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一元二次方程根的分布
一．知识要点
二次方程的根从几何意义上来说就是抛物线与轴交点的横坐标，所以研究方程的实根的情况，可从的图象上进行研究．
若在内研究方程的实根情况，只需考察函数与轴交点个数及交点横坐标的符号，根据判别式以及韦达定理，由的系数可判断出的符号，从而判断出实根的情况．
若在区间内研究二次方程，则需由二次函数图象与区间关系来确定．
表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况）
分布情况
两个负根即两根都小于0

两个正根即两根都大于0

一正根一负根即一个根小于0，一个大于0
大致图象（）

得出的结论

大致图象（）

得出的结论

综合结论
（不讨论）

表二：（两根与的大小比较）

分布情况
两根都小于即

两根都大于即

一个根小于，一个大于即

大致图象（）

得出的结论

大致图象（）

得出的结论

综合结论（不讨论）

表三：（根在区间上的分布）
分布情况
两根都在内
两根有且仅有一根在内
（图象有两种情况，只画了一种）
一根在内，另一根在内，
大致图象（）

得出的结论

或
大致图象（）

得出的结论

或
综合结论（不讨论）

根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间外，即在区间两侧，（图形分别如下）需满足的条件是

（1）时，； （2）时，

对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明：
（1）两根有且仅有一根在内有以下特殊情况：
若或，则此时不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为或，可以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间内，从而可以求出参数的值。如方程在区间上有一根，因为，所以，另一根为，由得即为所求；
方程有且只有一根，且这个根在区间内，即，此时由可以求出参数的值，然后再将参数的值带入方程，求出相应的根，检验根是否在给定的区间内，如若不在，舍去相应的参数。如方程有且一根在区间内，求的取值范围。分析：①由即得出；②由即得出或，当时，根，即满足题意；当时，根，故不满足题意；综上分析，得出或

二．例题选讲
（1）两个根在实数的同一侧
例1．已知方程有两个负根，求的取值范围．

变式1：已知方程有两个不等正实根，求实数的取值范围。

变式2：已知二次方程的两个根都小于1，求的取值范围．

（2）两个根在实数的异侧
例2：已知二次方程有一正根和一负根，求实数的取值范围。

变式1：已知二次函数与轴有两个交点，一个大于1，一个小于1，求实数的取值范围。

变式2：求实数的范围，使关于的方程．
（１）有两个实根，且一个比２大，一个比２小．
（２）有两个实根，且满足．
（３）至少有一个正根．

变式3：如果二次函数y=mx2+(m－3)x+1的图象与x轴的交点至少有一个在原点的右侧，试求m的取值范围.

（3）在区间有且只有一个实根
例3．已知二次方程只有一个正根且这个根小于1，求实数的取值范围。

变式：已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0.若方程有两根，其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求m的范围.

（4）在区间有两个实根
例4： 已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0.若方程两根均在区间(0，1)内，求m的范围.

变式1：已知方程2x2 – 2(2a-1)x + a+2=0的两个根在-3与3之间，求a的取值范围．

变式2：已知方程x2 + (3m-1)x + (3m-2)=0的两个根都属于( -3, 3)，且其中至少有一个根小于1，求m的取值范围．

（5） 在区间有实根
例5．已知是实数，函数，如果函数在区间上有零点，求的取值范围．

（6）二次方程实根分布的一些方法除了直接用于判别二次方程根的情况，在其它的一些场合下也可以适当运用．
例6.1．求函数y = (1<x<2)的值域．

例6.2．已知抛物线y = 2x2-mx+m与直角坐标平面上两点(0,0), (1,1)为端点的线段（除去两个端点）有公共点，求m的取值范围．

例6.3．设关于的方程R），
（1）若方程有实数解，求实数b的取值范围；
（2）当方程有实数解时，讨论方程实根的个数，并求出方程的解。

变式：已知方程在上有两个根，求的取值范围．

三．巩固练习
1．已知二次方程有且只有一个实根属于( -1, 1)，求m的取值范围．

2．已知二次方程有且只有一个实根属于（1，2），且都不是方程的根，求的取值范围．

3．已知二次方程的两个根都属于（–1，1），求的取值范围．

4．若关于x的方程x2+(a-1)x+1=0有两相异实根，且两根均在区间[0,2]上，求实数a的取值范围．

答案：
二．例题选讲
（1）两个根在实数的同一侧
例1．已知方程有两个负根，求的取值范围．
解：依题意有
　　　．
变式1：已知方程有两个不等正实根，求实数的取值范围。
解：由

