉及隐函数和参数方程所确定函数的一阶导数问题
16. 求由下列方程所确定的隐函数的导数：
（1）（7分）
解：，
（2）（7分）
解：，
17．（7分）求曲线在点处的切线方程及法线方程。
解：方程求导得：，，
切线方程为 , 法线方程为
18．（7分）设，求
解：，=
19．求下列参数方程所确定的函数的导数
（1）（7分）
解： ，

（2）（7分）
解：，

20．（7分）求曲线在点处的切线方程及法线方程。
解：，
，，
切线方程为
法线方程为
Ⅲ 综合应用题型
（ⅰ）有关变化率及*相关变化率的实际问题
21．（8分）设质点的位移函数，其中和的单位为和，
问：（1）何时质点达到的速度？
（2）求时，质点运动的加速度。
解：（1）
（2）
22．（8分）在一新陈代谢实验中葡萄糖的含量为，其中的单位为，求后葡萄糖量的变化率。
解：
23．（8分）在温度不变的条件下，压缩气体的体积与压强之间的关系为，求体积关于压强的变化率。
解；
*24．（8分）设一球状雪球正在融化，其体积以的速率减小，问雪球直径为时，直径的减小率为多少？
解：

*25．（8分）设12：00时甲船位于乙船西处，甲船以的速度向南航行，而乙船以的速度向北航行，求16：00时两船距离的增加率。
解：
*26．（8分）一架巡逻直升机在距地面的高度以的常速沿着一条水平笔直的高速公路向前飞行，飞行员观察到迎面驶来一辆汽车，通过雷达测出直升机与汽车间的距离为，并且此距离以的速率减少，试求出汽车行进的速度。
解：，
即
Ⅳ 提高题型
（ⅰ）涉及隐函数和参数方程所确定函数的二阶导数题型
27．（7分）设确定了，求
解：，

28．（7分）设，求
解：，，

29．（7分）设确定了，求
解：（1） ，

（2）

，代入公式得
30．（7分）设由方程所确定，其中二阶可导，且，求
解： ，

，

31．（7分）设，且，求
解：，
，
二 微分（A见§2.5）；（B见§2.4）
Ⅰ 内容要求
（ⅰ）理解微分的概念，了解微分的概念中所包含的局部化线性思想。
（ⅱ）了解微分的四则运算法则和一阶微分形式不变性。
（ⅲ）自学微分在近似计算中的应用。
Ⅱ 基本题型
（ⅰ）求函数的微分题型
32. 求下列函数的微分
（1）（5分）

（2）（5分）

（3）（5分），

33. 在下列等式左端的括号中填入适当的函数，使等式成立（每空3分）
（1） （2）
（3） （4）
34. 填空（每空3分）
（1） （2）
Ⅲ 提高题型
（ⅰ）涉及微分在近似计算中的应用题型（自学）
35．（7分）计算球体体积时，要求精确度在2 %以内，问这时测量直径D的相对误差不能超过多少？
解：，则
，
36．（7分）已知单摆的振动周期，其中，为摆长，设原摆长为，为使周期增大，摆长约需加长多少？
解：
第二章 导数与微分计算测试题

一、选择题（7×4分）
1． 函数在处连续是在处可导的----------------------（ B ）
A充分但非必要条件 B必要但非充分条件 C充分且必要条件 D既不充也不必要条件
2． 设，则-----------------------------------------------------（ C ）
A B C D
3． 设，则-----------------------------------------------------（ A ）
A B C D
4． 设，则------------------------------------------------------------（ C ）
A B C D
5． 设，则----------------------------------------------------------------（ C ）
A B C D
6． 设，则-----------------------------（ C ）
A B C D
7．若函数，则在处---------------------------------（ D ）
A 导数为 B 导数为 C 导数为 D 导数不存在

二、 填空题（3×4分）
1．曲线在点处的切线方程为
2．
3．设，则 .

三、 计算题（4×7分）
1．设，求
解：,

2．设由所确定，求
解：，，
3．（1）设，求
（2） 求
（3） 求
解：（1）
（2），，
（3）

4．设在上可导，且，求
解：
，

四、（9分）设是由方程所确定的隐函数，求函数曲线在点处的切线方程及法线方程。
解：，
切线方程为
法线方程为
五、（8分）设，求
解：
另解：！
*六、（8分）一探照灯距公路最近点A处500 m，照到一辆汽车正经过A点，若汽车以
60 km / h的速度向前行驶，要使探照灯跟踪该汽车（如图），问当汽车距探照灯1000 m时，探照灯转动的角速度是多少？

A公路
60000t

汽车
500
1000
q

探照灯
解：
当时，，故

七、（7分）（两题中任选作一题）
（1）讨论函数在点的连续性及可微性。
解：，
所以在点处连续，
，
因而在点处不可微。
（2）设函数在点处具有连续的一阶导数，且，
求。
解：

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