福建省漳州市2017届九年级(上)期末数学试卷(解析版).doc

2016-2017学年福建省漳州市九年级（上）期末数学试卷
　一、选择题（本题共10个小题，每小题4分，共40分，每小题只有一个正确的选项）
1．式子有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x＞1 B．x＜1 C．x≥1 D．x≤1
2．方程x2=4的解是（　　）
A．x=2 B．x=﹣2 C．x1=1，x2=4 D．x1=2，x2=﹣2
3．一元二次方程x2+2x﹣1=0的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
4．下列各式计算正确的是（　　）
A．6﹣2=4 B．2+3=5 C．2×3=6 D．6÷2=3
5．在△ABC中，∠ACB=90°，BC=1，AC=2，则下列正确的是（　　）
A．sinA= B．tanA= C．cosB= D．tanB=
6．用配方法解方程x2﹣6x﹣5=0，下列配方结果正确的是（　　）
A．（x﹣6）2=41 B．（x﹣3）2=14 C．（x+3）2=14 D．（x﹣3）2=4
7．下列事件中，是必然事件的是（　　）
A．打开电视机，它正在直播排球比赛
B．抛掷5枚硬币，结果是2个正面朝上与3个反面朝上
C．黑暗中从一大串钥匙中随便选中一把，用它打开了门
D．投掷一枚普通的正方体骰子，正面朝上的数不是奇数便是偶数
8．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，AB的垂直平分线MN交AC于
D，连接BD，若cos∠BDC=，则BC的长是（　　）
A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm
9．下列关于相似的命题中，①等边三角形都相似；②直角三角形都相似；③等腰直角三角形都相似；④矩形都相似，其中真命题有（　　）
A．①② B．①③ C．①③④ D．①②③④
10．如图，E为▱ABCD的边AB延长线上的一点，且BE：AB=2：3，
△BEF的面积为4，则▱ABCD的面积为（　　）
A．30 B．27 C．14 D．32
　二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共26分）
11．已知=，则=　　．
12．已知锐角α满足cosα=，则锐角α的度数是　　度．
13．把二次根式化成最简二次根式，则=　　．
14．同时投掷二枚正四面体骰子，所得的点数之和恰为偶数的概率是　　．
15．若关于x的一元二次方程x2﹣x+k=0的一个根是0，则另一个根是　　．
16．将矩形纸片ABCD按如图方式折叠，BE、CF为折痕，折叠后点A和点D都落在点O处，若△EOF是等边三角形，则的值为　　．

　三、解答题（本大题共9小题，共86分）
17．计算：2+tan60°﹣2sin45°． 18．解方程：（x﹣1）2=2（1﹣x）

19．如图，在△ABC中，DE∥BC中，AD=1，BD=2，DE=2，求BC的长．

20．用一个字来回顾2016年漳州的楼市，这个字就是“涨”！根据漳州房地产联合网不完全统计，2016年市区某在售的楼盘十月份房价为8100元/m2，到了十二月房价均价为12100元/m2，求十月到十二月房价均价的平均月增长率是多少？

21．如图所示，有一个绳索拉直的木马秋千，秋千绳索AB的长度为4米，将它往前推进2米（即DE=2米），求此时秋千的绳索与静止时所夹的角度及木马上升的高度．（精确到0.1米）

22．在学习概率知识的课堂上，老师组织小组讨论一道题目：在一个不透明的袋子中装有4个除颜色外完全相同的小球，其中白球1个，黄球1个，红球2个，要求同学们按两种规则摸球，规则一：搅匀后从中摸出一个球，放回搅匀后再摸出第二个球；规则二：搅匀后从中一次任意摸出两个球，请你通过画树状图或列表法计算说明哪种规则摸出两个红球的概率较大？

23．观察下列各式：
=1+﹣=1； =1+﹣=1；
=1+﹣=1，…
请你根据以上三个等式提供的信息解答下列问题
①猜想： =　　=　　；
②归纳：根据你的观察，猜想，请写出一个用n（n为正整数）表示的等式：　　；
③应用：计算．

24．如图，在平面直角坐标系中，▱ABCD的边BC在x轴上，点A在y轴上，AD=6，若OA、OB的长是关于x的一元二次方程x2﹣7x+12=0的两个根，且OA＞OB．
（1）求cos∠ABC的值；
（2）点P由B出发沿BC方向匀速运动，速度为每秒2个单位长度，点Q由D出发沿DA方向匀速运动，速度为每秒1个单位长度，设运动时间为t秒（0＜t≤3），是否存在某一时刻；使△AOP与△QAO相似？若存在，求此时t的值；若不存在，请说明理由．

