柱体、锥体、台体的表面积与体积(附答案).doc

(完整word)柱体、锥体、台体的表面积与体积(附答案)
柱体、锥体、台体的表面积与体积
［学习目标］　1。通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台体的表面积的求法.2。了解柱、锥、台体的表面积和体积计算公式;能运用柱、锥、台的表面积和体积公式进行计算和解决有关实际问题。

知识点一　多面体的表面积
多面体的表面积就是各个面的面积的和，也就是展开图的面积。
知识点二　旋转体的表面积
名称
图形
公式
圆柱

底面积：S底＝2πr2
侧面积：S侧＝2πrl
表面积：S＝2πrl＋2πr2
圆锥

底面积:S底＝πr2
侧面积：S侧＝πrl
表面积：S＝πrl＋πr2
圆台

上底面面积:S上底＝πr′2
下底面面积:S下底＝πr2
侧面积：S侧＝πl（r＋r′）
表面积：S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl）

思考　求圆柱、圆锥、圆台的表面积时，要求的关键量是什么？
答　求圆柱、圆锥的表面积时，关键是求其母线长与底面的半径；求圆台的表面积时,关键是求其母线长与上、下底面的半径。
知识点三　体积公式
1.柱体：柱体的底面面积为S,高为h,则V＝Sh.
2.锥体：锥体的底面面积为S，高为h，则V＝Sh.
3。台体：台体的上、下底面面积分别为S′、S，高为h，则V＝（S′＋＋S)h.
思考　简单组合体分割成几个几何体，其表面积如何变化？其体积呢？
答　表面积变大了，体积不变。

题型一　空间几何体的表面积
例1　圆台的母线长为8 cm,母线与底面成60°角，轴截面两条对角线互相垂直，求圆台的表面积。
解　如图所示的是圆台的轴截面ABB1A1，其中∠A1AB＝60°，过A1作A1H⊥AB于H,则O1O＝A1H＝A1A·sin 60°＝4（cm)，
AH＝A1A·cos 60°＝4(cm），
即r2－r1＝AH＝4。①
设A1B与AB1的交点为M，
则A1M＝B1M。
又∵A1B⊥AB1，
∴∠A1MO1＝∠B1MO1＝45°。
∴O1M＝O1A1＝r1.
同理OM＝OA＝r2.
∴O1O＝O1M＋OM＝r1＋r2＝4，②
由①②可得r1＝2（－1)，r2＝2(＋1）。
∴S表＝πr＋πr＋π(r1＋r2）l＝32(1＋）π（cm2)。

跟踪训练1　已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面体SABC(即正四面体SABC）,求其表面积。
解　由于四面体SABC的四个面是全等的等边三角形,
所以四面体的表面积等于其中任何一个面面积的4倍.
先求△SBC的面积，过点S作SD⊥BC，交BC于点D，
如图所示。
因为BC＝a，SD＝＝ ＝a,
所以S△SBC＝BC·SD＝a×a＝a2.
因此，四面体SABC的表面积为S＝4×a2＝a2。

题型二　空间几何体的体积
例2　在Rt△ABC中，AB＝3,BC＝4，∠ABC＝90°,把△ABC绕其斜边AC所在的直线旋转一周后，所形成的几何体的体积是多少？
解　如图所示,两个圆锥的底面半径为斜边上的高BD，
且BD＝＝，
两个圆锥的高分别为AD和DC,
所以V＝V1＋V2＝πBD2·AD＋πBD2·CD
＝πBD2·(AD＋CD）＝πBD2·AC
＝π×2×5＝π。
故所形成的几何体的体积是π。
跟踪训练2　如图，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，求A到平面A1BD的距离d.

解　在三棱锥A1－ABD中，AA1⊥平面ABD，AB＝AD＝AA1＝a，
A1B＝BD＝A1D＝a，
∵
∴×a2·a＝××a×·a·d.
∴d＝a.∴A到平面A1BD的距离为a.
题型三　与三视图有关的表面积、体积问题
例3　(1）某几何体的三视图如图所示（单位:cm)，则该几何体的表面积等于（　　)
A.8π cm2 B.7π cm2
C。(5＋)π cm2 D.6π cm2

(2)一个几何体的三视图如图所示（单位:m），则该几何体的体积为________m3.

