二次函数之面积问题(教师版).doc

(完整版)二次函数之面积问题(教师版)
《二次函数之面积问题》预习指南
一、填写下列有关一次函数之面积问题的内容
1. 坐标系中处理面积问题，要寻找并利用_____________的线，
通常有以下三种思路：
①__________________（规则图形）；
②__________________（分割求和、补形作差）；
③__________________（例：同底等高）．
2. 坐标系中面积问题的处理方法举例
① 割补求面积（铅垂法)：

在图形附近标注出来，这两个面积公式是如何推导的。
②转化求面积：

如图，满足S△ABP=S△ABC的点P都在直线l1，l2上．
二、借助上面填写的内容，做下面的小题
如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A(-1，3）,B(3,-2),则△AOB的面积为___________．（铅垂法）

做完题目后思考回答下列问题：
① 用补形作差的方法表达斜放置的△AOB的面积，跟铅垂法对比工作量之间的差别,哪个更简单?

② 铅垂法的本质是割补法求面积,对于这种三定点的题目,除了用竖直的线分割之外，还可以用水平的线分割，在图中标上字母，列出计算式子．

三、以下内容是我们已经学过的，检测一下．
1． 已知二次函数与x轴的交点坐标,求函数解析式，设_________式最简便．

2． 坐标系中表达横平竖直的线段长的口诀是______________,_______________．

3． 函数特征与几何特征互转的两种手段:
由几何特征表达_______，代入__________求解．
由函数表达式设出_______点坐标，借助_________求解．
四、建议按照下面三个要求去做：
① 预习时用铅笔，将计算、演草都保留在讲义上;
② 预习时间控制在一个小时，每题10—15分钟；
③ 每天预习时，看知识点睛→做题，思路受阻时（某个点做了2—3分钟)→再看知识点睛，再做题（再做2—3分钟），如果还不行就放弃，课堂重点听讲.

五、小结

二次函数之面积问题（讲义）
一、知识点睛
1. 二次函数之面积问题的处理思路
①分析目标图形的点、线、图形特征;
②依据特征、原则对图形进行割补、转化；
③设计方案，求解、验证．
面积问题的处理思路：公式、割补、转化．
坐标系背景下问题处理原则：________________________，
__________________________．
2. 二次函数之面积问题的常见模型
①割补求面积—-铅垂法：

②转化法——借助平行线转化：

若S△ABP=S△ABQ， 若S△ABP=S△ABQ，
当P，Q在AB同侧时， 当P,Q在AB异侧时，
PQ∥AB． AB平分PQ．
二、精讲精练
1. 如图，抛物线经过A(—1，0），B(3，0)，C(0，3）三点．
(1)求抛物线的解析式．
（2）点M是直线BC上方抛物线上的点（不与B，C重合），过点M作MN∥y轴交线段BC于点N，若点M的横坐标为m，请用含m的代数式表示MN的长．
（3)在（2)的条件下，连接MB，MC，是否存在点M，使四边形OBMC的面积最大?若存在，求出点M的坐标及四边形OBMC的最大面积；若不存在，请说明理由．

2. 如图，抛物线与直线交于A，C两点，其中C点坐标为(2，t）．
(1)若P是直线AC上方抛物线上的一个动点，求△APC面积的最大值．
（2）在直线AC下方的抛物线上，是否存在点G，使得？如果存在,求出点G的坐标；如果不存在，请说明理由．

3. 如图，抛物线与x轴交于A，B两点,与直线
交于点A和点C(2，-3)。
（1）若点M在抛物线上，且以点M，A，C以及另一点N为顶点的平行四边形ACNM的面积为12，求M，N两点的
坐标．
(2）在(1）的条件下,若点Q是x轴下方抛物线上的一动点，当△QMN的面积最大时,请求出△QMN的最大面积及此时点Q的坐标．

4. 如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C,对称轴与抛物线交于点P,与直线BC交于点M,连接PB．
（1）抛物线上是否存在异于点P的一点Q，使△QMB与△PMB的面积相等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
（2)在第一象限对称轴右侧的抛物线上是否存在一点R，使△RMP与△RMB的面积相等?若存在，求出点R的坐标；若不存在,请说明理由．

5. 如图，已知抛物线与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C（0，—3）．
（1）求抛物线的解析式．
（2）如图,已知点H(0，—1)．
①在x轴下方的抛物线上是否存在点D，使得S△ABH =S△ABD？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
②在抛物线上是否存在点G（点G在y轴的左侧），使得
S△GHC =S△GHA？若存在,求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．

