高一：零点问题的解题方法(2).doc

课题
谈函数与方程(零点问题)的解题方法
——解题技能篇

从近几年高考试题看，函数的零点、方程的根的问题是高考的热点，题型主要以选择题、填空题为主，难度中等及以上．主要考查转化与化归、数形结合及函数与方程的思想．

(1)函数零点的定义
对于函数y＝f(x) (x∈D)，把使f(x)＝0成立的实数x叫做函数y＝f(x) (x∈D)的零点．
(2)零点存在性定理(函数零点的判定)
若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)·f(b)＜0，则在区间(a，b)内，函数y＝f(x)至少有一个零点，即相应方程f(x)＝0在区间(a，b)内至少有一个实数解．
也可以说：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．
[提醒]　此定理只能判断出零点存在，不能确定零点的个数．
(3)几个等价关系
函数y＝f(x)有零点 ⇔ 方程f(x)＝0有实数根 ⇔ 函数y＝f(x)的图象与函数y＝0(即x轴)有交点．
推广：函数y＝f(x)－g(x)有零点 ⇔ 方程f(x)－g(x)＝0有实数根 ⇔ 函数y＝f(x)－g(x)的图象与y＝0(即x轴)有交点．
推广的变形：函数y＝f(x)－g(x)有零点 ⇔ 方程f(x)＝g(x)有实数根 ⇔ 函数y＝f(x)的图象与y＝g(x)有交点．

1．函数的零点是函数y＝f(x)与x轴的交点吗？是否任意函数都有零点？
提示：函数的零点不是函数y＝f(x)与x轴的交点，而是y＝f(x)与x轴交点的横坐标，也就是说函数的零点不是一个点，而是一个实数；并非任意函数都有零点，只有f(x)＝0有根的函数y＝f(x)才有零点．
2．若函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，一定有f(a)·f(b)<0吗？
提示：不一定，如图所示，f(a)·f(b)>0．

3．若函数y＝f(x)在区间(a，b)内，有f(a)·f(b)<0成立，那么y＝f(x)在(a，b)内存在唯一的零点吗？
提示：不一定，可能有多个．
(4)二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象与零点的关系
Δ＝b2－4ac
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
二次函数
y＝ax2＋bx＋c
(a＞0)的图象

与x轴的交点
(x1，0)，(x2，0)
(x1，0)
无交点
零点个数
2
1
0

对于日后的考试中仍以考查函数的零点、方程的根和两函数图象交点横坐标的等价转化为主要考点，涉及题目的主要考向有：
1．函数零点的求解与所在区间的判断；
2．判断函数零点个数；
3．利用函数的零点求解参数及取值范围．

考向一、函数零点的求解与所在区间的判断
1．(2015·温州十校联考)设f(x)＝ln x＋x－2，则函数f(x)的零点所在的区间为(　　)
A．(0，1) B．(1，2)
C．(2，3) D．(3，4)
【解析】法一：∵f(1)＝ln 1＋1－2＝－1＜0，f(2)＝ln 2＞0，∴f(1)·f(2)＜0，∵函数f(x)＝ln x＋x－2的图象是连续的，∴函数f(x)的零点所在的区间是(1，2)．