25．探究证明：
（1）如图1，矩形ABCD中，点M、N分别在边BC，CD上，AM⊥BN，求证： =．
（2）如图2，矩形ABCD中，点M在边BC上，EF⊥AM，EF分别交AB，CD于点E、点F，试猜想与有什么数量关系？并证明你的猜想．
拓展应用：综合（1）、（2）的结论解决以下问题：
（3）如图3，四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=AD=10，BC=CD=5，AM⊥DN，点M，N分别在边BC，AB上，求的值．

2016-2017学年福建省漳州市九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题（本题共10个小题，每小题4分，共40分，每小题只有一个正确的选项）
1．式子有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x＞1 B．x＜1 C．x≥1 D．x≤1
【考点】二次根式有意义的条件．
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式x﹣1≥0，通过解该不等式即可求得x的取值范围．
【解答】解：根据题意，得x﹣1≥0，
解得，x≥1．
故选：C．

2．方程x2=4的解是（　　）
A．x=2 B．x=﹣2 C．x1=1，x2=4 D．x1=2，x2=﹣2
【考点】解一元二次方程﹣直接开平方法．
【分析】直接开平方法求解可得．
【解答】解：∵x2=4，
∴x1=2，x2=﹣2，
故选：D．

3．一元二次方程x2+2x﹣1=0的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
【考点】根的判别式．
【分析】先计算出根的判别式△的值，根据△的值就可以判断根的情况．
【解答】解：∵在方程x2+2x﹣1=0中，△=22﹣4×1×（﹣1）=8＞0，
∴方程x2+2x﹣1=0有两个不相等的实数根．
故选A．

4．下列各式计算正确的是（　　）
A．6﹣2=4 B．2+3=5 C．2×3=6 D．6÷2=3
【考点】二次根式的混合运算．
【分析】根据二次根式的加减法对A、B进行判断；根据二次根式的乘法法则对C进行判断；根据二次根式的除法法则对D进行判断．
【解答】解：A、原式=2，所以A选项错误；
B、2与3不能合并，所以B选项错误；
C、原式=6=6，所以C选项正确；
D、原式=3，所以D选项错误．
故选C．

5．在△ABC中，∠ACB=90°，BC=1，AC=2，则下列正确的是（　　）
A．sinA= B．tanA= C．cosB= D．tanB=
【考点】锐角三角函数的定义．
【分析】先根据勾股定理得出AB，再根据三角函数的定义分别得出sinA，tanA，cosB，tanB即可．
【解答】解：∵∠ACB=90°，BC=1，AC=2，
∴AB===，
∴sinA===，
tanA==，
cosB===，
tanB==2，
故选C．

6．用配方法解方程x2﹣6x﹣5=0，下列配方结果正确的是（　　）
A．（x﹣6）2=41 B．（x﹣3）2=14 C．（x+3）2=14 D．（x﹣3）2=4
【考点】解一元二次方程﹣配方法．
【分析】将常数项移到等式的右边，再在两边都配上一次项系数一半的平方即可得．
【解答】解：∵x2﹣6x=5，
∴x2﹣6x+9=5+9，即（x﹣3）2=14，
故选：B．

7．下列事件中，是必然事件的是（　　）
A．打开电视机，它正在直播排球比赛
B．抛掷5枚硬币，结果是2个正面朝上与3个反面朝上
C．黑暗中从一大串钥匙中随便选中一把，用它打开了门
D．投掷一枚普通的正方体骰子，正面朝上的数不是奇数便是偶数
【考点】随机事件．
【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．
【解答】解：A、打开电视机，它正在直播排球比赛是随机事件，故A错误；
B、抛掷5枚硬币，结果是2个正面朝上与3个反面朝上是随机事件，故B错误；
C、黑暗中从一大串钥匙中随便选中一把，用它打开了门是随机事件，故C错误；
D、投掷一枚普通的正方体骰子，正面朝上的数不是奇数便是偶数是必然事件，故D正确；
故选：D．

8．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，AB的垂直平分线MN交AC于D，连接BD，若cos∠BDC=，则BC的长是（　　）

