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东北三三校一模测验数学文科试题

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2018东北三省三校一模考试数学文科试题
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知复数满足，为虚数单位，则等于( )
A. B. C. D.
3.在下列向量中，可以把向量表示出来的是( )
A.， B.，
C.， D.，
4.在区间上任取一个实数，则的概率是( )
A. B. C. D.
5.抛物线的焦点到准线的距离为( )
A.2 B.1 C. D.
6.已知都是实数，：直线与圆相切；：，则是的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
7.如图所示的程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》，执行该程序框图若输出的，则输入的不可能为( )
A.4，8 B.4，4 C.12，16 D.15，18
8.已知函数，则下列说法不正确的是( )
A.的一个周期为 B.向左平移个单位长度后图象关于原点对称
C.在上单调递减 D.的图象关于对称
9.函数(其中)的图象不可能是( )

A B C D
10.如图所示是一个三棱锥的三视图，则此三棱锥的外接球的体积为( )
A. B. C. D.
11.设双曲线的两条渐近线与直线分别交于两点，为该双曲线的右焦点，若，则该双曲线离心率的取值范围是( )
A. B. C. D.
12.已知函数，，若对任意的，都有，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.若直线平面，平面平面，则直线与平面的位置关系为_____________.
14.若实数满足不等式组，则的取值范围是_____________.
15.甲、乙、丙三人中只有一人做了好事，他们各自都说了一句话，而且其中只有一句真话。
甲说：是乙做的。乙说：不是我做的。丙说：不是我做的。
则做好事的是_____________.(填甲、乙、丙中的一个)
16.中，，，则面积的最大值为_____________.
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.已知数列的前项和为.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求.
18.中国政府实施“互联网+”战略以来，手机作为客户端越来越为人们所青睐，通过手机实现衣食住行消费已经成为一种主要的消费方式，“一机在手，走遍天下”的时代已经到来。在某著名的夜市，随机调查了100名顾客购物时使用手机支付的情况，得到如下的列联表，已知其中从使用手机支付的人群中随机抽取1人，抽到青年的概率为.
(1)根据已知条件完成列联表，并根据此资料判断是否有的把握认为“市场购物用手机支付与年龄有关”？
(2)现采用分层抽样从这100名顾客中按照“使用手机支付”和“不使用手机支付”中抽取得到一个容量为5的样本，设事件为“从这个样本中任选2人，这2人中至少有1人是不使用手机支付的”，求事件发生的概率？

列联表

青年
中老年
合计
使用手机支付

60
不使用手机支付

24

合计

100
附：
19.已知圆锥，，为底面圆的直径，，点在底面圆周上，且，在母线上，且，为中点，为弦中点.
(1)求证：平面；
(2)求四棱锥的体积.

20.已知椭圆的离心率为，，为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的任意一点，的面积的最大值为1，、为椭圆上任意两个关于轴对称的点，直线与轴的交点为，直线交椭圆于另一点.
(1)求椭圆的标准方程；(2)求证：直线过定点.
21.已知函数，.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若函数在上的最大值为1，求实数的取值集合.
22.已知在极坐标系中曲线的极坐标方程为：，以极点为坐标原点，以极轴为轴的正半轴建立直角坐标系，曲线的参数方程为：(为参数)，点.
(1)求出曲线的直角坐标方程和曲线的普通方程；
(2)设曲线与曲线相交于两点，求的值.
23.已知函数.
(1)求不等式的解集；
(2)若对于恒成立，求实数的范围.

2018年三省三校一模考试
文科数学答案

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1.C 2.A 3.B 4.C 5.D 6.B 7.D 8.B 9.C 10.C 11.C 12.A
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13． 或 14． 15．丙 16．
三、解答题（本大题共70分）
17.（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）当时，
当时，，符合上式
所以.
（Ⅱ）由（Ⅰ）得,
所以
．
18.（本小题满分12分）
解：(Ⅰ) 从使用手机支付的人群中随机抽取1人，抽到青年的概率为
使用手机支付的人群中的青年的人数为人，
则使用手机支付的人群中的中老年的人数为人，所以列联表为:

青年
中老年
合计
使用手机
支付
42
18
60
不使用手机
支付
16
24
40
合计
58
42
100

的观测值
，
故有的把握认为“市场购物用手机支付与年龄有关”.
(Ⅱ) 这100名顾客中采用分层抽样从“使用手机支付”和“不使用手机支付”中抽取得到一个容量
为5的样本中：
使用手机支付的人有人，记编号为1,2,3
不使用手机支付的人有2人，记编号为a,b，
则从这个样本中任选2人有
(1,2)(1,3)(1,a)(1,b)(2,3)(2,a)(2,b)(3,a)(3,b)(a,b)共10种
其中至少有1人是不使用手机支付的
(1,a)(1,b) (2,a)(2,b)(3,a)(3,b)(a,b)共7种，
故.
19.（本小题满分12分）
（Ⅰ）证明：∵平面，∴，
又∵点是圆内弦的中点，
，
又
平面

（Ⅱ）∵平面，为三棱锥的高，

而与等高，
，
∴
因此，

20.（本小题满分12分）
解：（Ⅰ），
当M为椭圆C的短轴端点时，的面积的最大值为1，
而
故椭圆C标准方程为：
（Ⅱ）设，且，
，
由题意知的斜率必存在，设BP：，代入得

得

AE斜率必存在，AE：
由对称性易知直线AE过的定点必在轴上，则当时，得

即在的条件下，直线AE过定点（1，0）.

21. （本小题满分12分）
解：（Ⅰ）.
当时，在上单调递减；
当时，，即在上单调递减；
当时，.
时，，在上递减；
时，，在上递增；
时，，在上递减；
综上，当时，在上单调递减；
当时，在上递减；
在上递增；上递减.
（Ⅱ）∵函数在上的最大值为1.
即对任意，恒成立。
亦即对任意恒成立。
变形可得，.
当时，即，可得；
当时，.则
令，则.
当时，，当时，.
因此，，∴.
当时，.则
令，则.
当时，，
因此，，∴.
综上，∴的取值集合为.
22. (本小题满分10分）
解：（Ⅰ），当时，有
当时，点在曲线上，即是在直角坐标系中的原点（0,0）满足方程，
故曲线的直角坐标方程为即.
曲线：.
（Ⅱ）将代入得，
，
故方程有两个不等实根分别对应点，
，即=.
23.（本小题满分10分）
解：（Ⅰ）等价于
或或
分别解得 或无解或
综上：不等式的解集为.
（Ⅱ）
当且仅当即时有最小值6，
即.