第5讲(教师)角平分线(北师大版).doc

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第 5 讲 角平分线
学习目标:能够证明角平分线的性质定理、判定定理。能够利用尺规作已知角的平分线。能够运用角平分线的性质定理、判定定理解决几何问题。
重点：角平分线的性质定理、判定定理。
难点：利用角平分线的性质定理、判定定理解决几何问题。
学习过程
知识精讲
．知识点
角的平分线：一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。
1、点到直线的距离：这点向直线引垂线，这点到垂足间线段的长叫做这点到直线的距离。
2. 角平分线的性质及判定
（1）角平分线的性质：

文字表达：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
几何表达：
∵OP平分∠MON（∠1＝∠2），PA⊥OM，PB⊥ON，（已知）
∴PA＝PB．（角平分线的性质）
思考：这一性质定理的根据是什么？
（2）角平分线的判定：

文字表达：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．
几何表达：
∵PA⊥OM，PB⊥ON，PA＝PB（已知）
∴∠1＝∠2（OP平分∠MON）（角平分线的判定）
思考：这一判定定理的根据是什么？
3、三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。
4、点P是△ABC的三条角平分线的交点，且PE⊥BC于E，PF⊥AC于F，PD⊥AB于D，则有 。
二、典型例题
例1. 如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，DA平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E， AB=10求△BDE的周长

例2、如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E是BC的中点，DE平分∠ADC．求证：AE是∠DAB的平分线．

过点E作EH⊥AB于点H，反向延长EH交DC的延长线于点G，过点E作EF⊥AD于点F，
∵AB∥CD，EH⊥AB，
∴EG⊥DC，
∵点E是BC的中点，
∴CE=BE，
在△CGE与△BHE中，

∠GCE＝∠B
CE＝EB
∠CEG＝∠BEH

∴△CGE≌△BHE，
∴GE=EH，
∵DE平分∠ADC，
∴GE=EF，
∴GE=EH，
∴EF=EH，
∴AE是∠DAB的平分线．
例3、如图所示，已知△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，那么AP能否平分∠BAC？请说明理由．由此题你能得到一个什么结论？

思考：画一个任意三角形并作一个内角、一个外角的平分线相交；两个外角的平分线相交，观察交点到这个三角形三条边所在直线的距离的关系．

例4、 如图4，在△ABC中，∠ABC=100°，∠ACB=20°，CE平分∠ACB，D是AC上一点，若∠CBD=20°，求∠ADE的度数.

图4
分析：由于CE平分∠ACB，可过点E作∠ACB的两边的垂线，通过证明DE是∠ADB的平分线解决问题.
解：作EN⊥CA，EM⊥BD，EP⊥CB，垂足分别是N、M、P.
因为∠ABD=∠ABC-∠CBD=100°-20°=80°，∠PBA=180°-100°=80°，
所以∠PBA=∠ABD，
因为EM⊥BD于M，EP⊥CB于P，所以EP=EM，
又CE平分∠ACB，EN⊥CA，EP⊥CB，所以EN=EP，
所以EN=EM，
所以ED平分∠ADB，
所以∠ADE=∠ADB=×40°=20°.
需要添加辅助线构造全等三角形的题目,较为常用的构造法有:
（1）作平行线.
（2）作垂线.
（3）延长特殊线段构造相等线段.
（4）连接图形中的特殊点.
（5）求作特殊图形的对角线.
二 探究
1、如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，BE、CD相交于O，且∠1 =∠2。
求证：OB = OC。

2、如图，AB = AC，DE为△ABC的AB边的垂直平分线，D为垂足，DE交BC于E。
求证：BE + EC = AB。

∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE＝BE
∵AE＋EC＝AC
∴BE＋EC＝AC
又∵AB=AC
∴BE+EC=AB
3、如图，在△ABC中，AC = BC，∠C = 90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E。
（1）已知CD = 1 cm，求AC的长；
（2）求证：AB = AC + CD。

（1）解：∵∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，
∴DE=CD=1，
∵AC=BC，∠C=90°，
∴∠B=45°，
∴△BDE是等腰直角三角形，
∴BD=
DE=，
∴AC=BC=CD+BD=+1
（2）证明：在△ACD和△AED中，

AD＝AD
DE＝CD

∴△ACD≌△AED（HL），
∴AC=AE，
∵△BDE是等腰直角三角形，
∴BE=DE=CD，
∵AB=AE+BE，
∴AB=AC+CD．
4、用尺规作图法作下列各个角的平分线。