法二：函数f(x)的零点所在的区间转化为函数g(x)＝ln x，h(x)＝－x＋2图象交点的横坐标所在的范围，如图所示，可知f(x)的零点所在的区间为(1，2)．
【答案】B
2．(2015·西安五校联考)函数y＝ln(x＋1)与y＝的图象交点的横坐标所在区间为(　　)
A．(0，1) B．(1，2)
C．(2，3) D．(3，4)
【解析】函数y＝ln(x＋1)与y＝的图象交点的横坐标，即为函数f(x)＝ln(x＋1)－的零点，∵f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且f(1)＝ln 2－1＜0，f(2)＝ln 3－＞0，∴f(x)的零点所在区间为(1，2)．
【答案】B
3．函数f(x)＝3x－7＋ln x的零点位于区间(n，n＋1)(n∈N)内，则n＝________．
【解析】求函数f(x)＝3x－7＋ln x的零点，可以大致估算两个相邻自然数的函数值，如f(2)＝－1＋ln 2，由于ln 2＜ln e＝1，所以f(2)＜0，f(3)＝2＋ln 3，由于ln 3＞1，所以f(3)＞0，所以函数f(x)的零点位于区间(2，3)内，故n＝2．
【答案】2
4．(2015·长沙模拟)若a＜b＜c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间(　　)
A．(a，b)和(b，c)内 B．(－∞，a)和(a，b)内
C．(b，c)和(c，＋∞)内 D．(－∞，a)和(c，＋∞)内
【解析】本题考查零点的存在性定理．依题意得f(a)＝(a－b)(a－c)＞0，f(b)＝(b－c)(b－a)＜0，f(c)＝(c－b)(c－a)＞0，因此由零点的存在性定理知f(x)的零点位于区间(a，b)和(b，c)内．
【答案】A
5．(2014·高考湖北卷)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2－3x，则函数g(x)＝f(x)－x＋3的零点的集合为(　　)
A．{1，3} B．{－3，－1，1，3}
C．{2－，1，3} D．{－2－，1，3}
【解析】令x＜0，则－x＞0，所以f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)2－3(－x)]＝－x2－3x．求函数g(x)＝f(x)－x＋3的零点等价于求方程f(x)＝－3＋x的解．当x≥0时，x2－3x＝－3＋x，解得x1＝3，x2＝1；当x＜0时，－x2－3x＝－3＋x，解得x3＝－2－．
【答案】D

确定函数f(x)零点所在区间的方法
(1)解方程法：当对应方程f(x)＝0易解时，可先解方程，再看解得的根是否落在给定区间上．
(2)利用函数零点的存在性定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)＜0．若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点．
(3)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断．

1．已知函数f(x)＝－log2x，在下列区间中，包含f(x)零点的区间是(　　)
A．(0，1)　　　　　　B．(1，2) C．(2，4) D．(4，＋∞)
【解析】因为f(1)＝6－log21＝6＞0，f(2)＝3－log22＝2＞0，f(4)＝－log24＝－＜0，所以函数f(x)的零点所在区间为(2，4)．
【答案】C
2．方程log3x＋x＝3的根所在的区间为(　　)
A．(0，1) B．(1，2) C．(2，3) D．(3，4)
【解析】法一：方程log3x＋x＝3的根即是函数f(x)＝log3x＋x－3的零点，由于f(2)＝log32＋2－3＝log32－1<0，f(3)＝log33＋3－3＝1>0且函数f(x)在(0，＋∞)上为单调增函数．
∴函数f(x)的零点即方程log3x＋x＝3的根所在区间为(2，3)．

法二：方程log3x＋x＝3的根所在区间即是函数y1＝log3x与y2＝3－x交点横坐标所在区间，两函数图象如图所示．由图知方程log3x＋x＝3的根所在区间为(2，3)．
【答案】C
3．(2015·武汉调研)设a1，a2，a3均为正数，λ1＜λ2＜λ3，则函数f(x)＝＋＋的两个零点分别位于区间(　　)
A．(－∞，λ1)和(λ1，λ2)内 B．(λ1，λ2)和(λ2，λ3)内
C．(λ2，λ3)和(λ3，＋∞)内 D．(－∞，λ1)和(λ3，＋∞)内
【解析】本题考查函数与方程．利用零点存在定理求解．当x∈(λ1，λ2)时，函数图象连续，且x→λ1，f(x)→＋∞，x→λ2，f(x)→－∞，所以函数f(x)在(λ1，λ2)上一定存在零点；同理当x∈(λ2，λ3)时，函数图象连续，且x→λ2，f(x)→＋∞，x→λ3，f(x)→－∞，所以函数f(x)在(λ2，λ3)上一定存在零点，故选B．
【答案】B

考向二、判断函数零点个数
1．已知函数f(x)＝满足f(0)＝1，且f(0)＋2f(－1)＝0，那么函数g(x)＝f(x)＋x的零点个数为________．
【解析】∵f(0)＝1，∴c＝1，又∵f(0)＋2f(－1)＝0，∴f(－1)＝－1－b＋1＝－，∴b＝．∴当x＞0时，g(x)＝2x－2＝0有唯一解x＝1；当x≤0时，g(x)＝－x2＋x＋1，令g(x)＝0得x＝－或x＝2(舍去)，
综上可知，g(x)＝f(x)＋x有2个零点．
【答案】　2
2．(2013·高考天津卷)函数f(x)＝2x|log0.5x|－1的零点个数为(　　)
A．1　　　　　　　　　　　 B．2
C．3 D．4
【解析】由f(x)＝2x|log0.5x|－1＝0，可得|log0．5x|＝x．