答案　（1）B　 (2)6＋π
解析　（1）此几何体是由一个底面半径为1，高为2的圆柱与一个底面半径为1，母线长为2的圆锥组合而成的，故S表＝S圆柱侧＋S圆锥侧＋S底＝2π×1×2＋π×1×2＋π×12＝7π。
(2)由三视图可知该几何体是组合体。
下面是长方体，长、宽、高分别为3,2,1；上面是一个圆锥,底面圆半径为1,高为3,所以该几何体的体积为3×2×1＋π×12×3＝（6＋π） m3.

跟踪训练3　某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是________.

答案　16π－16
解析　由三视图可知该几何体是一个圆柱内部挖去一个正四棱柱，圆柱底面圆半径为2,高为4,故体积为16π；正四棱柱底面边长为2，高为4,故体积为16，故题中几何体的体积为16π－16。

分割转化求体积

例4　如图所示，已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为a的正方体，E，F分别为AA1,CC1的中点，求四棱锥A1－EBFD1的体积。

分析　本题若直接求解较为困难，这里利用“割”的思想，将四棱锥的体积转化为两个等底的三棱锥的体积之和,从而简化求解步骤.
解　因为EB＝BF＝FD1＝D1E＝ ＝a，
D1F∥EB，
所以四边形EBFD1是菱形。
连接EF，则△EFB≌△EFD1.
易知三棱锥A1－EFB与三棱锥A1－EFD1的高相等，
故
又因为＝EA1·AB＝a2,
则＝a3,
所以＝a3。

圆柱体积的求解

例5　把长、宽分别为4,2的矩形卷成一个圆柱的侧面，求这个圆柱的体积.
分析　利用底面的周长，求得底面半径，利用圆柱的体积公式求解。
解　设圆柱的底面半径为r，母线长为l，高为h。

如图①所示,当2πr＝4，l＝2时，r＝，h＝l＝2,
所以V圆柱＝πr2h＝；
如图②所示,当2πr＝2，l＝4时，r＝，h＝l＝4；
所以，此时V圆柱＝πr2h＝.

1.一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的表面积与侧面积的比是（　　)
A. B。 C. D.
2.如图，一个底面半径为2的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为2和3，则该几何体的体积为(　　）

A。5π B。6π C.20π D。10π
3.一个几何体的三视图及其尺寸如图（单位:cm），则该几何体的表面积为(　　)

A。12π B.18π C.24π D.36π
4。一个六棱锥的体积为2，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为________.
5。如图,在上、下底面对应边的比为1∶2的三棱台中，过上底面一边作一个平行于棱CC1的平面A1B1EF,这个平面分三棱台成两部分，这两部分的体积之比为________.

一、选择题
1.将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是（　　）
A.4π B。3π C。2π D.π
2.已知高为3的直棱柱ABC－A1B1C1的底面是边长为1的正三角形,则三棱锥B1－ABC的体积为(　　)
A. B。 C。 D。
3.若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为，则这个圆锥的表面积是（　　）
A.3π B.3π C。2π D.9π
4。在一个长方体中,过一个顶点的三条棱长的比是1∶2∶3，它的体对角线长是2，则这个长方体的体积是(　　）
A。6 B.12 C.24 D。48
5.一个多面体的三视图如图所示,则该多面体的表面积为(　　)

A。21＋ B。18＋ C.21 D.18
6.体积为52的圆台,一个底面积是另一个底面积的9倍，那么截得这个圆台的圆锥的体积是(　　）
A.54 B.54π C。58 D。58π
7。某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是(　　）

A. B。 C。 D.1

二、填空题
8.一个圆柱和一个圆锥的轴截面分别是边长为a的正方形和正三角形，则它们的表面积之比为________。
9.现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个。若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为________。
10。一个几何体的三视图如图所示(单位:m）,则该几何体的体积为________m3.

11.设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1，S2，体积分别为V1,V2.若它们的侧面积相等，且＝，则的值是________。
三、解答题
12.已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图是一个底边长为6、高为4的等腰三角形。
(1）求该几何体的体积V；(2)求该几何体的侧面积S.