5、如图，求作一点P，使PC = PD，并且点P到∠AOB两边的距离相等。

6、（1）利用角平分线的性质，找到△ABC内部距三边距离相等的点。
（2）在右图△ABC所在平面中，找到距三边所在直线距离相等的点。

三 提升
1、如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，BE、CD相交于O，且OB = OC。
求证：∠1 =∠2。

2、 如右图，已知BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE、CF相交于点D，若BD=CD。
求证：AD平分∠BAC。
证明：∵BE⊥AC于E，CF⊥AB于F， 
∴∠BFD=∠DEC=90°，
在△BDF和△CDE中，

∴△BDF≌△CDE（AAS）， 
∴DE=DF，
又∵BE⊥AC，CF⊥AB，
∴AD平分∠BAC。
3、填空：
（1）如图1，点P为△ABC三条角平分线交点，PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC，则PD__________PE__________PF.
（2）如图2，P是∠AOB平分线上任意一点，且PD=2cm，若使PE=2cm，则PE与OB的关系是__________.
（3）如图3，CD为Rt△ABC斜边上的高，∠BAC的平分线分别交CD、CB于点E、F，FG⊥AB，垂足为G，则CF__________FG，∠1+∠3=__________度，∠2+∠4=__________度，∠3__________∠4，CE__________CF.

图1 图2 图3
4、已知：如图在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于D，若BC=32，且BD∶CD=9∶7，求：D到AB边的距离.

过点D作DE⊥AB，则DE是点D到AB的距离
∵BD：CD=97，
∴CD=BC×7/16=32×7/16=14，
∵AD平分∠CAB，
∴DE=CD=14．
分析：画图分析（如下图），由题意可得：,由角平分线性质可得：.故点到边的距离为14.故填14.
练习
1. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是角平分线，若BC＝10，BD∶CD＝3∶2，则点D到AB的距离是（   ）
A. 4   B. 6      C. 8    D. 10
2. 到三角形三边距离相等的点是（   ）
A. 三条高的交点   B. 三条中线的交
C. 三条角平分线的交点   D. 不能确定
3. 如图所示，三条公路两两相交，交点分别为A、BC，现计划修一个油库，要求到三条公路的距离相等，可供选择的地址有（   ）
A. 一处  B. 二处  C. 三处    D. 四处

∵△ABC内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，
∴△ABC内角平分线的交点满足条件；
如图：点P是△ABC两条外角平分线的交点，
过点P作PE⊥AB，PD⊥BC，PF⊥AC，
∴PE=PF，PF=PD，
∴PE=PF=PD，
∴点P到△ABC的三边的距离相等，
∴△ABC两条外角平分线的交点到其三边的距离也相等，满足这条件的点有3个；
综上，到三条公路的距离相等的点有4个．
∴可供选择的地址有4个．
故选D．
4.如图，AB∥CD，点P到AB,BC,CD距离都相等，则∠P=

∵点P到AB、BC、CD距离都相等，
∴BP、CP分别是∠ABC和∠BCD的平分线，
∴∠CBP=∠ABC，∠BCP=∠BCD，
∴∠CBP+∠BCP=（∠ABC+∠BCD），
∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD=180°，
∴∠CBP+∠BCP=×180°=90°，
∴∠P=180°-（∠CBP+∠BCP）=180°-90°=90°．
故答案为：90°．
5、如图，已知AB∥CD，0为∠CAB、∠ACD的平分线的交点．OE⊥AC，且OE=2，则两平行线AB、CD间的距离等于

过O做MN⊥CD交AB于M,交CD于N
∵AB∥CD
∴MN⊥AB
即OM⊥AB,ON⊥CD
∵OA平分∠BAC
OE⊥AC,OM⊥AB
∴OM=OE=2
∵OC平分∠ACD
OE⊥AC,ON⊥CD
∴OE=ON
∴MN=OM+ON=4

作 业
1、填空
（1）、如图，若点P在∠AOB的角平分线上，PE⊥OA，PD⊥OB。则有 。
（2）、如图，若PE⊥OA，PD⊥OB，且PD = PE，则 点P在 上。

