北交大2011-2012学年第二学期概率论与数理统计期末考试试卷(A卷)答案.doc

2011-2012学年第二学期概率论与数理统计学期末考试试卷（A卷）答案 Page 8 of 8北 京 交 通 大 学20112012学年第二学期概率论与数理统计期末考试试卷（A卷）参 考 答 案一（本题满分8分） 在某个社区，60%的家庭拥有汽车，30%的家庭拥有房产，而20%的家庭既有汽车又有房产现随机地选取一个家庭，求此家庭或者有汽车或者有房产但不是都有的概率 解： 设“任取一个家庭拥有汽车”，“任取一个家庭拥有房产”由题设得 ，因此有 ； 所求概率为 二（本题满分8分） 假设一个人在一年中患感冒的次数服从参数为的Poisson分布现有一种预防感冒的新药，它对于22%的人来讲，可将上面的参数降为（称为疗效显著）；对37%的人来讲，可将上面的参数降为（称为疗效一般）；而对于其余的人来讲则是无效的现有一人服用此药一年，在这一年中，他患了2次感冒，求此药对他是“疗效显著”概率有多大？ 解： 设， 由题设，可知如果事件发生，则服从参数为的Poisson分布；如果事件发生，则服从参数为的Poisson分布；如果事件发生，则服从参数为的Poisson分布因此，由Bayes公式，我们有 三（本题满分8分） 某人住家附近有一个公交车站，他每天上班时在该站等车的时间（单位：分钟）服从的指数分布，如果他候车时间超过分钟，他就改为步行上班求他一周天上班时间中至少有天需要步行的概率 解： 的密度函数为 设“候车时间超过5分钟”，则 设：一周5天中他需要步行上班的天数则，因此所求概率为 四（本题满分8分） 设随机变量的密度函数为 求常数； 求的分布函数 解： 由密度函数的性质，得 ，解方程，得 当时，； 当时，； 当时， 综上所述，随机变量的分布函数为 五（本题满分8分） 设个随机变量相互独立，都服从区间上的均匀分布，令， 求随机变量的密度函数； 求数学期望 解： 随机变量的密度函数为 ，分布函数为 随机变量的密度函数为 六（本题满分8分） 设二维随机变量的联合密度函数为 求随机变量的边际密度函数；（5分） 求条件密度函数（3分） 解： 当，或者时，； 当时， 所以，随机变量的边际密度函数为 当时，因此当时，关于的条件密度函数为 即当时，条件密度函数为 七（本题满分8分） 设随机变量与相互独立，而且都服从正态分布再令，其中与是不全为零的常数，求随机变量与的协方差与相关系数 解： 由于随机变量与都服从正态分布，所以， ； 再由于随机变量与相互独立，故有 ， ， ， 所以，八（本题满分8分） 某药厂断言，该厂生产的某种药品对治愈一种疑难的血液病的治愈率为医院检验员任意抽查个服用此药品的病人，如果其中多于人治愈，就接受这一断言；否则就拒绝这一断言试用中心极限定理计算， 如果实际上对这种疾病的治愈率确为，问拒绝这一断言的概率是多少？ 如果实际上对这种疾病的治愈率为，问接受这一断言的概率是多少？ （附，标准正态分布的分布函数的某些数值： 解： 设：100位服用此药品的病人中治愈此病的人数，则 当时， 当时， 九（本题满分8分） 设总体，是取自总体中的一个样本，令， ，计算统计量的分布（不需求出的密度函数，只需指出所服从的分布及其参数） 解： 由题设可知，所以有 因此有 又由，得因此由分布的构造，得 十（本题满分8分） 设总体服从参数为的几何分布，其分布律为 其中是未知参数，是取自该总体中的一个样本试求参数的极大似然估计量 解： 似然函数为 所以，所以，解方程，得因此的极大似然估计量为十一（本题满分10分） 设总体等可能地取值，其中是未知的正整数是取自该总体中的一个样本试求的极大似然估计量（7分） 某单位的自行车棚内存放了辆自行车，其编号分别为1，2，3，假定职工从车棚中取出自行车是等可能的某人连续12天记录下他观察到的取走的第一辆自行车的编号为12， 203， 23， 7， 239， 45， 73， 189， 95， 112， 73， 159，试求在上述样本观测值下，的极大似然估计值（3分） 解： 总体的分布列为 ， 所以似然函数为 ， 当越小时，似然函数越大；另一方面，还要满足：，即 所以，的最大似然估计量为 由上面的所求，可知的最大似然估计值为十二（本题满分10分） 三个朋友去喝咖啡，他们决定用如下的方式付账：每人各掷一枚均匀的硬币，如果某人掷出的结果与其余两人的不一样，则由该人付账；如果三人掷出的结果都一样，则重新掷下去，直到确定了由谁付账时为止求： 抛掷硬币次数的数学期望；（5分） 进行了3次还没确定付账人的概率（5分） 解： 的取值为并且 ， 即随机变量服从参数的几何分布，因此 第 8 页 共 8 页