第5讲(教师)角平分线(北师大版).doc

第 5 讲 角平分线学习目标:能够证明角平分线的性质定理、判定定理。能够利用尺规作已知角的平分线。能够运用角平分线的性质定理、判定定理解决几何问题。重点：角平分线的性质定理、判定定理。难点：利用角平分线的性质定理、判定定理解决几何问题。学习过程知识精讲知识点角的平分线：一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。1、点到直线的距离：这点向直线引垂线，这点到垂足间线段的长叫做这点到直线的距离。2. 角平分线的性质及判定（1）角平分线的性质：文字表达：角的平分线上的点到角的两边的距离相等几何表达： OP平分MON（12），PAOM，PBON，（已知）PAPB（角平分线的性质）思考：这一性质定理的根据是什么？（2）角平分线的判定：文字表达：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上几何表达： PAOM，PBON，PAPB（已知）12（OP平分MON）（角平分线的判定）思考：这一判定定理的根据是什么？3、三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。4、点P是ABC的三条角平分线的交点，且PEBC于E，PFAC于F，PDAB于D，则有 。二、典型例题例1. 如图所示，在ABC中，C90，ACBC，DA平分CAB交BC于D，DEAB于E， AB=10求BDE的周长 例2、如图，在四边形ABCD中，ABCD，点E是BC的中点，DE平分ADC求证：AE是DAB的平分线 过点E作EHAB于点H，反向延长EH交DC的延长线于点G，过点E作EFAD于点F，ABCD，EHAB，EGDC，点E是BC的中点，CE=BE，在CGE与BHE中，GCEBCEEBCEGBEHCGEBHE，GE=EH，DE平分ADC，GE=EF，GE=EH，EF=EH，AE是DAB的平分线例3、如图所示，已知ABC的角平分线BM，CN相交于点P，那么AP能否平分BAC？请说明理由由此题你能得到一个什么结论？思考：画一个任意三角形并作一个内角、一个外角的平分线相交；两个外角的平分线相交，观察交点到这个三角形三条边所在直线的距离的关系例4、 如图4，在ABC中，ABC=100，ACB=20，CE平分ACB，D是AC上一点，若CBD=20，求ADE的度数. 图4分析：由于CE平分ACB，可过点E作ACB的两边的垂线，通过证明DE是ADB的平分线解决问题.解：作ENCA，EMBD，EPCB，垂足分别是N、M、P.因为ABD=ABC-CBD=100-20=80，PBA=180-100=80，所以PBA=ABD，因为EMBD于M，EPCB于P，所以EP=EM，又CE平分ACB，ENCA，EPCB，所以EN=EP，所以EN=EM，所以ED平分ADB，所以ADE=ADB=40=20.需要添加辅助线构造全等三角形的题目,较为常用的构造法有:（1）作平行线.（2）作垂线.（3）延长特殊线段构造相等线段.（4）连接图形中的特殊点.（5）求作特殊图形的对角线.二 探究1、如图，CDAB，BEAC，垂足分别为D、E，BE、CD相交于O，且1 =2。求证：OB = OC。2、如图，AB = AC，DE为ABC的AB边的垂直平分线，D为垂足，DE交BC于E。求证：BE + EC = AB。DE是AB的垂直平分线，AEBEAEECACBEECAC又AB=ACBE+EC=AB3、如图，在ABC中，AC = BC，C = 90，AD是ABC的角平分线，DEAB，垂足为E。（1）已知CD = 1 cm，求AC的长；（2）求证：AB = AC + CD。（1）解：C=90，AD是ABC的角平分线，DEAB，DE=CD=1，AC=BC，C=90， B=45，BDE是等腰直角三角形，BD=DE=，AC=BC=CD+BD=+1（2）证明：在ACD和AED中，ADADDECDACDAED（HL），AC=AE，BDE是等腰直角三角形，BE=DE=CD，AB=AE+BE，AB=AC+CD4、用尺规作图法作下列各个角的平分线。5、如图，求作一点P，使PC = PD，并且点P到AOB两边的距离相等。6、（1）利用角平分线的性质，找到ABC内部距三边距离相等的点。（2）在右图ABC所在平面中，找到距三边所在直线距离相等的点。三 提升1、如图，CDAB，BEAC，垂足分别为D、E，BE、CD相交于O，且OB = OC。求证：1 =2。2、 如右图，已知BEAC于E，CFAB于F，BE、CF相交于点D，若BD=CD。求证：AD平分BAC。证明：BEAC于E，CFAB于F，BFD=DEC=90，在BDF和CDE中，BDFCDE（AAS），DE=DF，又BEAC，CFAB，AD平分BAC。3、填空：（1）如图1，点P为ABC三条角平分线交点，PDAB，PEBC，PFAC，则PD_PE_PF.（2）如图2，P是AOB平分线上任意一点，且PD=2cm，若使PE=2cm，则PE与OB的关系是_.（3）如图3，CD为RtABC斜边上的高，BAC的平分线分别交CD、CB于点E、F，FGAB，垂足为G，则CF_FG，1+3=_度，2+4=_度，3_4，CE_CF. 图1 图2 图34、已知：如图在ABC中，C=90，AD平分BAC，交BC于D，若BC=32，且BDCD=97，求：D到AB边的距离.