或即为所求的范围。
变式2：已知二次方程的两个根都小于1，求的取值范围．
解一：二次方程两个根都小于1，其充要条件为

（1）即为，它的解集是．
（2）即为，它的解集是．
（3）的解集是．
所以，的取值范围是．
解二：二次方程有两个根的充要条件是．
设两根为，由于都小于1，即，其充要条件为：

即

因此，方程两个根都小于1的充要条件是：

以下同解法一（略）．
解三：令，原方程转化为，即
（*）
因为原方程两根都小于1，所以方程（*）的两个实根都小于0，其充要条件是：

同样可求出的取值范围（略）．
（2）两个根在实数的异侧
例2：已知二次方程有一正根和一负根，求实数的取值范围。
解：由 即 ，从而得即为所求的范围。
变式1：已知二次函数与轴有两个交点，一个大于1，一个小于1，求实数的取值范围。
解：由 即 即为所求的范围。
变式2：求实数的范围，使关于的方程．
（１）有两个实根，且一个比２大，一个比２小．
（２）有两个实根，且满足．
（３）至少有一个正根．
解：设．
（１） 依题意有，即，得．
（２） 依题意有
　　　　　　　　解得：．
　　（３）方程至少有一个正根，则有三种可能：
　　　　　①有两个正根，此时可得，即．
　　　　　②有一个正根，一个负根，此时可得，得．
　　　　　③有一个正根，另一根为０，此时可得　　．
　　　综上所述，得．
变式3：如果二次函数y=mx2+(m－3)x+1的图象与x轴的交点至少有一个在原点的右侧，试求m的取值范围.
解：∵f(0)=1>0
(1)当m＜0时，二次函数图象与x轴有两个交点且分别在y轴两侧，符合题意.
(2）当m>0时，则解得0＜m≤1

综上所述，m的取值范围是{m|m≤1且m≠0}.

（3）在区间有且只有一个实根
例3．已知二次方程只有一个正根且这个根小于1，求实数的取值范围。
解：由题意有方程在区间上只有一个正根，则 即为所求范围。
变式：已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0.若方程有两根，其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求m的范围.
解：条件说明抛物线f(x)=x2+2mx+2m+1与x轴的交点分别在区间(－1，0)和(1，2)内，则
Û ，
∴实数m的范围是.
（4）在区间有两个实根
例4： 已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0.若方程两根均在区间(0，1)内，求m的范围.
解：据抛物线f(x)=x2+2mx+2m+1与x轴交点落在区间 (0，1) 内，列不等式组 Û - <m≤1-,
∴ 实数m的范围是.
变式1：已知方程2x2 – 2(2a-1)x + a+2=0的两个根在-3与3之间，求a的取值范围．
解：设f(x) = 2x2 – 2(2a-1)x + a+2，则原方程两根都属于 (-3, 3)的充要条件为
Û
Û - <m≤或≤m<.
故a的取值范围是 (- , ] ∪[ , )．
变式2：已知方程x2 + (3m-1)x + (3m-2)=0的两个根都属于( -3, 3)，且其中至少有一个根小于1，求m的取值范围．
解：原方程即为 (x + 1)(x + 3m-2)=0，所以方程两根分别为-1, 2-3m，而-1在(-3,1)上，则由题意，另一根满足 -3<2-3m<3 Û - <m< .
（6） 在区间有实根
例5．已知是实数，函数，如果函数在区间上有零点，求的取值范围．
解析1：函数在区间[-1，1]上有零点，即方程=0在[-1，1]上有解，
a=0时，不符合题意，所以a≠0,方程f(x)=0在[-1，1]上有解<=>或或或或a≥1.
所以实数a的取值范围是或a≥1.
解析2：a=0时，不符合题意，所以a≠0,又
∴=0在[-1，1]上有解，在[-1，1]上有解在[-1，1]上有解，问题转化为求函数[-1，1]上的值域；设t=3-2x，x∈[-1，1]，则，t∈[1,5],，
设，时，，此函数g(t)单调递减，时，>0,此函数g(t)单调递增，∴y的取值范围是，∴=0在[-1，1]上有解ó∈或。

