唐山市-唐山一中-自主招生数学测试题.doc

唐山市 唐山一中 自主招生综合素质测试数学试卷
（满分100分，考试时间60分钟）
学 校 姓 名 准考证号
注意：请将选择题、填空题、解答题的答案填写在答题卡上的相应位置．
一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选
项中，只有一个选项是正确的．）
1．实数、在数轴上的位置如下图所示，则化简－的结果为（★★★）

0

A． B． C． D．
2．打开某洗衣机开关（洗衣机内无水），在洗涤衣服时，洗衣机经历了进水、清洗、排水、脱水四个连续过程，其中进水、清洗、排水时洗衣机中的水量（升）与时间（分钟）之间满足某种函数关系，其函数图像大致为（★★★）

A． B． C． D．
3．对福州市自行车协会某次野外训练的中学生的年龄进行统计，结果如下：
年龄（岁）

人数（人）

则这些学生年龄的众数和中位数分别是（★★★）
A．， B．， C．， D．，
4．下图是一个切去了一个角的正方体纸盒，切面与棱的交点均是棱的中点，现将纸盒剪开展成平面，则展开图不可能是（★★★）

A． B． C． D．
5．如下图所示，矩形纸片中，，，将其折叠，使点与点重合，得折痕，则的值是（★★★）
A． B． C． D．

第5题图 第6题图
6．如上图，在平面直角坐标系中有一边长为的正方形，边、分别在轴、轴上，如果以对角线为边作第二个正方形，再以对角线为边作第三个正方形，照此规律作下去，则点的坐标为（★★★）
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．）
7．对正实数作定义，若，则★★★．
8．已知一个口袋中装有个只有颜色不同的球，其中个白球，个黑球，若往口袋中再放入个白球和个黑球，从口袋中随机取出一个白球的概率是，则与之间的函数关系式为★★★．
9．如图，在平面直角坐标系中，点、均在函数的图象上，⊙与轴相切，
⊙与轴相切．若点的坐标为，且⊙
的半径是⊙的半径的倍，则点的坐标为★★★．
10．若关于的不等式组有且只有四个整数解，则实数的取值范围是★★★．

11．将一副三角板按下图1所示的位置摆放，使得两块三角板的直角边和重合．已知，将绕点逆时针旋转后（如图2），两个三角形重叠（阴影）部分的面积是★★★．

图1 图2
12．甲、乙、丙、丁、戊与小强六位同学参加乒乓球比赛，每两人都要比赛一场，到现在为止，已知甲赛了场，乙赛了场，丙赛了场，丁赛了场，戊赛了场，则小强赛了★★★场．
三、解答题（本大题共3小题，满分40分．）
13．（本小题满分13分）
如图，过圆直径的两端点各引一条切线，在圆上取一点，过、两点的直线交两切线于．
（1）求证：∽；
（2）如果圆的半径为，且，
求的长．
14．（本小题满分13分）
如图1，在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于、两点，点在轴上，点的横坐标为．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）点是直线上方的抛物线上一动点（不与点、重合）．过点作轴的垂线，垂足为，交直线于点，作于点，设的周长为，点的横坐标为，求关于的函数关系式，并求出的最大值．

图1 备用图
15．（本小题满分14分）
古希腊毕达哥拉斯学派的数学家常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究各种多边形数．比如：
…
图1
…
图2
他们研究过图1中的，… ，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似的，称图2中的，… ，这样的数为正方形数（四边形数）．
（1）请你写出既是三角形数又是正方形数且大于的最小正整数为 ；
（2）试证明，当为正整数时，必为正方形数；
（3）记第个边形数为，例如，．
（ⅰ）试直接写出，的表达式；
（ⅱ）通过进一步的研究发现，，… ，请你推测的表达式，并由此计算的值．
福州一中2015年高中招生（面向市区以外）
综合素质测试数学参考答案
一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
题号
1
2
3
4
5
6
答案
D
A
A
B
D
A

二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
7． 8． 说明：不写范围不扣分
9． 10．
11． 12．
三、解答题（本大题共3小题，满分40分）
13．（1）证法一：∵为圆的切线，∴，
∵，
∴，———① ………………… 3分
∵为圆的直径，
∴，即，
∵，
∴，
∵，∴，
∴，———② …………………6分
由①②得． …………………7分
证法二：∵，∴，
∴，
∵，且，
∴，———③
由①③得．
证法三：由②③得．
（注：其他证法对应给分）
解：（2）由（1）知，
∴， …………………………… 10分
设，则，∵，
∴，即，……………………………12分
解得，即． ……………………………13分
14．解：（1）对于，当时，；当时，．
∴点坐标为，点坐标为，…………………………………2分
由抛物线经过、两点，得，
解得．
∴． …………………………………4分
（2）设直线与轴交于点，当时，． ∴．
∵点坐标为，∴，　
∴． …………………………………6分
∵．
由题意得，，，
∴． …………………………………7分
∴． …………………………………8分
∵点是直线上方的抛物线上一动点，
∴，……10分
∴，……………11分
∴，
∴时． …………………………………13分
15．解：（1）． …………………………………4分
（2）∵
…………………………………6分

∴是完全平方数，即为正方形数．……………8分
（3）（ⅰ）， …………………………………9分
． …………………………………10分
（ⅱ）观察，，
，，… ，
由其变化规律，推测，…………13分
∴． …………………………………14分

唐山市 唐山一中 自主招生综合素质测试数学试卷 第7页 共7页