A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm
【考点】解直角三角形；线段垂直平分线的性质．
【分析】根据垂直平分线的性质得出BD=AD，再利用cos∠BDC==，即可求出CD的长，再利用勾股定理求出BC的长．
【解答】解：∵∠C=90°，AC=8cm，AB的垂直平分线MN交AC于D，连接BD，
∴BD=AD，
∴CD+BD=8，
∵cos∠BDC==，
∴=，
解得：CD=3，BD=5，
∴BC=4．
故选A．

9．下列关于相似的命题中，①等边三角形都相似；②直角三角形都相似；③等腰直角三角形都相似；④矩形都相似，其中真命题有（　　）
A．①② B．①③ C．①③④ D．①②③④
【考点】命题与定理．
【分析】判断两个多边形是否相似，需要看对应角是否相等，对应边的比是否相等．矩形、三角形、都属于形状不唯一确定的图形，即对应角、对应边的比不一定相等，故不一定相似，而两个等边三角形和等腰直角三角形，对应角都是相等，对应边的比也都相当，故一定相似．
【解答】解：①等边三角形都相似，正确；
②直角三角形不一定相似，错误；
③等腰直角三角形都相似，正确；
④矩形不一定相似，错误；
故选B

10．如图，E为▱ABCD的边AB延长线上的一点，且BE：AB=2：3，△BEF的面积为4，则▱ABCD的面积为（　　）

A．30 B．27 C．14 D．32
【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．
【分析】用相似三角形的面积比等于相似比的平方，以及面积的和差求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，CD∥AB，BC∥AB，
∴△BEF∽△AED，
∵，
∴，
∴，
∵△BEF的面积为4，
∴S△AED=25，
∴S四边形ABFD=S△AED﹣S△BEF=21，
∵AB=CD，，
∴，
∵AB∥CD，
∴△BEF∽△CDF，
∴，
∴S△CDF=9，
∴S平行四边形ABCD=S四边形ABFD+S△CDF=21+9=30，
故选A．

二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共26分）
11．已知=，则=　　．
【考点】比例的性质．
【分析】根据等式的性质，可用m表示n，根据分式的性质，可得答案．
【解答】解：由=，得n=3m．
∴==，
故答案为：．

12．已知锐角α满足cosα=，则锐角α的度数是　60　度．
【考点】特殊角的三角函数值．
【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案．
【解答】解：由锐角α满足cosα=，则锐角α的度数是60度，
故答案为：60．

13．把二次根式化成最简二次根式，则=　　．
【考点】最简二次根式．
【分析】根据二次根式的性质把根号内的因式开出来即可．
【解答】解： ==，
故答案为：．

14．同时投掷二枚正四面体骰子，所得的点数之和恰为偶数的概率是　　．
【考点】列表法与树状图法．
【分析】画树状图展示所有16种等可能的结果数，再找出所得的点数之和恰为偶数的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：画树状图为：

共有16种等可能的结果数，其中所得的点数之和恰为偶数的结果数为8，
所以所得的点数之和恰为偶数的概率==．

15．若关于x的一元二次方程x2﹣x+k=0的一个根是0，则另一个根是　1　．
【考点】根与系数的关系．
【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系x1+x2=﹣，来求方程的另一个根．
【解答】解：设x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣x+k=0的两个根，
∵关于x的一元二次方程x2﹣x+k=0的一个根是0，
∴由韦达定理，得x1+x2=1，即x2=1，
即方程的另一个根是1．
故答案为1．

16．将矩形纸片ABCD按如图方式折叠，BE、CF为折痕，折叠后点A和点D都落在点O处，若△EOF是等边三角形，则的值为　　．

【考点】翻折变换（折叠问题）；等边三角形的性质；矩形的性质．
【分析】由△EOF是等边三角形，可得EF=OE=OF，∠OEF=60°，又由由折叠的性质可得：OE=AE，OF=DF，∠AEB=∠OEB，则可得AD=3AE，∠AEB=60°，则可证得AB=AE，继而求得答案．
【解答】解：∵△EOF是等边三角形，
∴EF=OE=OF，∠OEF=60°，
由折叠的性质可得：OE=AE，OF=DF，∠AEB=∠OEB，
∴AD=3AE，∠AEB==60°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=90°，
∴tan∠AEB==，
∴AB=AE，
∴=．
故答案为：．

三、解答题（本大题共9小题，共86分）
17．计算：2+tan60°﹣2sin45°．
【考点】实数的运算；特殊角的三角函数值．
【分析】把tan60°、sin45°的特殊三角函数值代入代数式，再进行加减运算．
【解答】解：原式=2×+﹣2×
=
=．