三、回顾与思考
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
二次函数之面积问题（随堂测试）
1. 如图,二次函数的图象与一次函数的图象交于A,B两点，已知点A的横坐标为—1,点B的横坐标为2．
（1）设C是直线OB下方的抛物线上一点，当四边形OABC的面积最大时，求点C的坐标及四边形OABC的最大面积．
（2）抛物线上是否存在点P，使得△ABP与△ABO的面积相等？若存在，求出点P的坐标;若不存在,请说明理由．

二次函数之面积问题(作业）
例：如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(-2,2），点B的坐标为(6，6)，抛物线经过A，O，B三点，连接OA，OB，AB，线段AB交y轴于点E．
（1）求点E的坐标及抛物线的函数解析式．
(2）点F为线段OB上的一个动点（不与点O，B重合），直线EF与抛物线交于M，N两点(点N在y轴右侧）,连接ON，BN．
①当点F在线段OB上运动时，求△BON面积的最大值，并求出此时点N的坐标；
②当S△ENO=S△ENB时，求此时点F和点N的坐标．

【思路分析】
1. 读题标注，研究背景图形

已知A，O，B三点坐标，可以求得抛物线解析式；
要求点E坐标,点E为直线AB与y轴的交点，求得AB的解析式即可求得点E坐标．
2. 梳理条件，整合信息，设计方案求解
(2）①问：
1) 整合信息,分析特征：
由所求入手分析,目标为S△BON的最大值，发现O，B为定点，N为动点且点N的运动范围受F影响，可判断点N在直线OB下方的抛物线上运动,即0〈xN<6；抛物线解析式已知，可以用一个未知数设出点N的坐标．
2) 设计方案：
注意到三条线段都是斜放置的线段，需要借助横平竖直的线段来表达，所以考虑利用铅垂法来表达S△BON．
（2）②问:
1) 整合信息,分析特征：
由所求入手分析,目标为S△ENO=S△ENB．E,B，O为定点，N为动点且点N的运动范围受F影响,可判断点N在直线OB下方的抛物线上运动,即0〈xN<6；观察两个三角形，发现有公共边EN，考虑把面积相等的问题转化为高相等的问题来处理，借助同底等高模型解决问题．
2) 设计方案：
考虑两个三角形在同侧和异侧的两种情况，注意到N点的运动范围,则只有在异侧的情况，要想让两个三角形的高相等，只需让EN经过OB的中点即可，即F在OB的中点位置,确定EN后，联立求解点N的坐标．

1. 如图，平面直角坐标系xOy中,点A的坐标为（—2，2)，点B的坐标为(6，6)，抛物线经过A，O，B三点，连接OA，OB．
(1)求抛物线的函数解析式．
(2）若N是直线OB下方的抛物线上一点，当△BON的面积最大时，求点N的坐标及△BON的最大面积．
（3）若P是直线OB上方的抛物线上一点，当△BOP的面积与(2）中△BON的最大面积相等时，求点P的坐标．

2. 如图，已知二次函数的图象经过A(1，0），
B（5，0），C（0,5)三点．
（1）求二次函数的解析式．
（2）过点C的直线与二次函数的图象交于点
E（4，n），求△CEB的面积．
（3）抛物线上是否存在点P，使得？若存在，求出点P的坐标;若不存在，请说明理由．

3. 如图,直线与抛物线交于A,B两点,C是抛物线的顶点．
（1）在直线AB上方的抛物线上是否存在点P，使得△ABP的面积最大？若存在，求出点P的坐标;若不存在，请说明理由．
（2）抛物线上是否存在异于点C的一点Q，使得△ABQ与△ABC的面积相等？若存在,求出点Q的坐标；若不存在,请说明理由．
（3）若点M在抛物线上，且以点M，A,B以及另一点N为顶点的平行四边形ABNM的面积为240,求M，N两点的坐标．

学生做题前请先回答以下问题
问题1：坐标系背景下问题的处理原则是什么？

问题2:坐标系中处理面积问题的思路有哪些?
问题3：具有什么样特征的三角形在表达面积时会使用铅垂法？
问题4：铅垂法的具体做法是什么?
问题5:如何利用铅垂法表达三角形的面积？

二次函数之面积问题(铅垂法）（一）
一、单选题(共7道，每道12分）
1。如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，，．点P是直线AC下方抛物线上的点（不与A，C重合），连接PA，PC，设点P的横坐标为m,△PAC的面积为S,则S与m之间的函数关系式为_______，当m=_______时，S有最大值．（ ）

A。，5 B。，
C.，5 D。,

2。如图，在平面直角坐标系中，顶点为的抛物线交y轴于A点，交x轴于B，C两点(点B在点C的左侧），已知A点坐标为．点P是抛物线上的一个动点,且位于A,C两点之间，当△PAC的面积最大时,点P的坐标和△PAC的最大面积分别为（ )

A.B。　C。D.
3.如图，一次函数与y轴、x轴分别交于点A，B,抛物线过A，B两点．Q为直线AB下方的抛物线上一点,设点Q的横坐标为n，△QAB的面积为，则与n之间的函数关系式为( )

A.B。
C.D。

4。如图,在平面直角坐标系中，二次函数的图象与y轴交于点A，与x轴交于B，C两点（点B在点C的左侧)．点P是第二象限内抛物线上的点，△PAC的面积为S，设点P的横坐标为m，则S与m之间的函数关系式为( )

A。B。
C.D.