设g(x)＝|log0.5x|，h(x)＝x，在同一坐标系下分别画出函数g(x)，h(x)的图象，可以发现两个函数图象一定有2个交点，因此函数f(x)有2个零点．
【答案】B
3．(2015·高考天津卷)已知函数f(x)＝函数g(x)＝3－f(2－x)，则函数y＝f(x)－g(x)的零点个数为(　　)
A．2　　 B．3
C．4 D．5
【解析】分别画出函数f(x)，g(x)的草图，观察发现有2个交点．

【答案】A
4．若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[0，1]时，f(x)＝x，则函数y＝f(x)－log3|x|的零点个数是________．
【解析】由题意知，f(x)是周期为2的偶函数．在同一坐标系内作出函数y＝f(x)及y＝log3|x|的图象，如下：观察图象可以发现它们有4个交点，即函数y＝f(x)－log3|x|有4个零点．

【答案】4

判断函数零点个数的方法
(1)解方程法：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．
(2)零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质．
(3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题．先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．

1．(2015·淄博期末)函数f(x)＝x－ln(x＋1)－1的零点个数是________．
【解析】函数f(x)＝x－ln(x＋1)－1的零点个数，即为函数y＝ln(x＋1)与y＝x－1图象的交点个数．在同一坐标系内分别作出函数y＝ln(x＋1)与y＝x－1的图象，如图，

由图可知函数f(x)＝x－ln(x＋1)－1的零点个数是2．
【答案】2
2．若定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且x∈[－1，1]时，f(x)＝1－x2，函数g(x)＝则方程f(x)－g(x)＝0在区间[－5，5]上的解的个数为(　　)
A．5 B．7
C．8 D．10
【解析】依题意得，函数f(x)是以2为周期的函数，在同一坐标系下画出函数y＝f(x)与函数y＝g(x)的图象，

结合图象得，当x∈[－5，5]时，它们的图象的公共点共有8个，即方程f(x)－g(x)＝0在区间[－5，5]上的解的个数为8．
【答案】C

考向三、利用函数的零点求解参数及取值范围
1．(2014·合肥检测)若函数f(x)＝ax2－x－1有且仅有一个零点，则实数a的取值为(　　)
A．0 B．－
C．0或－ D．2
【解析】当a＝0时，函数f(x)＝－x－1为一次函数，则－1是函数的零点，即函数仅有一个零点；当a≠0时，函数f(x)＝ax2－x－1为二次函数，并且仅有一个零点，则一元二次方程ax2－x－1＝0有两个相等实根．∴Δ＝1＋4a＝0，解得a＝－．综上，当a＝0或a＝－时，函数仅有一个零点．
【答案】C
2．(2014·洛阳模拟)已知方程|x2－a|－x＋2＝0(a＞0)有两个不等的实数根，则实数a的取值范围是(　　)
A．(0，4) B．(4，＋∞)
C．(0，2) D．(2，＋∞)
【解析】依题意，知方程|x2－a|＝x－2有两个不等的实数根，即函数y＝|x2－a|的图象与函数y＝x－2的图象有两个不同交点．如图，则＞2，即a＞4．

【答案】B
3．已知函数f(x)＝log2x－x，若实数x0是方程f(x)＝0的解，且0<x1<x0，则f(x1)的值为(　　)
A．恒为负 B．等于零
C．恒为正 D．不小于零
【解析】在同一坐标系中作出y＝log2x和y＝x的图象，由图象知f(x1)＜0．

【答案】A
4．(2014·高考江苏卷)已知f(x)是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0，3)时，f(x)＝．若函数y＝f(x)－a在区间[－3，4]上有10个零点(互不相同)，则实数a的取值范围是________．
【解析】当x∈[0，3)时，f(x)＝＝，由f(x)是周期为3的函数，作出f(x)在[－3，4]上的图象，如图．