18．解方程：（x﹣1）2=2（1﹣x）
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法．
【分析】先移项得到（x﹣1）2+2（x﹣1）=0，然后利用因式分解法解方程．
【解答】解：（x﹣1）2+2（x﹣1）=0，
（x﹣1）（x﹣1+2）=0，
x﹣1=0或x﹣1+2=0，
所以x1=1，x2=﹣1．

19．如图，在△ABC中，DE∥BC中，AD=1，BD=2，DE=2，求BC的长．

【考点】相似三角形的判定与性质．
【分析】求出AB=3，证明△ADE∽△ABC，得出比例式，即可得出结果．
【解答】解：∵AD=1，BD=2，
∴AB=AD+BD=3，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴=，
∴BC=3DE=3×2=6．

20．用一个字来回顾2016年漳州的楼市，这个字就是“涨”！根据漳州房地产联合网不完全统计，2016年市区某在售的楼盘十月份房价为8100元/m2，到了十二月房价均价为12100元/m2，求十月到十二月房价均价的平均月增长率是多少？
【考点】一元二次方程的应用．
【分析】首先根据题意可得十二月的房价=十一月的房价×（1+增长率），十一月的房价=十月的房价×（1+增长率），由此可得方程．
【解答】解：设十月到十二月房价均价的平均月增长率是x，根据题意得：
8100（1+x）2=12100，

解得x1=≈22%，x2=﹣（不合题意，舍去）
答：十月到十二月房价均价的平均月增长率约为22%．

21．如图所示，有一个绳索拉直的木马秋千，秋千绳索AB的长度为4米，将它往前推进2米（即DE=2米），求此时秋千的绳索与静止时所夹的角度及木马上升的高度．（精确到0.1米）

【考点】勾股定理的应用．
【分析】作CF⊥AB，由sin∠CAB=可得∠CAB度数，根据勾股定理求得AF的长，可得BF的长度．
【解答】解：过点C作CF⊥AB于点F，

根据题意得：AB=AC=4，CF=DE=2，
在Rt△ACF中，sin∠CAB===，
∴∠CAB=30°，
由勾股定理可得AF2+CF2=AC2，
∴AF===2，
∴BF=AB﹣AF=4﹣2≈0.5，
∴此时秋千的绳索与静止时所夹的角度为30度，木马上升的高度约为0.5米．

22．在学习概率知识的课堂上，老师组织小组讨论一道题目：在一个不透明的袋子中装有4个除颜色外完全相同的小球，其中白球1个，黄球1个，红球2个，要求同学们按两种规则摸球，规则一：搅匀后从中摸出一个球，放回搅匀后再摸出第二个球；规则二：搅匀后从中一次任意摸出两个球，请你通过画树状图或列表法计算说明哪种规则摸出两个红球的概率较大？
【考点】列表法与树状图法．
【分析】列举出所有情况，看两次都摸到红球的情况占总情况的多少即可知道哪种方法摸到两个红球的概率较大．
【解答】解：规则一、摸出一个球后放回，再摸出一个球时，
，
共有16种等可能的结果数，其中两个都是红球的占4种，
所以两次都摸到红球的概率=；
规则二、一次性摸两个球时，

∴一共有12种情况，有2种情况两次都摸到红球，
∴两次都摸到红球的概率是=．
∵＞，
∴第一规则摸出两个红球的概率较大．

23．观察下列各式：
=1+﹣=1； =1+﹣=1；
=1+﹣=1，…
请你根据以上三个等式提供的信息解答下列问题
①猜想： =　1+﹣　=　1　；
②归纳：根据你的观察，猜想，请写出一个用n（n为正整数）表示的等式：　=1+﹣=　；
③应用：计算．
【考点】二次根式的性质与化简．
【分析】①直接利用利用已知条件才想得出答案；
②直接利用已知条件规律用n（n为正整数）表示的等式即可；
③利用发现的规律将原式变形得出答案．
【解答】解：①猜想： =1+﹣=1；
故答案为：1+﹣，1；

