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函数的单调性
知识点
1、增函数定义、减函数的定义：
（1）设函数的定义域为A，区间MA，如果取区间M中的任意两个值,当改变量时，都有，那么就称函数在区间M上是增函数，如图（1）当改变量时，都有，那么就称
函
数在区间M上是减函数，如图（2）

注意：单调性定义中的x1、x2有什么特征：函数单调性定义中的x1,x2有三个特征,一是任意性，二是有大小，三是同属于一个单调区间．
1、 根据函数的单调性的定义思考：由f(x)是增(减)函数且f(x1)<f(x2)能否推出x1<x2(x1>x2)
2、 我们来比较一下增函数与减函数定义中的符号规律，你有什么发现没有？
3、 如果将增函数中的“当时，都有”改为当时，都有结论是否一样呢？
4、 定义的另一种表示方法
如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1,x2,若即，则函数y=f(x)是增函数，若即，则函数y=f(x)为减函数。
判断题：
①已知因为，所以函数是增函数．
②若函数满足则函数在区间上为增函数．
③若函数在区间和上均为增函数，则函数在区间上为增函数．
④因为函数在区间上都是减函数，所以在上是减函数.
通过判断题，强调几点：
①单调性是对定义域内某个区间而言的，离开了定义域和相应区间就谈不上单调性．
②对于某个具体函数的单调区间，可以是整个定义域(如一次函数)，可以是定义域内某个区间(如二次函数)，也可以根本不单调(如常函数)．
③单调性是对定义域的某个区间上的整体性质，不能用特殊值说明问题。
④函数在定义域内的两个区间A,B上都是增（或减）函数，一般不能认为函数在上是增（或减）函数．
（2）单调区间
如果函数y＝f（x）在某个区间上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f（x）在这一区
间具有（严格的）单调性，这一区间叫做y＝f（x）的单调区间．
函数单调性的性质：
（1）增函数：如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值
， 当时，都有，
（2）减函数：如果对于属于定义域I内某个区间的任意两个自变量的值，当时， 都有，
（3） 函数的单调性还有以下性质．
1．函数y＝－f（x）与函数y＝f（x）的单调性相反．
2．当f（x）恒为正或恒为负时，函数y＝与y＝f（x）的单调性相反．
3．在公共区间内，增函数＋增函数＝增函数，增函数－减函数＝增函数等．
4 .如果k>0 函数k与函数具有相同的单调性。
如果k<0 函数k与函数具有相反的单调性。
5..若0，则函数与具有相反的单调性,.
6. 若>O，函数与函数具有相同的单调性。
若 <0，函数与函数具有相同的单调性
7。.函数在R上具有单调性，则在R上具有相反的单调性。
复合函数的单调性。
如果函数 ，则
称为x 的复合函数。
解决复合函数的问题，关键是弄清复合的过程，即中间变量的定义域与值域的作用。
复合函数的单调性的判断：同增异减。
函数
单调状况
内层函数
增
增
减
减
外层函数
增
减
增
减
复合函数
增
减
减
增
函数的单调性题型分类讲解
题型一：.单调性讨论
1.讨论函数y=(k-2)x+3(a≠0)在区间R内的单调性.
2.讨论函数f(x)＝ (a≠0)在区间(-1，1)内的单调性.
解：设-1＜x1＜x2＜１，则f(x1)-f(x2)＝-＝
∵x1，x2∈(-1，1)，且x1＜x２，∴x1-x2＜0，1+x1x2＞0，(1-x21)(1-x22)＞0
于是，当a＞0时，f(x1)＜f(x2)；当a＜0时，f(x1)＞f(x2).
故当a＞0时，函数在(-1，1)上是增函数；当a＜0时，函数在(-1，1)上为减函数.
题型二：单调性判断与证明
1.下列函数中，在区间（0，1）上为增函数的是
A．y＝|x2－1| B. C．y＝2x2－x＋1 D．y＝|x|＋1
题型三：求函数的单调区间及该区间上的单调性
1.求下列函数的增区间与减区间
(1)y＝|x2＋2x－3|
2.判断函数f(x)=－x3+1在(－∞,0)上是增函数还是减函数，并证明你的结论；如果x∈（0，＋∞），函数f(x)是增函数还是减函数？
题型四：.已知简单函数的单调性求与其相关函数的单调性
若函数y＝ax,y＝－在（0，＋∞）上都是减函数，则函数y＝ax2＋bx在（0,＋∞）上是________（填单调性）． 
设y=f(x)的单增区间是(2，6)，求函数y=f(2－x)的单调区间．
上是单调递减的。
）
，
（－
在
，
由复合函数单调性可知
是单减的，
上
在
又
）
，
（－
）
，
（
而
）上是增函数，
，
（
在
则由已知得
解：令
0
4
)]
(
[
)
2
(
)
0
,
4
(
2
)
(
0
4
6
2
2
)
(
6
2
)
(
,
2
)
(
Î
=
-
-
Î
-
=
Î
\
Î
-
=
Î
-
=
x
x
t
f
x
f
x
x
x
t
x
x
x
t
t
t
f
x
x
t

