柱体、锥体、台体的表面积与体积(附答案).doc

(完整word)柱体、锥体、台体的表面积与体积(附答案)柱体、锥体、台体的表面积与体积学习目标1。通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台体的表面积的求法.2。了解柱、锥、台体的表面积和体积计算公式;能运用柱、锥、台的表面积和体积公式进行计算和解决有关实际问题。知识点一多面体的表面积多面体的表面积就是各个面的面积的和，也就是展开图的面积。知识点二旋转体的表面积名称图形公式圆柱底面积：S底2r2侧面积：S侧2rl表面积：S2rl2r2圆锥底面积:S底r2侧面积：S侧rl表面积：Srlr2圆台上底面面积:S上底r2下底面面积:S下底r2侧面积：S侧l（rr）表面积：S(r2r2rlrl）思考求圆柱、圆锥、圆台的表面积时，要求的关键量是什么？答求圆柱、圆锥的表面积时，关键是求其母线长与底面的半径；求圆台的表面积时,关键是求其母线长与上、下底面的半径。知识点三体积公式1.柱体：柱体的底面面积为S,高为h,则VSh.2.锥体：锥体的底面面积为S，高为h，则VSh.3。台体：台体的上、下底面面积分别为S、S，高为h，则V（SS)h.思考简单组合体分割成几个几何体，其表面积如何变化？其体积呢？答表面积变大了，体积不变。题型一空间几何体的表面积例1圆台的母线长为8 cm,母线与底面成60角，轴截面两条对角线互相垂直，求圆台的表面积。解如图所示的是圆台的轴截面ABB1A1，其中A1AB60，过A1作A1HAB于H,则O1OA1HA1Asin 604（cm)，AHA1Acos 604(cm），即r2r1AH4。设A1B与AB1的交点为M，则A1MB1M。又A1BAB1，A1MO1B1MO145。O1MO1A1r1.同理OMOAr2.O1OO1MOMr1r24，由可得r12（1)，r22(1）。S表rr(r1r2）l32(1）（cm2)。跟踪训练1已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面体SABC(即正四面体SABC）,求其表面积。解由于四面体SABC的四个面是全等的等边三角形,所以四面体的表面积等于其中任何一个面面积的4倍.先求SBC的面积，过点S作SDBC，交BC于点D，如图所示。因为BCa，SD a,所以SSBCBCSDaaa2.因此，四面体SABC的表面积为S4a2a2。题型二空间几何体的体积例2在RtABC中，AB3,BC4，ABC90,把ABC绕其斜边AC所在的直线旋转一周后，所形成的几何体的体积是多少？解如图所示,两个圆锥的底面半径为斜边上的高BD，且BD，两个圆锥的高分别为AD和DC,所以VV1V2BD2ADBD2CDBD2(ADCD）BD2AC25。故所形成的几何体的体积是。跟踪训练2如图，在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，求A到平面A1BD的距离d.解在三棱锥A1ABD中，AA1平面ABD，ABADAA1a，A1BBDA1Da，a2aaad.da.A到平面A1BD的距离为a.题型三与三视图有关的表面积、体积问题例3(1）某几何体的三视图如图所示（单位:cm)，则该几何体的表面积等于（)A.8 cm2 B.7 cm2C。(5) cm2 D.6 cm2(2)一个几何体的三视图如图所示（单位:m），则该几何体的体积为_m3.答案（1）B (2)6解析（1）此几何体是由一个底面半径为1，高为2的圆柱与一个底面半径为1，母线长为2的圆锥组合而成的，故S表S圆柱侧S圆锥侧S底21212127。(2)由三视图可知该几何体是组合体。下面是长方体，长、宽、高分别为3,2,1；上面是一个圆锥,底面圆半径为1,高为3,所以该几何体的体积为321123（6） m3.跟踪训练3某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是_.答案1616解析由三视图可知该几何体是一个圆柱内部挖去一个正四棱柱，圆柱底面圆半径为2,高为4,故体积为16；正四棱柱底面边长为2，高为4,故体积为16，故题中几何体的体积为1616。分割转化求体积例4如图所示，已知ABCDA1B1C1D1是棱长为a的正方体，E，F分别为AA1,CC1的中点，求四棱锥A1EBFD1的体积。分析本题若直接求解较为困难，这里利用“割”的思想，将四棱锥的体积转化为两个等底的三棱锥的体积之和,从而简化求解步骤.解因为EBBFFD1D1E a，D1FEB，所以四边形EBFD1是菱形。连接EF，则EFBEFD1.易知三棱锥A1EFB与三棱锥A1EFD1的高相等，故又因为EA1ABa2,则a3,所以a3。圆柱体积的求解例5把长、宽分别为4,2的矩形卷成一个圆柱的侧面，求这个圆柱的体积.分析利用底面的周长，求得底面半径，利用圆柱的体积公式求解。解设圆柱的底面半径为r，母线长为l，高为h。如图所示,当2r4，l2时，r，hl2,所以V圆柱r2h；如图所示,当2r2，l4时，r，hl4；所以，此时V圆柱r2h.1.一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的表面积与侧面积的比是（)A. B。 C. D.2.如图，一个底面半径为2的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为2和3，则该几何体的体积为(）A。