（6）二次方程实根分布的一些方法除了直接用于判别二次方程根的情况，在其它的一些场合下也可以适当运用．
例6.1．求函数y = (1<x<2)的值域．
解：原函数即为 y (x2-3x+2)=x+1,
yx2-(3y+1)x+2y-1=0, ①
由题意，关于的方程①在(1,2)上有实根．
易知y<0, 令f(x)= yx2-(3y+1)x+2y-1，则f(1)= -2<0, f(2)= -3<0，所以方程①在(1,2)上有实根当且仅当 ，解得y≤-5-2.
∴ 原函数的值域为 (-¥, -5-2].

例6.2．已知抛物线y = 2x2-mx+m与直角坐标平面上两点(0,0), (1,1)为端点的线段（除去两个端点）有公共点，求m的取值范围．
解：以(0,0), (1,1)为端点的线段所在直线为y=x，代入抛物线方程得：
x = 2x2-mx+m 即 2x2-(m+1)x+m=0, ①
由题意，方程①在区间(0, 1)上有实根，令f(x) = 2x2-(m+1)x+m，则当且仅当
f(0)·f(1)<0或 Û m<0或 Û m≤3-2且m≠0．
故m的取值范围为 (-¥, 0)∪(0, 3-2].
例6.3．设关于的方程R），
（1）若方程有实数解，求实数b的取值范围；
（2）当方程有实数解时，讨论方程实根的个数，并求出方程的解。
分析：可用换元法，设，原方程化为二次方程，但要注意，故原方程有解并不等价于方程有解，而等价于方程在内有解．另外，方程有解的问题也可以通过参变分离转化为求值域的问题，它的原理是：若关于的方程有解，则的值域．
解：（1）原方程为，
，
时方程有实数解；
（2）①当时，，∴方程有唯一解；
②当时，.
的解为；
令
的解为；
综合①、②，得
1）当时原方程有两解：；
2）当时，原方程有唯一解；
3）当时，原方程无解。
变式：已知方程在上有两个根，求的取值范围．
解：令，当时，．
由于是一一映射的函数，所以在上有两个值，则在上有两个对应的值．因而方程在（0，2）上有两个不等实根，其充要条件为

由（1）得： ，
由（2）得： ，
由（3）得： 或，
由（4）得： ．
，即的取值范围为．
三．巩固练习
1．已知二次方程有且只有一个实根属于( -1, 1)，求m的取值范围．
解：易知x1 = -1是方程的一个根，则另一根为x2 = ，所以原方程有且仅有一个实根属于( -1, 1)当且仅当 -1< <1，即 Û Û m< - 或m> ，∴ m的取值范围为 (-¥,- )∪( , +¥).
2．已知二次方程有且只有一个实根属于（1，2），且都不是方程的根，求的取值范围．
解：设f(x) = ，由于f(x)是二次函数，所以2m+1 ≠ 0，即m ≠ - .
f(x) =0在（1，2）上有且仅有一个实根当且仅当f(1)·f(2)<0 Û (5m+3)(m-2)<0 Û - <m<2.
综上得：m的取值范围是(- , - )∪(- , 2)．
3．已知二次方程的两个根都属于（–1，1），求的取值范围．
解：令二次函数f(x) = (m-1)x2+(3m+4)x+m+1，则m-1 ≠ 0，即m ≠ 1．
f(x)=0的两个实根均在(-1,1)上，当且仅当
Û
∴ m的取值范围为．
4．若关于x的方程x2+(a-1)x+1=0有两相异实根，且两根均在区间[0,2]上，求实数a的取值范围．
解：令f(x) = x2+(a-1)x+1，则满足题意当且仅当
解得 - ≤a<-1.
∴ a的取值范围是 [ - , -1)．

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