2、如图，E是线段AC上的一点，AB⊥EB于B，AD⊥ED于D，且∠1 =∠2，CB = CD。
求证：∠3 =∠4。

3、如图，在△ABC中，BE⊥AC，AD⊥BC，AD、BE相交于点P，AE = BD。
求证：P在∠ACB的角平分线上。

证明：连结PC．
∵BE⊥AC，AD⊥BC，
∴∠AEB=∠BDA=90°．
在Rt△ADB和Rt△BEA中

AB＝AB
BD＝AE

∴∠BAD=∠ABE，∠ABD=∠BAE，
∴AP=BP，AC=BC．
在△APC和△BPC中

AP＝BP
AC＝BC
PC＝PC

∴△APC≌△BPC（SSS），
∴∠ACP=∠BCP，
∴点P在∠ACB的角平分线上．

角平分线作法：
在角AOB中，画角平分线

方法一：
1.以点O为圆心，以任意长为半径画弧，两弧交角AOB两边于点M，N。
2.分别以点M，N为圆心，以大于1/2MN的长度为半径画弧，两弧交于点P。
3.作射线OP。
则射线OP为角AOB的角平分线。
当然，角平分线的作法有很多种。下面再提供一种尺规作图的方法供参考。

方法二：
1.在两边OA、OB上分别截取OM、OA和ON、OB，且使得OM=ON，OA=OB；
2.连接AN与BM，他们相交于点P；
3.作射线OP。
则射线OP为角AOB的角平分线。

1.已知：如图，AD⊥BC于D，EF⊥BC于F，交AB于G，交CA延长线于E，∠1=∠2
求证：AD平分∠BAC，填写分析和证明中的空白．

分析：要证明AD平分∠BAC，只要证明______=______，
而已知∠1=∠2，所以应联想这两个角分别和∠1、∠2的关系，由已知BC的两条垂线可推出______∥______，这时再观察这两对角的关系已不难得到结论．
证明：∵AD⊥BC，EF⊥BC（已知）
∴______∥______（______）
∴______=______（两直线平行，内错角相等），
______=______（两直线平行，同位角相等）
∵______（已知）
∴______，即AD平分∠BAC（______）
证明：∵AD⊥BC，EF⊥BC（已知）
∴EF∥AD（在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行）
∴∠1=∠BAD（两直线平行，内错角相等）
∠2=∠CAD（两直线平行，同位角相等）
∵∠1=∠2（已知）
∴∠BAD=∠CAD，
即AD平分∠BAC（角平分线的定义）
2.如图，已知D是BC的中点，过点D作BC的垂线交∠A的平分线于点E，EF⊥AB于点F，EG⊥AC于点G。求证BF＝CG  

分析：本题需先连接EC、EB，根据AE是∠CAB的平分线，得出EG=EF，再根据ED垂直平分BC，得出Rt△CGE≌△BFE，从而证出BF=CG。
证明：连接EC、EB．
∵AE是∠CAB的平分线，
EF⊥AB于点F，EG⊥AC于点G，
∴EG=EF，
又∵ED垂直平分BC，
∴EC=EB
∴Rt△CGE≌Rt△BFE，
∴BF=CG。
3.已知：如图，AF平分∠BAC，BC⊥AF，垂足为点E，点D与点A关于点E对称，PB分别与线段CF、AF相交于点P、M.  
(1)求证：AB= CD；
(2)若∠BAC =2∠MPC，请你判断∠F与∠MCD的数量关系，并说明理由． 

(1)证明：∵AF平分∠BAC，
∴∠CAD= ∠DAB=∠BAC． 
∵点D与点A关于点E对称∴E为AD中点． BC⊥AD，
∴BC为AD的中垂线，
∴AC= CD
∵在Rt△ACE和Rt△ABE中，∠CAD+∠ACE=∠DAB+ ∠ABE =．∠CAD= ∠DAB.
∴∠ACE= ∠ABE，
∴AC =AB，
∴AB= CD.
  (2)∵∠BAC =2∠MPC，
又∵∠BAC =2∠CAD,
∴∠MPC=∠CAD．
∵AC= CD,
∴∠CAD=∠CDA,
∵∠MPC=∠CDA.
∴∠MPF=∠CDM，
∵AC =AB,AE⊥BC,
∴CE= BE，
∴AM为BC的中垂线，
∴CM=BM
∵EM⊥BC,
∴EM平分∠CMB，（等腰三角形三线合一）
∴∠CME=∠BME．
∴∠BME= ∠PMF,∠PMF=∠CME, 
∴∠MCD= ∠F(三角形内角和)．

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