过点D作DEAB，则DE是点D到AB的距离BD：CD=9：7，CD=BC7/16=327/16=14，AD平分CAB，DE=CD=14分析：画图分析（如下图），由题意可得：,由角平分线性质可得：.故点到边的距离为14.故填14.练习1. 在RtABC中，C90，AD是角平分线，若BC10，BDCD32，则点D到AB的距离是（ ）A. 4B. 6 C. 8 D. 102. 到三角形三边距离相等的点是（ ）A. 三条高的交点 B. 三条中线的交C. 三条角平分线的交点 D. 不能确定3. 如图所示，三条公路两两相交，交点分别为A、B、C，现计划修一个油库，要求到三条公路的距离相等，可供选择的地址有（ ）A. 一处B. 二处 C. 三处 D. 四处ABC内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，ABC内角平分线的交点满足条件；如图：点P是ABC两条外角平分线的交点，过点P作PEAB，PDBC，PFAC，PE=PF，PF=PD，PE=PF=PD，点P到ABC的三边的距离相等，ABC两条外角平分线的交点到其三边的距离也相等，满足这条件的点有3个；综上，到三条公路的距离相等的点有4个可供选择的地址有4个故选D4.如图，ABCD，点P到AB,BC,CD距离都相等，则P= 点P到AB、BC、CD距离都相等，BP、CP分别是ABC和BCD的平分线，CBP=ABC，BCP=BCD，CBP+BCP=（ABC+BCD），ABCD，ABC+BCD=180，CBP+BCP=180=90，P=180-（CBP+BCP）=180-90=90故答案为：905、如图，已知ABCD，0为CAB、ACD的平分线的交点OEAC，且OE=2，则两平行线AB、CD间的距离等于 过O做MNCD交AB于M,交CD于NABCDMNAB即OMAB,ONCDOA平分BACOEAC,OMABOM=OE=2OC平分ACDOEAC,ONCDOE=ONMN=OM+ON=4作 业1、填空（1）、如图，若点P在AOB的角平分线上，PEOA，PDOB。则有 。（2）、如图，若PEOA，PDOB，且PD = PE，则 点P在 上。2、如图，E是线段AC上的一点，ABEB于B，ADED于D，且1 =2，CB = CD。求证：3 =4。3、如图，在ABC中，BEAC，ADBC，AD、BE相交于点P，AE = BD。求证：P在ACB的角平分线上。 证明：连结PCBEAC，ADBC，AEB=BDA=90在RtADB和RtBEA中ABABBDAEBAD=ABE，ABD=BAE，AP=BP，AC=BC在APC和BPC中APBPACBCPCPCAPCBPC（SSS），ACP=BCP，点P在ACB的角平分线上角平分线作法：在角AOB中，画角平分线方法一：1.以点O为圆心，以任意长为半径画弧，两弧交角AOB两边于点M，N。2.分别以点M，N为圆心，以大于1/2MN的长度为半径画弧，两弧交于点P。3.作射线OP。则射线OP为角AOB的角平分线。当然，角平分线的作法有很多种。下面再提供一种尺规作图的方法供参考。方法二：1.在两边OA、OB上分别截取OM、OA和ON、OB，且使得OM=ON，OA=OB；2.连接AN与BM，他们相交于点P；3.作射线OP。则射线OP为角AOB的角平分线。1.已知：如图，ADBC于D，EFBC于F，交AB于G，交CA延长线于E，1=2求证：AD平分BAC，填写分析和证明中的空白 分析：要证明AD平分BAC，只要证明_=_，而已知1=2，所以应联想这两个角分别和1、2的关系，由已知BC的两条垂线可推出_，这时再观察这两对角的关系已不难得到结论证明：ADBC，EFBC（已知）_（_）_=_（两直线平行，内错角相等），_=_（两直线平行，同位角相等）_（已知）_，即AD平分BAC（_）证明：ADBC，EFBC（已知）EFAD（在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行）1=BAD（两直线平行，内错角相等）2=CAD（两直线平行，同位角相等）1=2（已知）BAD=CAD，即AD平分BAC（角平分线的定义）2.如图，已知D是BC的中点，过点D作BC的垂线交A的平分线于点E，EFAB于点F，EGAC于点G。求证BFCG 分析：本题需先连接EC、EB，根据AE是CAB的平分线，得出EG=EF，再根据ED垂直平分BC，得出RtCGEBFE，从而证出BF=CG。证明：连接EC、EBAE是CAB的平分线，EFAB于点F，EGAC于点G，EG=EF，又ED垂直平分BC，EC=EBRtCGERtBFE，BF=CG。3.已知：如图，AF平分BAC，BCAF，垂足为点E，点D与点A关于点E对称，PB分别与线段CF、AF相交于点P、M.(1)求证：AB= CD；(2)若BAC =2MPC，请你判断F与MCD的数量关系，并说明理由(1)证明：AF平分BAC，CAD= DAB=BAC点D与点A关于点E对称E为AD中点 BCAD，BC为AD的中垂线，AC= CD在RtACE和RtABE中，CAD+ACE=DAB+ ABE =CAD= DAB.ACE= ABE，AC =AB，AB= CD.(2)BAC =2MPC，又BAC =2CAD,MPC=CADAC= CD,CAD=CDA,MPC=CDA.MPF=CDM，AC =AB,AEBC,CE= BE，AM为BC的中垂线，CM=BMEMBC,EM平分CMB，（等腰三角形三线合一）CME=BMEBME= PMF,PMF=CME,MCD= F(三角形内角和)10