解：令t(x)=2-x,则由已知得，f(t)在区间是(2，6)，

设函数y＝f（x）是定义在（－1，1）上的增函数，则函数y＝f（x2－1）的单调递减区间是______________
已知函数f(x)=8＋2x－x2，如果g(x)=f( 2－x2 )，那么函数g(x) （ ）
A．在区间(－1，0)上是减函数 B．在区间(0，1)上是减函数
C．在区间(－2，0)上是增函数 D．在区间(0，2)上是增函数
设是上的减函数，则的单调递减区间为 .
题型五：已知函数的单调性，求参数的取值范围。
已知函数f(x)＝x2+2(a-1)x+2在区间(-∞，4］上是减函数，则实数a的取值范围是 .
已知函数y＝－x2＋2x＋1在区间［－3，a］上是增函数，则a的取值范围是______________
函数f(x) = ax2＋4(a＋1)x－3在[2，＋∞]上递减，则a的取值范围是__ ．
函数在区间（-2，+∞）上是增函数，那么a的取值范围是（　）
A.　　　　　 B. C.a<-1或a>1　　　　　　 D.a>-2
解：f(x)＝＝＝＋a.
任取x1，x2∈(－2，＋∞)，且x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝－ ＝.
∵函数f(x)＝在区间(－2，＋∞)上为增函数，∴f(x1)－f(x2)<0.
∵x2－x1>0，x1＋2>0，x2＋2>0，∴1－2a<0，a>. 即实数a的取值范围是.
题型六：函数单调性的应用
11．已知f(x)在区间(－∞，＋∞)上是增函数，a、b∈R且a＋b≤0，则下列不等式中正确的是（ ）
A．f(a)＋f(b)≤－f(a)＋f(b)］ B．f(a)＋f(b)≤f(－a)＋f(－b)
C．f(a)＋f(b)≥－f(a)＋f(b)］ D．f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)
12．定义在R上的函数y=f(x)在(－∞，2)上是增函数，且y=f(x＋2)图象的对称轴是x=0，则 （ ）
A．f(－1)＜f(3) B．f (0)＞f(3) C．f (－1)=f (－3) D．f(2)＜f(3)
已知函数f(x)在区间[a，b]上单调，且f(a)f(b)＜0，则方程f(x)=0在区间[a，b]内（ ）
A．至少有一实根 B．至多有一实根
C．没有实根 D．必有唯一的实根
题型七：已知函数的单调性，解含函数符号的不等式。
7．已知函数f(x)是R上的增函数，A(0，－1)、B(3，1)是其图象上的两点，那么不等式 |f(x＋1)|＜1的解集的补集是 （ ）
A．(－1，2) B．(1，4)
C．(－∞，－1)∪[4，＋∞） D．(－∞，－1)∪[2，＋∞）
已知：f(x)是定义在[－1，1]上的增函数，且f(x－1)<f(x2－1)求x的取值范围．
已知函数f(x)＝若f(2－a2)>f(a)，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，－1)∪(2，＋∞) B．(－1,2) C．(－2,1) D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
解析：f(x)＝由f(x)的图象可知f(x)在(－∞，＋∞)上是单调递增函数，由f(2－a2)>f(a)得2－a2>a，即a2＋a－2<0，解得－2<a<1.故选C.
8.已知f(x)在其定义域R+上为增函数，f(2)=1，f(xy)=f(x)+f(y)，解不等式f(x)+f(x－2) ≤3

题型八：已知函数的单调性求最值
已知x∈[0，1]，则函数 的最大值为_______最小值为_________
函数y=x－2＋2的值域为__ ___．
题型九：综合题型
已知定义在区间（0，+∞）上的函数f(x)满足f(=f(x1)-f(x2)，且当x＞1时，f(x)＜0.
（1）求f(1)的值；
（2）判断f(x）的单调性；
（3）若f(3)=-1,解不等式f(|x|)＜-2.
（1）f(1) = f(1/1) = f(1) - f(1) = 0。
（2）当0 < x < y时，y/x > 1，所以f(y) - f(x) = f(y/x) < 0 。故f单调减。
（3）f(3) = -1，f(3) = f(9/3) = f(9) - f(3)，f(9) = -2而 f（｜x｜)＜-2 = f(9)，且f单调减，所以| x | > 9 x＞9或x＜-9
.函数f(x)对任意的a、b∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且当x＞0时，f(x)＞1.
（1）求证：f(x)是R上的增函数；
（2）若f(4)=5,解不等式f(3m2-m-2)＜3.
（1）设x1,x2∈R，且x1＜x2, 则x2-x1＞0,∴f(x2-x1)＞1.
f(x2)-f(x1)=f((x2-x1)+x1)-f(x1)
=f(x2-x1)+f(x1)-1-f(x1)
=f(x2-x1)-1＞0.
∴f（x2）＞f(x1).即f(x)是R上的增函数.
（2）∵f（4）=f（2+2）=f（2）+f（2）-1=5，∴f（2）=3，∴原不等式可化为f(3m2-m-2)＜f(2),
∵f(x)是R上的增函数，∴3m2-m-2＜2,