5.如图,已知二次函数的图象上一点A,其横坐标为-2，直线过点A并绕着点A旋转，与抛物线的另一个交点是B,点B的横坐标m满足，连接OA,OB，则当△AOB的面积最大时，点B的坐标为（ )

A.B.
C。D.

6.如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C,抛物线的对称轴交x轴于点D，已知．点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，则当四边形CDBF的面积最大时，点E的坐标以及四边形CDBF的最大面积分别是( )

A。B。C。D.

7.如图,已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）,与y轴交于点C，连接BC．若点P为线段BC上的一点（不与B,C重合）,PM∥y轴,且PM交抛物线于点M，交x轴于点N,则当△BCM的面积最大时，△BPN的周长为（ )

A.B。C。D.

学生做题前请先回答以下问题
问题1：坐标系背景下问题的处理原则是什么？
问题2：坐标系中处理面积问题的思路有哪些？
问题3：具有什么样特征的三角形在表达面积时会使用铅垂法？
问题4：如图，△ACP是任意斜放置的三角形,过P作铅垂的线交AC于点M，
设PM=a，AC的水平距离为h．求证:．

问题5：试题3中，要求△ABC的面积用哪一种方式处理比较简单？你是怎么求的？

问题6：试题4中，四边形PDCB的面积你是如何考虑的?

二次函数之面积问题(铅垂法)（二)
一、单选题(共5道，每道20分）
1.如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．M为抛物线上一动点,且在第三象限，若存在点M使得，则此时点M的横坐标为（ ）

A.B.C.D.
2。如图，已知直线与抛物线交于A(-4，—2），B（6，3)两点，抛物线与y轴的交点为C．在抛物线上存在点P使得△PAC的面积是△ABC面积的，此时点P的坐标为（ ）

A.B。
C。　D.

3。如图，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点分别为A（0，1），B（2，0),O（0，0），将此三角板绕原点O逆时针旋转90°，得到△COD．设点P是过C,D，B三点的抛物线上的一点，且在第一象限,若四边形PDCB的面积是△COD面积的4倍，则点P的坐标为（ ）

A。B。
C。D.

4。如图，已知抛物线与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C．D为线段BC的中点，P为x轴下方的抛物线上任一点，以BC为边作平行四边形CBPQ．设平行四边形CBPQ的面积为，
△ABD的面积为,若,则点P的坐标为（ ）

A.B.C。D。
5.如图，在平面直角坐标系中,抛物线与x轴交于点O,B,点A，P为抛物线上的点,点A的横坐标为1，点P的横坐标为m（），过点P作x轴的垂线，交直线AB于点D，线段OD把△AOB分成两个三角形，若其中一个三角形的面积与四边形DBPO的面积之比为2:3，则点P的横坐标为（ ）

A.B。
C.D.

学生做题前请先回答以下问题
问题1：具有什么样的特征图形在表达面积时可采用铅垂法？
问题2：铅垂法的具体的做法?并结合第3题具体说明．
问题3：结合下面图形，说明的推导过程

问题4：平行四边形存在性（两定两动)问题的处理思路是什么?
问题5：判断第4题属于什么问题,分析过程中哪个部分用到了铅垂的思想？

二次函数之面积问题(铅垂法)（三）
一、单选题（共5道，每道20分）
1。如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，把△AOB沿y轴翻折，点A落到点C，过点B的抛物线与直线BC交于点．在直线BD上方的抛物线上有一动点P,过点P作PH垂直于x轴，交直线BD于点H，当四边形BOHP是平行四边形时，动点P的坐标为( ）
A。B.C。
D。

2。如图，抛物线与x轴交于两点，过点A作
直线AC⊥x轴，交直线于点C;点A关于直线的对称点为．点P是抛物线上
一动点，过点P作y轴的平行线，交线段于点M．

（１）若四边形PACM为平行四边形，则点P的坐标为（ )

A。B.
C。D.

