交大版量子力学物理参考答案.doc

习题22
22-1．计算下列客体具有动能时的物质波波长，（1）电子；（2）质子。
解：（1）具有动能的电子，可以试算一下它的速度：
，所以要考虑相对论效应。
设电子的静能量为，总能量可写为：，用相对论公式：
，可得：

；
（2）对于具有动能的质子，可以试算一下它的速度：
，所以不需要考虑相对论效应。
利用德布罗意波的计算公式即可得出：
。

22-2．计算在彩色电视显像管的加速电压作用下电子的物质波波长，已知加速电压为，（1）用非相对论公式；（2）用相对论公式。
解：（1）用非相对论公式：
；
（2）用相对论公式：设电子的静能为，动能为：，
由，有：。

22-3．一中子束通过晶体发生衍射。已知晶面间距，中子的动能，求对此晶面簇反射方向发生一级极大的中子束的掠射角。
解：衍射是波的特征，中子束通过晶体发生衍射，可见中子束具有波动属性，由布拉格公式，一级极大时取，有：，
波长可利用德布罗意波的计算公式得出：
，
∴，。

22-4．以速度运动的电子射入场强为的匀强电场中加速，为使电子波长，电子在此场中应该飞行多长的距离？
解：利用能量守恒，有：，考虑到，
有：

，
利用匀强电场公式有：。

22-5．用电子显微镜来分辨大小为1的物体，试估算所需要电子动能的最小值。（以为单位）
解：由于需要分辨大小为1的物体，所以电子束的徳布罗意波长至少为1，
由，有电子的动量为：；
试算一下它的速度：，
所以不考虑相对论效应，则利用，有电子动能的最小值：
。

22-6．设电子的位置不确定度为，计算它的动量的不确定度；若电子的能量约为，计算电子能量的不确定度。
解：由不确定关系：，有，
由，可推出：。

22-7．氢原子的吸收谱线的谱线宽度为，计算原子处在被激发态上的平均寿命。
解：能量，由于激发能级有一定的宽度，造成谱线也有一定宽度，两者之间的关系为：，由不确定关系，，平均寿命，则：
。

22-8．若红宝石发出中心波长的短脉冲信号，时距为，计算该信号的波长宽度。
解：光波列长度与原子发光寿命的关系为：，
由不确定关系：，有：
∴。

22-9．设粒子作圆周运动，试证其不确定性关系可以表示为，式中为粒子角动量的不确定度，为粒子角位置的不确定度。
证明：当粒子做圆周运动时，设半径为，角动量为：，
则其不确定度，而做圆周运动时：，
利用：代入，可得到：。

22-10．计算一维无限深势阱中基态粒子处在到区间的几率。设粒子的势能分布函数为：
解：根据一维无限深势阱的态函数的计算，当粒子被限定在之间运动时，其定态归一化的波函数为：，
概率密度为：
粒子处在到区间的几率：，
如果是基态，，则。

22-11．一个质子放在一维无限深阱中，阱宽。
（1）质子的零点能量有多大？
（2）由态跃迁到态时，质子放出多大能量的光子？
解：（1）由一维无限深势阱粒子的能级表达式：
时为零点能量：
（2）由态跃迁到态时，质子放出光子的能量为：

22-12．对应于氢原子中电子轨道运动，试计算时氢原子可能具有的轨道角动量。
解：当，的可能取值为：0，1，2。
而轨道角动量，所以的取值为：0，，。

22-13．氢原子处于的激发态时，原子的轨道角动量在空间有哪些可能取向？并计算各种可能取向的角动量与轴的夹角？
解：（1），所以轨道角动量：，
（2）的本征值可取：，由磁量子数取值范围：知，有三个取向。夹角分别为：
；；。
思考题22
22-1．证明玻尔理论中氢原于中的电子轨道是电子德布罗意波长的整数倍。
证明：设电子轨道的半径为，则电子轨道的周长为，需要证明。
玻尔理论中，氢原子中的电子轨道为：
而电子的德布罗意波长：（∵）
可见电子轨道：，是德布罗意波长的整数倍。

22-2．为什么说电子既不是经典意义的波，也不是经典意义的粒子？
答：因为单个的电子是不具有波动的性质的，所以它不是经典意义的波，同时对于经典意义的粒子它的整体行为也不具有波动性，而电子却具有这个性质，所以电子也不是经典意义的粒子。

22-3．图中所示为电子波干涉实验示意图，为电子束发射源，发射出沿不同方向运动的电子，为极细的带强正电的金属丝，电子被吸引后改变运动方向，下方的电子折向上方，上方的电子折向下方，在前方交叉区放一电子
感光板，、分别为上、下方电子束的
虚电子源，，底板离源S的距离
为，设，电子的动量为，试求：
（1）电子几率密度最大的位置；
（2）相邻暗条纹的距离（近似计算）。
答：（1）电子的德布罗意波长：，类似于波的干涉现象，在两边的第一级明纹之间分布的电子最多，所以其几率最大的位置应该在之间；
（2）相邻暗条纹的距离：。

22-4．在一维势箱中运动的粒子，它的一个定态波函数如图所示，对应的总能量为，若它处于另一个波函数（如图所示）的态上时，它的总能量是多少？粒子的零点能是多少？
答：由一维无限深势阱粒子的能级表达式：
。在a图中，，
知，
所以粒子的零点能；
若它处于另一个波函数（图所示，）的态上时，
它的总能量是：。

22-5．图中所示为一有限深势阱，宽为，高为。
（1）写出各区域的定态薛定谔方程和边界条件；
（2）比较具有相同宽度的有限深势阱和无限深势阱中粒子的最低能量值的大小。
答：（1）第I区域定态薛定谔方程：
，（），
第II区域定态薛定谔方程：
，（和）；
边界条件：，。
（2）无限深势阱中粒子的能量表述式为，最低能量值，显然与的平方成反比，粒子的自由范围越大，最低能量值越低，应该说粒子在相同宽度的有限深势阱比在无限深势阱中的自由范围大一些，所以粒子在有限深势阱中的最低能量值低一些。

22-6．在钠光谱中，主线系的第一条谱线（钠黄线）是由之间的电子跃迁产生的，它由两条谱线组成，波长分别为和。试用电子自旋来解释产生双线的原因。
答：Na光谱双线产生的原因是比电相互作用小的磁相互作用的结果，是自旋—轨道相互作用能，是一个小量。即电子轨道运动产生的磁场和电子自旋磁矩的作用，使原子的能级发生改变，其中电子自旋磁矩，在Z方向投影有两条，所以Na光谱产生了双线。
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