指数函数模拟题精讲.doc

指数函数
　　指数函数是高中数学中的一个基本初等函数，有关指数函数的图象与性质的题目类型较多，同时也是学习后续数学内容的基础和高考考查的重点，本文对此部分题目类型作了初步总结，与大家共同探讨．
　　1．比较大小
　　例1　已知函数满足，且，则与的大小关系是_____．
　　分析：先求的值再比较大小，要注意的取值是否在同一单调区间内．
　　解：∵，
　　∴函数的对称轴是．
　　故，又，∴．
　　∴函数在上递减，在上递增．
　　若，则，∴；
　　若，则，∴．
　　综上可得，即．
　　评注：①比较大小的常用方法有：作差法、作商法、利用函数的单调性或中间量等．②对于含有参数的大小比较问题，有时需要对参数进行讨论．
　　2．求解有关指数不等式
　　例2　已知，则x的取值范围是___________．
　　分析：利用指数函数的单调性求解，注意底数的取值范围．
　　解：∵，
　　∴函数在上是增函数，
　　∴，解得．∴x的取值范围是．
　　评注：利用指数函数的单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同的指数式，并判断底数与1的大小，对于含有参数的要注意对参数进行讨论．
　　3．求定义域及值域问题
　　例3　求函数的定义域和值域．
　　解：由题意可得，即，
　　∴，故． ∴函数的定义域是．
　　令，则，
　　又∵，∴． ∴，即．
　　∴，即．
　　∴函数的值域是．
　　评注：利用指数函数的单调性求值域时，要注意定义域对它的影响．
　　4．最值问题
　　例4　函数在区间上有最大值14，则a的值是_______．
　　分析：令可将问题转化成二次函数的最值问题，需注意换元后的取值范围．
　　解：令，则，函数可化为，其对称轴为．
　　∴当时，∵，
　　∴，即．
　　∴当时，．
　　解得或（舍去）；
　　当时，∵，
　　∴，即，
　　∴ 时，，
　　解得或（舍去），∴a的值是3或．
　　评注：利用指数函数的单调性求最值时注意一些方法的运用，比如：换元法，整体代入等．
　　5．解指数方程
　　例5　解方程．
　　解：原方程可化为，令，上述方程可化为，解得或（舍去），∴，∴，经检验原方程的解是．
　　评注：解指数方程通常是通过换元转化成二次方程求解，要注意验根．
　　6．图象变换及应用问题
　　例6　为了得到函数的图象，可以把函数的图象（　　）．
　　A．向左平移9个单位长度，再向上平移5个单位长度
　　B．向右平移9个单位长度，再向下平移5个单位长度
　　C．向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度
　　D．向右平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度
　　分析：注意先将函数转化为，再利用图象的平移规律进行判断．
　　解：∵，∴把函数的图象向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度，可得到函数的图象，故选（C）．
　　评注：用函数图象解决问题是中学数学的重要方法，利用其直观性实现数形结合解题，所以要熟悉基本函数的图象，并掌握图象的变化规律，比如：平移、伸缩、对称等．
习题
1、比较下列各组数的大小：
　　（1）若 ，比较 与 ；
　　（2）若 ，比较 与 ；
　　（3）若 ，比较 与 ；
　　（4）若 ，且 ，比较a与b；
　　（5）若 ，且 ，比较a与b．
　　分析：设 均为正数，则 ，即比较两个正数的大小，可比较它们的商与1的大小．掌握指数函数的图象规律，还要掌握底的变化对图象形状的影响．这主要有两方面：其一是对 ；对 ．用语言叙述即在y轴右侧，底越大其图象越远离x轴；在y轴左侧，底越大，其图象越接近x轴．这部分内容即本题（2），（3）所说的内容．其二是当底均大于1时，底越大，其图象越接近y轴；当底均小于1时，底越小，其图象越接近y轴．一个便于记忆的方法是：若以离1远者为底，则其图象接近y轴．当然这是指底数均大于1或均小于1．这部分内容即本题（4）与（5）．
　　解：（1）由 ，故 ，此时函数 为减函数．由 ，故 ．
　　（2）由 ，故 ．又 ，故 ．从而 ．
　　（3）由 ，因 ，故 ．又 ，故 ．从而 ．
　　（4）应有 ．因若 ，则 ．又 ，故 ，这样 ．又因 ，故 ．从而 ，这与已知 矛盾．
　　（5）应有 ．因若 ，则 ．又 ，故 ，这样有 ．又因 ，且 ，故 ．从而 ，这与已知 矛盾．
　　小结：比较通常借助相应函数的单调性、奇偶性、图象来求解．

2、(1)指数函数① ② 满足不等式 ,则它们的图象是 ( ).