3.（上接第2题）（2）连接，则△的面积最大值为( ）
A.4 B。16 C。8 D。32
4。如图，抛物线与x轴交于点，交y轴于点．直线过点A且与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点是D．
（1）设点P是抛物线上一动点(不与点A、D重合）,过点P作y轴的平行线，交直线AD于点M，作DE⊥y轴于点E．若以P,M，E，C为顶点的四边形是以EC为边的平行四边形,则点P的坐标为（ ）

A。B.
C.
D。

5.（上接第4题）(2）连接BD.设点P是直线BD上方抛物线上一动点（不与点B，D重合），则四边形ABPD面积的最大值为( )
A。4 B。16 C。32 D。36
学生做题前请先回答以下问题
问题1：坐标系背景下问题的处理原则是什么？
问题2：坐标系中处理面积问题的思路有哪些？
问题3:二次函数背景下求面积的最大值及点的坐标有2种处理方法，分别是什么?
问题4：（上接第3题）对比这两种方法的工作量,哪一种方法更为简单?

二次函数之面积问题（转化法）（一）
一、单选题(共3道，每道33分）
1。（用两种方法分析）如图，在平面直角坐标系中,顶点为的抛物线交y轴于点A，交x轴于B，C两点（点B在点C的左侧），已知点A的坐标为．已知点P是抛物线上的一个动点，且位于A,C两点之间，则当△PAC的面积最大时,动点P的坐标为( ）

A。B。
C。D.

2.（用两种方法分析）已知直线与抛物线交于A，B两点，取与线段AB等长的一根橡皮筋,端点分别固定在A，B两处，用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖P在直线AB上方的抛物线上移动,动点P将与A,B构成无数个三角形，这些三角形中存在一个面积最大的三角形，其最大面积为( ）

A。B.C.D。
3.（用两种方法分析)在平面直角坐标系中,已知抛物线经过，,三点．若点P为直线AB下方抛物线上的一动点，点P的横坐标为m，△APB的面积为S,则当点P的坐标为____时，S取得最大值,S的最大值为_______．（ )
A.B。
C。D.
学生做题前请先回答以下问题
问题1:对于坐标系中的面积问题，什么情况下会使用平行线转化法？
问题2：结合第3题说明平行线转化法的具体操作是什么?
问题3:平行线转化法的理论依据是什么？
问题4：第5题解题思路中是按照转化法分析的,思考是否还存在其他的分析方法?对比使用两种方法工作量的差异．

二次函数之面积问题(转化法）（二）
一、单选题（共5道，每道20分)
1。如图,已知抛物线经过原点O和x轴上一点,抛物线的对称轴与x轴交于点D．直线经过抛物线上一点且与y轴交于点C．P(x，y）是抛物线上的一点，若，则所有符合条件的点P的坐标为( ）

A.
B.
C。
D.

2.设抛物线与x轴的交点为M，N（点M在点N的左侧），与y轴交于点F,设点M关于y轴的对称点为点E，连接EF，NF．若点P是抛物线上异于点F的一点，使得△NEP的面积与△NEF的面积相等，则点P的坐标为( )

A.
B。
C。
D.
3.如图,抛物线与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧）,与y轴交于点C．设D为y轴上的一点,则当△ACD的面积等于△ACB的面积时，点D的坐标为( )
A.B。
C.D。
4。如图，抛物线与x轴交于A，B两点,与y轴交于点C,P为抛物线的顶点，Q是直线AC上方抛物线上的一点，且，则点Q的坐标为( ）

A。
B。
C.
D.

5。如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C，连接BC,点D为抛物线的顶点,点P是第四象限内抛物线上的一个动点（不与点D重合）．连接CD，BD，DP，延长DP交x轴正半轴于点E，且，则此时点P的坐标为( ）

A。B.
C.D.

学生做题前请先回答以下问题
问题1：对于坐标系中的面积问题,什么情况下会使用平行线转化法?
问题2：平行线转化法的理论依据是什么?
问题3：结合第3题说明利用平行转化法求面积相等的点的坐标具体做法是什么？
问题4:第3题在找点G的位置时需要注意什么？

二次函数之面积问题（转化法）（三）
一、单选题(共3道,每道33分)
1。如图，抛物线与x轴交于A，B两点且点A在点B的左侧,与y轴交于
点C,对称轴与抛物线交于点D，在第二象限的抛物线上存在一点P，使得,则点P的坐标
为（ )

A.
B.
C。
D.

2.如图，抛物线与x轴相交于点A(—4,0)，B（—2,0)，直线AC过抛物线上的点C(-1，3)．直线AC与抛物线的对称轴相交于点E,不在第一象限的抛物线上存在一点M，使得，则点M的坐标为( ）

A。
B.
C.
D。

3。如图，抛物线与x轴交于A,B两点且点A在点B的左侧,与y轴交于
点C．已知点H（0，2)，在y轴左侧的抛物线上存在点G，使得，则点G的坐标
为（ )

A。或
B.或
C。或
D.，，或

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