13.已知底面半径为 cm，母线长为 cm的圆柱，挖去一个以圆柱上底面圆心为顶点，下底面为底面的圆锥，求所得几何体的表面积及体积。

当堂检测答案
1。答案　A
解析　设底面圆半径为r，母线长为h,∴h＝2πr,则＝＝＝＝.
2.答案　D
解析　用一个完全相同的几何体把题中几何体补成一个圆柱，如图，则圆柱的体积为π×22×5＝20π，故所求几何体的体积为10π。
3.答案　C
解析　由三视图知该几何体为圆锥，底面半径r＝3，母线l＝5，∴S表＝πrl＋πr2＝24π.故选C.
4。答案　12
解析　设正六棱锥的高为h,侧面的斜高为h′.由题意,得×6××2×2××h＝2，∴h＝1。∴斜高h′＝＝2,∴S侧＝6××2×2＝12。
5。答案　3∶4（或4∶3）
解析　设三棱台的上底面面积为S0，则下底面面积为4S0，＝S0h。
＝S0h。
设剩余的几何体的体积为V，
则V＝S0h－S0h＝S0h,
体积之比为3∶4或4∶3。

课时精练答案
一、选择题
1。答案　C
解析　底面圆半径为1，高为1，侧面积S＝2πrh＝2π×1×1＝2π.故选C.
2。答案　D
解析　S底＝×1× ＝，所以＝S底·h＝××3＝.
3。答案　A
解析　设圆锥底面的半径为R，则由×2R×R＝，得R＝1.所以S圆锥表＝πRl＋πR2＝π×1×2＋π＝3π.
4.答案　D
解析　设长方体的三条棱长分别为a,2a，3a，那么＝2.解得a＝2，长方体的体积为V＝2×4×6＝48。
5.答案　A
解析　由三视图可知，该多面体为一个边长为2的正方体在左下角与右上角各切去一个三棱锥，因此该多面体的表面积为6×＋×××2＝21＋。
6.答案　A
解析　设上底面半径为r，则由题意求得下底面半径为3r，设圆台高为h1，则52＝πh1(r2＋9r2＋3r·r），
∴πr2h1＝12。令原圆锥的高为h，由相似知识得＝,∴h＝h1，
∴V原圆锥＝π(3r)2×h＝3πr2×h1＝×12＝54.
7。答案　B
解析　如图,三棱锥的底面是一个直角边长为1的等腰直角三角形,有一条侧棱和底面垂直，且其长度为2，故三棱锥的高为2，故其体积V＝××1×1×2＝,故选B。
二、填空题
8。答案　2∶1
解析　S圆柱＝2·π2＋2π··a＝πa2，
S圆锥＝π2＋π··a＝πa2,
∴S圆柱∶S圆锥＝2∶1.
9.答案　
解析　设新的底面半径为r,则有×πr2×4＋πr2×8＝×π×52×4＋π×22×8，解得r＝.

10。答案　π
解析　由三视图可知原几何体是由两个圆锥和一个圆柱组成的，它们有共同的底面，且底面半径为1,圆柱的高为2,每个圆锥的高均为1，所以体积为2×π×12×1＋π×12×2＝(m3)。
11.答案　
解析　设两个圆柱的底面半径和高分别为r1,r2和h1,h2。由＝，得＝,∴＝。
由圆柱的侧面积相等，得2πr1h1＝2πr2h2,
即r1h1＝r2h2.
∴＝＝＝.
三、解答题
12.解　由已知可得该几何体是一个底面为矩形、高为4、顶点在底面的投影是矩形中心的四棱锥V-ABCD.
(1）V＝×(8×6)×4＝64。
(2）该四棱锥的两个侧面VAD，VBC是全等的等腰三角形，且BC边上的高为h1＝ ＝4，另两个侧面VAB，VCD也是全等的等腰三角形,AB边上的高为h2＝ ＝5.
因此S侧＝2＝40＋24。
13。解　作轴截面如图，设挖去的圆锥的母线长为l，底面半径为r，则l＝＝＝3(cm)。
故几何体的表面积为
S＝πrl＋πr2＋2πr·AD
＝π××3＋π×()2＋2π××
＝3π＋3π＋6π
＝（3＋3＋6)π(cm2)。
几何体的体积为
V＝V圆柱－V圆锥＝π·r2·AD－πr2AD
＝π×3×－×π×3×
＝2π(cm3）。
14