5 B。6 C.20 D。103.一个几何体的三视图及其尺寸如图（单位:cm），则该几何体的表面积为()A。12 B.18 C.24 D.364。一个六棱锥的体积为2，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为_.5。如图,在上、下底面对应边的比为12的三棱台中，过上底面一边作一个平行于棱CC1的平面A1B1EF,这个平面分三棱台成两部分，这两部分的体积之比为_.一、选择题1.将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是（）A.4 B。3 C。2 D.2.已知高为3的直棱柱ABCA1B1C1的底面是边长为1的正三角形,则三棱锥B1ABC的体积为()A. B。 C。 D。3.若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为，则这个圆锥的表面积是（）A.3 B.3 C。2 D.94。在一个长方体中,过一个顶点的三条棱长的比是123，它的体对角线长是2，则这个长方体的体积是(）A。6 B.12 C.24 D。485.一个多面体的三视图如图所示,则该多面体的表面积为()A。21 B。18 C.21 D.186.体积为52的圆台,一个底面积是另一个底面积的9倍，那么截得这个圆台的圆锥的体积是(）A.54 B.54 C。58 D。587。某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是(）A. B。 C。 D.1二、填空题8.一个圆柱和一个圆锥的轴截面分别是边长为a的正方形和正三角形，则它们的表面积之比为_。9.现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个。若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为_。10。一个几何体的三视图如图所示(单位:m）,则该几何体的体积为_m3.11.设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1，S2，体积分别为V1,V2.若它们的侧面积相等，且，则的值是_。三、解答题12.已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图是一个底边长为6、高为4的等腰三角形。(1）求该几何体的体积V；(2)求该几何体的侧面积S.13.已知底面半径为 cm，母线长为 cm的圆柱，挖去一个以圆柱上底面圆心为顶点，下底面为底面的圆锥，求所得几何体的表面积及体积。当堂检测答案1。答案A解析设底面圆半径为r，母线长为h,h2r,则.2.答案D解析用一个完全相同的几何体把题中几何体补成一个圆柱，如图，则圆柱的体积为22520，故所求几何体的体积为10。3.答案C解析由三视图知该几何体为圆锥，底面半径r3，母线l5，S表rlr224.故选C.4。答案12解析设正六棱锥的高为h,侧面的斜高为h.由题意,得622h2，h1。斜高h2,S侧62212。5。答案34（或43）解析设三棱台的上底面面积为S0，则下底面面积为4S0，S0h。S0h。设剩余的几何体的体积为V，则VS0hS0hS0h,体积之比为34或43。课时精练答案一、选择题1。答案C解析底面圆半径为1，高为1，侧面积S2rh2112.故选C.2。答案D解析S底1 ，所以S底h3.3。答案A解析设圆锥底面的半径为R，则由2RR，得R1.所以S圆锥表RlR2123.4.答案D解析设长方体的三条棱长分别为a,2a，3a，那么2.解得a2，长方体的体积为V24648。5.答案A解析由三视图可知，该多面体为一个边长为2的正方体在左下角与右上角各切去一个三棱锥，因此该多面体的表面积为6221。6.答案A解析设上底面半径为r，则由题意求得下底面半径为3r，设圆台高为h1，则52h1(r29r23rr），r2h112。令原圆锥的高为h，由相似知识得,hh1，V原圆锥(3r)2h3r2h11254.7。答案B解析如图,三棱锥的底面是一个直角边长为1的等腰直角三角形,有一条侧棱和底面垂直，且其长度为2，故三棱锥的高为2，故其体积V112,故选B。二、填空题8。答案21解析S圆柱222aa2，S圆锥2aa2,S圆柱S圆锥21.9.答案解析设新的底面半径为r,则有r24r28524228，解得r.10。答案解析由三视图可知原几何体是由两个圆锥和一个圆柱组成的，它们有共同的底面，且底面半径为1,圆柱的高为2,每个圆锥的高均为1，所以体积为2121122(m3)。11.答案解析设两个圆柱的底面半径和高分别为r1,r2和h1,h2。由，得,。由圆柱的侧面积相等，得2r1h12r2h2,即r1h1r2h2.三、解答题12.解由已知可得该几何体是一个底面为矩形、高为4、顶点在底面的投影是矩形中心的四棱锥V-ABCD.(1）V(86)464。(2）该四棱锥的两个侧面VAD，VBC是全等的等腰三角形，且BC边上的高为h1 4，另两个侧面VAB，VCD也是全等的等腰三角形,AB边上的高为h2 5.因此S侧24024。13。解作轴截面如图，设挖去的圆锥的母线长为l，底面半径为r，则l3(cm)。故几何体的表面积为Srlr22rAD3()22336（336)(cm2)。几何体的体积为VV圆柱V圆锥r2ADr2AD332(cm3）。14