　　分析:此题应首先根据底数的范围判断图象的升降性,再根据两个底数的大小比较判断对应的曲线.
　　解:由 可知①②应为两条递减的曲线,故只可能是 或 ,进而再判断①②与 和 的对应关系,此时判断的方法很多,不妨选特殊点法,令 ,①②对应的函数值分别为 和 ,由 可知应选 .
　　 (2)曲线 分别是指数函数 , 和 的图象,则 与1的大小关系是 (  ).

　　(
　　分析:首先可以根据指数函数单调性,确定 ,在 轴右侧令 ,对应的函数值由小到大依次为 ,故应选 .
　　小结:这种类型题目是比较典型的数形结合的题目,第(1)题是由数到形的转化,第(2)题则是由图到数的翻译,它的主要目的是提高学生识图,用图的意识.
求最值
3 求下列函数的定义域与值域.
(1)y＝2; (2)y＝4x+2x+1+1.
解：(1)∵x-3≠0，∴y＝2的定义域为｛x｜x∈R且x≠3｝.又∵≠0，∴2≠1，
∴y＝2的值域为｛y｜y>0且y≠1｝.
(2)y＝4x+2x+1+1的定义域为R.∵2x>0,∴y＝4x+2x+1+1＝(2x)2+2·2x+1＝(2x+1)2>1.
∴y＝4x+2x+1+1的值域为｛y｜y>1｝.
4 已知-1≤x≤2,求函数f(x)=3+2·3x+1-9x的最大值和最小值
解：设t=3x,因为-1≤x≤2，所以，且f(x)=g(t)=-(t-3)2+12,故当t=3即x=1时，f(x)取最大值12，当t=9即x=2时f(x)取最小值-24。
5、设 ，求函数 的最大值和最小值．
　　分析：注意到 ，设 ，则原来的函数成为 ，利用闭区间上二次函数的值域的求法，可求得函数的最值．
　　解：设 ，由 知，
　　 ，函数成为 ， ，对称轴 ，故函数最小值为 ，因端点 较 距对称轴 远，故函数的最大值为 ．

6（9分）已知函数在区间[－1,1]上的最大值是14，求a的值.
．解： ， 换元为，对称轴为.
当，，即x=1时取最大值，略
解得 a=3 (a= －5舍去)