解得-1＜m＜ ,故解集为 .
设f（x）的定义域为（0，+∞），且在（0，+∞）是递增的，
（1）求证：f（1）=0，f（xy）=f（x）+f（y）；
（2）设f（2）=1，解不等式。
（1）证明：，令x=y=1，则有：f（1）=f（1）-f（1）=0，
。
（2）解：∵，
∵2=2×1=2f（2）=f（2）+f（2）=f（4），
∴等价于：①，
且x>0，x-3>0[由f（x）定义域为（0，+∞）可得
∵，4>0，又f（x）在（0，+∞）上为增函数，
∴①。又x>3，∴原不等式解集为：{x|3<x≤4}。
12.已知函数f(x)＝(a≠1)．
(1)若a>0，则f(x)的定义域是________；
(2)若f(x)在区间(0,1]上是减函数，则实数a的取值范围是________．
解析：
(1)当a>0且a≠1时，由3－ax≥0得x≤，即此时函数f(x)的定义域是；
(2)当a－1>0，即a>1时，要使f(x)在(0,1]上是减函数，则需3－a×1≥0，此时1<a≤3.
当a－1<0，即a<1时，要使f(x)在(0,1]上是减函数，则需－a>0，此时a<0.
综上所述，所求实数a的取值范围是(－∞，0)∪(1,3]．
13. 定义在上的函数，，当时，，且对任意的，有. (1)求的值；(2)求证：对任意的，恒有；(3)若，求的取值范围.
解：（1）解：令，则　又，.
（2）证明：当时，，∴　∵，∴　又时，　　∴对任意的，恒有.
（3）解：设，则. ∴. 又
　∴　
　　　　　　　　　=
　∴　.∴　是上的增函数.　　由，得　.∴　，∴∴所求的x的取值范围为
14.已知函数f(x)对于任意x，y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x>0时，f(x)<0，f(1)＝－.
(1)求证：f(x)在R上是减函数；
(2)求f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值．
(1)解法一：∵函数f(x)对于任意x，y∈R总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，
∴令x＝y＝0，得f(0)＝0.再令y＝－x，得f(－x)＝－f(x)．
在R上任取x1>x2，则x1－x2>0，f(x1)－f(x2)＝f(x1)＋f(－x2)＝f(x1－x2)．
又∵x>0时，f(x)<0，而x1－x2>0，∴f(x1－x2)<0，即f(x1)<f(x2)．因此f(x)在R上是减函数．
解法二：设x1>x2，则f(x1)－f(x2)＝f(x1－x2＋x2)－f(x2)＝f(x1－x2)＋f(x2)－f(x2)＝f(x1－x2)．
又∵x>0时，f(x)<0，而x1－x2>0，∴f(x1－x2)<0，即f(x1)<f(x2)，∴f(x)在R上为减函数．
(2)∵f(x)在R上是减函数，∴f(x)在[－3,3]上也是减函数，∴f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值分别为f(－3)与f(3)．而f(3)＝3f(1)＝－2，f(－3)＝－f(3)＝2.∴f(x)在[－3,3]上的最大值为2，最小值为－2.
17.F(x)是定义在( 0，＋∞)上的增函数，且f() = f(x)－f(y)
（1）求f(1)的值．
（2）若f(6)= 1，解不等式 f( x＋3 )－f() ＜2 ．
解析：①在等式中，则f(1)=0．
②在等式中令x=36，y=6则
故原不等式为：即f[x(x＋3)]＜f(36)，
又f(x)在(0，＋∞)上为增函数，
故不等式等价于：
22．已知函数f(x)=，x∈［1，＋∞］
（1）当a=时，求函数f(x)的最小值；
（2）若对任意x∈[1，＋∞，f(x)＞0恒成立，试求实数a的取值范围．
解析： (1)当a=时，f(x)=x＋＋2，x∈1，＋∞)
设x2＞x1≥1，则f(x2)－f(x1)=x2＋=(x2－x1)＋=(x2－x1)(1－)
∵x2＞x1≥1，∴x2－x1＞0，1－＞0，则f(x2)＞f(x1)
可知f(x)在［1，＋∞)上是增函数．∴f(x)在区间［1，＋∞上的最小值为f(1)=．
(2)在区间［1，＋∞上，f(x)=＞0恒成立x2＋2x＋a＞0恒成立
设y=x2＋2x＋a，x∈1，＋∞)，由y=(x＋1)2＋a－1可知其在[1，＋∞)上是增函数，
当x=1时，ymin=3＋a，于是当且仅当ymin=3＋a＞0时函数f(x)＞0恒成立．故a＞－3．

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