2018年奉贤高三二模数学Word版(附解析).doc

上海市奉贤区2018届高三二模数学试卷
2018.04

一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）
1. 集合，，则
2. 已知半径为2R和R的两个球，则大球和小球的体积比为
3. 抛物线的焦点坐标是
4. 已知实数满足，则目标函数的最大值是
5. 已知△ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C所对的边. 若，
则
6. 三阶行列式中元素的代数余子式为，则方程的解为
7. 设是复数，表示满足时的最小正整数，是虚数单位，则
8. 无穷等比数列的通项公式，前项的和为，若，
则
9. 给出下列函数：①；②；③；④；⑤；
⑥；⑦. 从这7个函数中任取两个函数，则其中
一个是奇函数另一个是偶函数的概率是
10. 代数式的展开式的常数项是 （用数字作答）
11. 角的始边是x轴正半轴，顶点是曲线的中心，角的终边与曲线
的交点A的横坐标是，角的终边与曲线的交点是B，则过
B点的曲线的切线方程是 （用一般式表示）
12. 已知函数，，，若函数的所有零点依次记为，且，，
若，则

二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）
13. 已知曲线的参数方程为，则曲线为（ ）
A. 线段 B. 双曲线的一支 C. 圆弧 D. 射线
14. 设直线l的一个方向向量，平面的一个法向量，则直线l与
平面的位置关系是（ ）
A. 垂直 B. 平行 C. 直线l在平面内 D. 直线l在平面内或平行
15. 已知正数数列是公比不等于1的等比数列，且，若，
则（ ）
A. 2018 B. 4036 C. 2019 D. 4038
16. 设，函数，下列三个命题：
① 函数是偶函数；
② 存在无数个有理数，函数的最大值为2；
③ 当为无理数时，函数是周期函数.
以上命题正确的个数为（ ）
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0

三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）
17. 已知几何体的三视图如图所示，其中左视图和俯视图都是腰长为4的等腰直
角三角形，主视图为直角梯形.
（1）求几何体的体积；（2）求直线CE与平面AED所成角的大小.

18. 已知函数，，.
（1）讨论函数的奇偶性，并说明理由；
（2）已知在上单调递减，求实数k的取值范围.

19. 某旅游区每年各个月份接待游客的人数近似地满足周期性规律，因而第个月从事旅游
服务工作的人数可近似地用函数来刻画，其中正整数表示
月份且，例如表示1月份，和是正整数，，.
统计发现，该地区每年各个月份从事旅游服务工作的人数有以下规律：
① 每年相同的月份，该地区从事旅游服务工作的人数基本相同；
② 该地区从事旅游服务工作的人数最多的8月份和最少的2月份相差400人；
③ 2月份该地区从事旅游服务工作的人数为100人，随后逐月递增直到8月份达到最多.
（1）试根据已知信息，求的表达式；
（2）一般地，当该地区从事旅游服务工作的人数在400或400以上时，该地区也进入了一年中的旅游“旺季”，那么，一年中的哪几个月是该地区的旅游“旺季”？请说明理由.

20. 设复平面上点对应的复数（为虚数单位）满足
，点的轨迹方程为曲线. 双曲线:与曲线有共同
焦点，倾斜角为的直线与双曲线的两条渐近线的交点是、，，为
坐标原点.
（1）求点的轨迹方程；
（2）求直线的方程；
（3）设△PQR三个顶点在曲线上，求证：当是△PQR重心时，△PQR的面积是定值.

21. 对于任意，若数列满足，则称这个数列为“K数列”.
（1）已知数列：，，是“K数列”，求实数的取值范围；
（2）设等差数列的前项和为，当首项与公差满足什么条件时，数列是“K数列”？
（3）设数列的前项和为，，且，.
设，是否存在实数，使得数列为“K数列”. 若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由.

参考答案

一. 填空题
1. 2. 8 3. 4. 4 5. 6.
7. 4 8. 或 9. 10. 3 11. 12.

二. 选择题
13. A 14. D 15. C 16. B

三. 解答题
17.（1）……………………………………………………………3分
………………………………………………………………………3分
踩分点，两个步骤环节，每一个3分
（2） 分别以、、方向为轴建立空间直角坐标系，则：
、、、， …………………………………2分
所以，，
设平面的法向量为，，…………………… 2分
于是可以取.……………………………………………………………………1分
设与平面所成的角为，则：，…………2分
所以与平面所成的角为.…………………………………………1分
建系设点2分，列方程组2分，求出法向量1分，套用公式1分，求出角2分

18. （1）函数定义域为……………………………………………………………………1分
，不是奇函数……………………………………………2分
，令恒成立，
所以当时，函数为偶函数；……………………………………………4分
当时，函数是非奇非偶函数…………………………………………1分
说明：定义域1分，说明不是奇函数2分，说明偶函数4分，结论1分
（2） 【方法一】对任意，且，有恒成立
……………………………………2分
，恒成立……………………………………………2分
……………………………………………………2分
【方法二】设，则，
当时，函数在上单调递减，所以满足条件………………………2分
当时，时单调递减，单调递减，…………………2分
……………………………………………………………………2分

19.（1）………2分 ………1分 ……2分
………2分 ……………1分
（2）令……………………………………………2分

，…………………………………………3分
答：一年中月是该地区的旅游“旺季”…………………………1分
应用答1分必须要重视，没有扣1分，列不等式2分，过程3分

20.（1）【方法一】由题意知，点的轨迹为椭圆 ……………2分
∵，∴ ∴点的轨迹方程为………………2分
【方法二】由题意知…………2分
整理得 ………………………2分
（2）【方法一】∵与有共同焦点，∴，即…………1分
∴双曲线的方程为，∴双曲线的渐近线方程…………1分
设直线的方程为 ……………………………………1分
联立方程 ，得 …… ………1分
， …………………………2分
即直线的方程为 ………………………1分
求出的值1分，直线方程1分，渐近线方程1方程，求出两个交点1分，数量积2分，答案1分，
【方法二】∵与有共同焦点，∴，即………………………1分
∴双曲线的方程为
设直线的方程为，联立方程…………………………………………1分
得到，∴ …………………………2分

∴……………2分 即直线的方程为………1分
求出的值1分，直线方程1分，韦达定理2分，数量积2分，答案1分，
（3）设,
，∵为的重心，…………1分
…………………1分
只需一个值即可得1分
………………2分
………………1分
（
………2分）
得出重心关系式1分，夹角三角比1分，面积推导2分，结论1分
补充其他：
不妨设,则
【方法二】设、、，则有： ……1分
，代入椭圆方程得： ………………1分
所以 ……………………1分
，…………………1分
…………………………………………………………1分
得出重心关系式1分，坐标关系得1分，面积推导2分结论1分

21、（1）……………2分 ……………2分
（1）的说明：列式2分，答案2分
（2），数列是“K数列”；
，，对恒成立………………2分
……………1分 且………………… 1分
（2）的说明： 或对恒成立2分，
两个结论，每个各1分，1分，1分

（3）
也成立……………………………………………………………1分
，是公比为的等比数列
………………2分
，由题意得：
……………………………2分
当为偶数时，恒成立……………………2分
当为奇数时，恒成立…………………2分
所以综上：………………………………………………………………1分
此环节3+2+5分阅卷标准：
正确求出通项公式3分，说明 必须要说明，否则扣1分
代入列出目标不等式2分，分类讨论各2分，结论1分
若有目标不等式，在后面5分中，只有通过等特殊几项得出正确的结论，只有2分，
若没有列出目标不等式，在后面7分中，若只有通过等特殊几项得出正确的结论，只有2分