7．已知函数 （ 且 ）
　　（1）求 的最小值；  （2）若 ，求 的取值范围．
．解：（1） ， 当 即 时， 有最小值为
　　（2） ，解得
　　当 时， ；
　　当 时， ．
8（10分）（1）已知是奇函数，求常数m的值；
（2）画出函数的图象，并利用图象回答：k为何值时，方程|3Ｘ－１｜＝k无
解？有一解？有两解？
解： （1）常数m=1
（2）当k<0时，直线y=k与函数的图象无交点,即方程无解;
当k=0或k1时, 直线y=k与函数的图象有唯一的交点，所以方程有一解;
当0<k<1时, 直线y=k与函数的图象有两个不同交点，所以方程有两解。
9．若函数 是奇函数，求 的值．
．解： 为奇函数， ，
　　即 ，
　　则 ，
　10. 已知9x-10.3x+9≤0，求函数y=（）x-1-4·（）x+2的最大值和最小值
解：由已知得（3x）2-10·3x+9≤0 得（3x-9）（3x-1）≤0
∴1≤3x≤9 故0≤x≤2
而y=()x-1-4·()x+2= 4·（）2x-4·（）x+2
令t=（）x（）
则y=f（t）=4t2-4t+2=4（t-）2+1
当t=即x=1时，ymin=1 　　　　　　　　　
当t=1即x=0时，ymax=2
11．已知 ，求函数 的值域．
解：由 得 ，即 ，解之得 ，于是 ，即 ，故所求函数的值域为
12. (9分)求函数的定义域，值域和单调区间
定义域为R 值域（0，8〕。（3）在（-∞， 1〕上是增函数
在〔1，+∞）上是减函数。
13 求函数y＝的单调区间.
分析 这是复合函数求单调区间的问题
可设y＝,u＝x2-3x+2，其中y＝为减函数
∴u＝x2-3x+2的减区间就是原函数的增区间(即减减→增)
u＝x2-3x+2的增区间就是原函数的减区间(即减、增→减)
解：设y＝,u＝x2-3x+2,y关于u递减，
当x∈(-∞，)时，u为减函数，
∴y关于x为增函数；当x∈［，+∞)时，u为增函数，y关于x为减函数.
14 已知函数f(x)＝ (a>0且a≠1).
(1)求f(x)的定义域和值域；(2)讨论f(x)的奇偶性；(3)讨论f(x)的单调性.
解：(1)易得f(x)的定义域为｛x｜x∈R｝.
设y＝,解得ax＝-①∵ax>0当且仅当->0时，方程①有解.解->0得-1<y<1.
∴f(x)的值域为｛y｜-1＜y＜1.
(2)∵f(-x)＝＝＝-f(x)且定义域为R，∴f(x)是奇函数.
(3)f(x)＝＝1-.
1°当a>1时，∵ax+1为增函数，且ax+1>0.
∴为减函数，从而f(x)＝1-＝为增函数.2°当0<a<1时，类似地可得f(x)＝为减函数.
15、已知函数f（x）=a－（a∈R），
（1） 求证：对任何a∈R，f（x）为增函数．
（2） 若f（x）为奇函数时，求a的值。
（1）证明：设x1＜x2
f（x2）－f（x1）=＞0
故对任何a∈R，f（x）为增函数．
（2），又f（x）为奇函数
得到。即
16、定义在R上的奇函数有最小正周期为2，且时，
（1）求在[－1，1]上的解析式；（2）判断在（0，1）上的单调性；
（3）当为何值时，方程=在上有实数解.
解（1）∵x∈R上的奇函数 ∴
又∵2为最小正周期 ∴
设x∈（－1，0），则－x∈（0，1），
∴

（2）设0<x1<x2<1 =
∴在（0，1）上为减函数。
（3）∵在（0，1）上为减函数。
∴ 即
同理在（－1，0）时，
又
∴当或时
在[－1，1]内有实数解。

函数y＝a｜x｜(a>1)的图像是( )

分析 本题主要考查指数函数的图像和性质、函数奇偶性的函数图像，以及数形结合思想和分类讨论思想.
解法1：(分类讨论)：
去绝对值，可得y＝
又a>1，由指数函数图像易知，应选B.
解法2：因为y＝a｜x｜是偶函数，又a>1，所以当x≥0时，y＝ax是增函数；x＜0时，y＝a-x是减函数.
∴应选B.
学习指数函数定义的两个注意点
指数函数施我们学习的基本函数之一，对于指数函数的学习，概念非常重要，因此一定要弄懂指数函数的定义。
指数函数的定义：
函数叫做指数函数，其中x是自变量，函数定义域是R。
注意点1：为什么要规定呢？
①若，则当时，；当当时，无意义.
②若，则对于的某些数值，可使无意义. 如，这时对于，，…等等，在实数范围内函数值不存在.
③若，则对于任何，，是一个常量，没有研究的必要性.
为了避免上述各种情况，所以规定。在规定以后，对于任何，都有意义，且. 因此指数函数的定义域是，值域是 。
注意点2：函数是指数函数吗？
指数函数的解析式中，的系数是1.
有些函数貌似指数函数，实际上却不是，如 (，)；有些函数看起来不像指数函数，实际上却是，如 ()，因为它可以化为，其中，且。
以上两点在学习中经常会碰到，希望大家在学习中能引起注意，真正理解指数函数的定义。
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