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分式的概念、运算及分式方程

一、知识框架 ：

二、知识概念：
1.分式：形如，是整式，中含有字母且不等于0的整式叫做分式.其中叫做分式的分子，叫做分式的分母.
2.分式有意义的条件：分母不等于0.
3.分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变.
4.约分：把一个分式的分子和分母的公因式(不为1的数）约去，这种变形称为约分.
5.通分：异分母的分式可以化成同分母的分式，这一过程叫做通分.
6.最简分式:一个分式的分子和分母没有公因式时，这个分式称为最简分式，约分时，一般将一个分式化为最简分式.
7.分式的四则运算：
⑴同分母分式加减法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减.用字母表示为：
⑵异分母分式加减法则：异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分
式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算.用字母表示为：
⑶分式的乘法法则：两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分
母相乘的积作为积的分母.用字母表示为：
⑷分式的除法法则：两个分式相除,把除式的分子和分母颠倒位置后再与
被除式相乘.用字母表示为：
⑸分式的乘方法则：分子、分母分别乘方.用字母表示为：
8.整数指数幂：
⑴（是正整数）
⑵（是正整数）
⑶（是正整数）
⑷（，是正整数，）
⑸（是正整数）
⑹（，n是正整数）
9.分式方程的意义:分母中含有未知数的方程叫做分式方程.
10.分式方程的解法:①去分母(方程两边同时乘以最简公分母,将分式方程化为整式方程);②按解整式方程的步骤求出未知数的值;③验根(求出未知数的值后必须验根,因为在把分式方程化为整式方程的过程中,扩大了未知数的取值范围,可能产生增根).

模块一 分式的概念

【例1】 为何值时，分式有意义？

【巩固】⑴若分式有意义，则 ;
⑵若分式无意义，则 ;

解下列不等式：①；②

【巩固】⑴解不等式 ；
⑵解不等式 .

模块二 分式的运算
☞分式的化简求值
裂项
【例2】 设为正整数，求证：.

【巩固】化简：.

【巩固】化简：

【例3】 化简：.

【巩固】已知，，为实数，且，，，求.

【巩固】化简：.

☞分式的恒等变形
部分分式

【例4】 下面的等式成立：，求、.

【巩固】若代数式恰好能分解为两个二次整式的乘积(其中二次项系数均为1，
且一次项系数相同)，则的最大值是 .

【例8】 若，求、的值.

【巩固】已知与的和等于，求，.

分式恒等证明

【例9】 求证：

【巩固】已知、、为三个不相等的实数，且，求证：.

条件分式求值
【例10】 已知满足，则的值为（ ）
A.1 B. C. D.

【巩固】设有理数都不为0，且，
则的值为___________。

分式与数论
【例11】 将写成两个因式的积，使它们的和为，求这两个式子。

【巩固】求最大的正整数，使得能被整除。

模块三 分式的方程
☞解分式方程
【例5】 解方程：

【巩固】解方程：

【巩固】解方程：

☞分式方程的增根及根的讨论
【例12】 已知关于的方程有一个正整数解，求的取值范围．

【巩固】当为何值时，关于的方程的解为负数？

【巩固】关于的方程的解也是不等式组的一个解，求的取值范围

☞一元一次分式方程的应用
【例13】 为响应低碳号召，李老师上班的交通方式由开汽车改为骑自行车．李老师家距学校10千米，由于汽车的速度是自行车速度的4倍，所以李老师每天比原来提前30分钟出发，才能按原来的时间到校，求李老师骑自行车的速度．

【巩固】为了提高产品的附加值，某公司计划将研发生产的1200件新产品进行精加工后再投放市场．现有甲、乙两个工厂都具备加工能力，公司派出相关人员分别到这两间工厂了解情况，获得如下信息：
信息一：甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多用10天；
信息二：乙工厂每天加工的数量是甲工厂每天加工数量的倍．
根据以上信息，求甲、乙两个工厂每天分别能加工多少件新产品？

【巩固】某铁路有一隧道，由A队单独施工，预计200天贯通．为了公路早日通车，由A，B两队同时施工，结果120天就贯通了．试问：如果由B队单独施工，需要多少天才能贯通？

☞二元一次分式方程的应用
【例14】 “端午”节前，第一次爸爸去超市购买了大小、质量都相同的火腿粽子和豆沙粽子若干，放入不透明的盒中，此时随机取出火腿粽子的概率为；妈妈发现小亮喜欢吃的火腿粽子偏少，第二次妈妈又去买了同样的5只火腿粽子和1只豆沙粽子放入同一盒中，这时随机取出火腿粽子的概率为．
（1）请计算出第一次爸爸买的火腿粽子和豆沙粽子各有多少只？
（2）若妈妈从盒中取出火腿粽子4只、豆沙粽子6只送爷爷和奶奶后，再让小亮从盒中不放回地任取2只，问恰有火腿粽子、豆沙粽子各1只的概率是多少？（用字母和数字表示豆沙粽子和火腿粽子，用列清法计算）