②归纳：根据你的观察，猜想，写出一个用n（n为正整数）表示的等式：
=1+﹣=；

③应用：
=
=
=1+﹣
=1．

24．如图，在平面直角坐标系中，▱ABCD的边BC在x轴上，点A在y轴上，AD=6，若OA、OB的长是关于x的一元二次方程x2﹣7x+12=0的两个根，且OA＞OB．
（1）求cos∠ABC的值；
（2）点P由B出发沿BC方向匀速运动，速度为每秒2个单位长度，点Q由D出发沿DA方向匀速运动，速度为每秒1个单位长度，设运动时间为t秒（0＜t≤3），是否存在某一时刻；使△AOP与△QAO相似？若存在，求此时t的值；若不存在，请说明理由．

【考点】相似形综合题．
【分析】（1）先解一元二次方程得出OA=4，OB=3，再用勾股定理即求出AB，最后用三角函数的定义即可得出结论；
（2）分点P在OB和OC上两种情况，当点P在OB上时①分△AOP∽△OAQ和△AOP∽△QAO，用比例式建立方程求解即可；当点P在OC上时，同点P在OB上的方法即可得出结论．
【解答】解：（1）由方程x2﹣7x+12=0解得，x=4，或x=3，
∵OA＞OB，
∴OA=4，OB=3，
在Rt△AOB中，AB==5，
∴cos∠ABC=，
（2）如图，由题意得，BP=2t，AQ=6﹣t，
当点P在OB上时，0＜t＜1.5，
∵∠AOP=∠OAQ=90°，
∴①当时，△AOP∽△OAQ，
∴，
∴t=（舍）或t=，
②当时，△AOP∽△QAO，
∴3﹣2t=6﹣t，
∴t=﹣3（舍），
当点P在OC上时，1.5≤t≤3，
∵∠AOP=∠OAQ=90°，
∴①当，△AOP∽△OAQ，
∴此时方程无实数解，
②当，
∴2t﹣3=6﹣t，
∴t=3，
综上可得当t=或t=3时，△AOP与△QAO相似

25．探究证明：
（1）如图1，矩形ABCD中，点M、N分别在边BC，CD上，AM⊥BN，求证： =．
（2）如图2，矩形ABCD中，点M在边BC上，EF⊥AM，EF分别交AB，CD于点E、点F，试猜想与有什么数量关系？并证明你的猜想．
拓展应用：综合（1）、（2）的结论解决以下问题：
（3）如图3，四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=AD=10，BC=CD=5，AM⊥DN，点M，N分别在边BC，AB上，求的值．

【考点】相似形综合题．
【分析】（1）根据两角对应相等两三角形相似即可证明．
（2）结论： =．如图2中，过点B作BG∥EF交CD于G，首先证明四边形BEFG是平行四边形，推出BG=EF，由△GBC∽△MAB，得=，由此即可证明．
（3）如图3中，过点D作平行于AB的直线交过点A平行于BC的直线于R，交BC的延长线于S，连接AC，则四边形ABSR是平行四边形．由（2）中结论可得： =，想办法求出BS即可解决问题．
【解答】解：（1）如图1中，

∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=∠C=90°
∴∠NBA+∠NBC=90°，
∵AM⊥BN，
∴∠MAB+∠NBA=90°，
∴∠NBC=∠MAB，
∴△BCN∽△ABM，
∴=．

（2）结论： =．
理由：如图2中，过点B作BG∥EF交CD于G，

∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴四边形BEFG是平行四边形，
∴BG=EF，
∵EF⊥AM，
∴BG⊥AM，
∴∠GBA+∠MAB=90°，
∵∠ABC=∠C=90°，
∴∠GBC+∠GBA=90°，
∴∠MAB=∠GBC，
∴△GBC∽△MAB，
∴=，
∴=．

（3）如图3中，过点D作平行于AB的直线交过点A平行于BC的直线于R，交BC的延长线于S，连接AC，则四边形ABSR是平行四边形．

∵∠ABC=90°，
∴四边形ABSR是矩形，
∴∠R=∠S=90°，RS=AB=10，AR=BS，
∵AM⊥DN，
∴由（2）中结论可得： =，
∵AB=AD，CB=CD，AC=AC，
∴△ACD≌△ACB，
∠ADC=∠ABC=90°，
∴∠SDC+∠RDA=90°，
∵∠RAD+∠RDA=90°，
∴∠RAD=∠SDC，
∴△RAD∽△SDC，
∴∴=，设SC=x，
∴=，
∴RD=2x，DS=10﹣2x，
在Rt△CSD中，∵CD2=DS2+SC2，
∴52=（10﹣2x）2+x2，
∴x=3或5（舍弃），
∴BS=5+x=8，
∴===．

2017年5月5日
第22页（共22页）