【巩固】内江市对城区沿江两岸的部分路段进行亮化工程建设，整个工程拟由甲、乙两个安装公司共同完成．从两个公司的业务资料看到：若两个公司合做，则恰好用12天完成；若甲、乙合做9天后，由甲再单独做5天也恰好完成．如果每天需要支付甲、乙两公司的工程费用分别为1.2万元和0.7万元．试问：
（1）甲、乙两公司单独完成这项工程各需多少天？
（2）要使整个工程费用不超过22.5万元，则乙公司最少应施工多少天？

【巩固】用大、小两种货车运送360台机械设备，有三种运输方案．
方案1：设备的12用大货车运送，其余用小货车运送，需要货车27辆；
方案2：设备的13用大货车运送，其余用小货车运送，需要货车28辆；
方案3：设备的23用大货车运送，其余用小货车运送，需要货车26辆；
（1）每辆大、小货车各可运送多少台机械设备？
（2）如果每辆大货车的运费比每辆小货车的运费高m%（m＞0），请你从中选择一种方案，使得运费最低，并说明理由．

☞分式方程组
解分式方程组的关键就是利用换元法或者倒数法，将复杂的分式方程组转化为整式方程组，然后利用解整式方程组的方法进行求解，得到换元后的未知数的值，代入后得到的解．
【例15】 解方程组：

【巩固】解方程组

【巩固】解方程组：

【例16】 解方程，其中，，．

【巩固】解方程组

检测：【练习1】解方程
【练习2】化简：

【练习3】若对于以外的一切数，均成立，求.

【练习4】若关于的恒等式中，为最简分式，且有，，
求.

【练习5】若，，，求证：

【练习6】解方程组：

课后作业
1. 解方程

2. 解方程

3. 将化为部分分式.

4. 若，且，求的值．

5. 若，求证：.

6. 解方程组：

章节复习

1 填空：
（1）当x 时，分式 有意义。 （2）当x 时，分式 有意义。
（3）当b____时，分式 有意义。
（4）当x、y满足关系 时，分式 有意义。

2 下列变形正确的是（ ）
（A）（B）（C）（D）

下列各分式中，最简分式是（ ）
A、 B、 C、 D、
3 下列约分正确的是（ ）
A、 B、 C、 D、
将分式的分子和分母中的各项系数都化为整数，应为（ ）.
（A） （B） （C） （D）
4 计算：
(1) ； (2) ； (3) ； (4) ；

5 计算：
（1） ÷· （2） ()2 (3) ()3÷ ·()2

6 计算：
（1）－ (2) +

(3) (4)

7 计算： 8 解方程

9 一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用的时间，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？

真题演练
1．下列各式与相等的是（ ）
A. B. C. D.
2．解分式方程+=，下列四步中，错误的一步是（ ）
A．方程两边分式的最简公分母是x2-1;
B．方程两边都乘以（x2-1），得整式方程2（x-1）+3（x+1）=6;
C．解这个整式方程得：x=1
D．原方程的解为x=1;
3．若的值为-1,则x的值等于（ ）．
A. - B. C. D. -
4．分式方程=2的解为( )
A．x=4 　 　　B．x=3 　 　　C．x=0 　　 　D．无解
5、甲队在天内挖水渠米，乙队在天内挖水渠米，两队一起挖水渠米，需要的天数为（　　） A、 B、 C、 D、以上均不对
6、某大队要筑一条水坝，需要在规定日期内完成．如果由甲队去做，恰好如期完成；若由乙队去做，需要超过规定日期三天，现由甲、乙两队合作2天后，余下的工程由乙队独自去做，恰好在规定日期内完成，求规定日期为，下面所列的方程中，正确的是（　　　）
A、　　 B、
C、　　 D、
7．关于x的方程有增根,则k的值为______．
8．若分式的值为零，则x的取值范围是 __________ ．
9．当_____ 时，分式的值为正数．
10．若的值是 __________ ．
11．已知xy=-12，x+y=-4，则 __________ ．
12．若x满足x2－4x+1=0，则的值是__________ ．
13．观察下列各式：…，由此总结出规律，若n表示大于1的正整数，请用含有n的式子表示出此规律：__________ ．
14．若关于x的分式方程无解，则m的值为__________.
15．若__________.
16．若与的值相等，则x=________________
17．计算：÷=___________.
18．计算题
（1）＋． （2）

（3）(－)·÷（＋） (4)

(5) ； (6) ； (7)

19．解方程：(1)＝ (2)

20．已知求代数式的值。

21．已知且求m的值。

22．已知,,,求代数式的值.

23．已知，求的值．

24．已知，求证：

25．已知，且互不相等，求证：