函数y＝f(x)－a在区间[－3，4]上有互不相同的10个零点，即函数y＝f(x)，x∈[－3，4]与y＝a的图象有10个不同交点，在坐标系中作出函数f(x)在一个周期内的图象如图，可知当0＜a＜时满足题意．
【答案】
5．(2015·湖北八校联考)已知x∈R，符号[x]表示不超过x的最大整数，若函数f(x)＝－a(x≠0)有且仅有3个零点，则a的取值范围是(　　)
A．∪ B．∪
C．∪ D．∪
【解析】当0＜x＜1时，f(x)＝－a＝－a；当1≤x＜2时，f(x)＝－a＝－a；当2≤x＜3时，f(x)＝－a＝－a；…．f(x)＝－a的图象是把y＝的图象进行纵向平移而得到的，画出y＝的图象，如图所示，通过数形结合可知a∈∪．

【答案】A

已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围常用的方法：
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．

1．(2015·莱芜一模)已知函数f(x)＝则函数f(x)的零点为(　　)
A．，0　　　　　　　　　 B．－2，0
C． D．0
【解析】当x≤1时，由f(x)＝2x－1＝0，解得x＝0；当x＞1时，由f(x)＝1＋log2x＝0，解得x＝，又因为x＞1，所以此时方程无解．综上，函数f(x)的零点只有0．
【解析】D
2．已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，则实数m的取值范围是________．
【解析】画出f(x)＝的图象，如图．

由函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，结合图象得：0＜m＜1，即m∈(0，1)．
【答案】(0，1)
3．已知函数f(x)＝有三个不同的零点，则实数a的取值范围是________．
【解析】要使函数f(x)有三个不同的零点，则当x≤0时，方程2x－a＝0，即2x＝a必有一根，此时0＜a≤1；当x>0时，方程x2－3ax＋a＝0有两个不等实根，即方程x2－3ax＋a＝0有2个不等正实根，于是∴a＞，故＜a≤1．
【答案】

必记结论　有关函数零点的结论
(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点．
(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．
(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．

1．(2015·高考安徽卷)下列函数中，既是偶函数又存在零点的是(　　)
A．y＝cos x B．y＝sin x
C．y＝ln x D．y＝x2＋1
【解析】y＝cos x是偶函数，且存在零点；y＝sin x是奇函数；y＝ln x既不是奇函数又不是偶函数；y＝x2＋1是偶函数，但不存在零点．
【答案】A
2．函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1，2)内，则实数a的取值范围是(　　)
A．(1，3) B．(1，2)
C．(0，3) D．(0，2)
【解析】由题意知f(1)·f(2)＜0，即a(a－3)＜0，∴0＜a＜3．
【答案】C
3．(2016·东城期末)函数f(x)＝ex＋x－2的零点所在的区间是(　　)
A． B．
C．(1，2) D．(2，3)
【解析】∵f＝－＜－＜0，f(1)＝e－＞0，∴零点在区间上．
【答案】B
4．(2014·昆明三中、玉溪一中统考)若函数f(x)＝3ax＋1－2a在区间(－1，1)内存在一个零点，则a的取值范围是(　　)
A． B．(－∞，－1)∪
C． D．(－∞，－1)
【解析】当a＝0时，f(x)＝1与x轴无交点，不合题意，所以a≠0；函数f(x)＝3ax＋1－2a在区间(－1，1)内是单调函数，所以f(－1)·f(1)＜0，即(5a－1)(a＋1)＞0，解得a＜－1或a＞．
【答案】B
5．f(x)是R上的偶函数，f(x＋2)＝f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x2，则函数y＝f(x)－|log5 x|的零点个数为(　　)
A．4 B．5 C．8 D．10
【解析】由零点的定义可得f(x)＝|log5x|，两个函数图象如图，总共有5个交点，所以共有5个零点．

【答案】B
6．(2014·开封模拟)偶函数f(x)满足f(x－1)＝f(x＋1)，且当x∈[0，1]时，f(x)＝－x＋1，则关于x的方程f(x)＝lg(x＋1)在x∈[0，9]上解的个数是(　　)
A．7 B．8 C．9 D．10
【解析】依题意得f(x＋2)＝f(x)，所以函数f(x)是以2为周期的函数．在平面直角坐标系中画出函数y＝f(x)的图象与y＝lg(x＋1)的图象(如图所示)，

观察图象可知，这两个函数的图像在区间[0，9]上的公共点共有9个，因此，当x∈[0，9]时，方程f(x)＝lg(x＋1)的解的个数是9．
【答案】C
7．(2014·南宁模拟)已知函数f(x)＝ln x＋3x－8的零点x0∈[a，b]，且b－a＝1，a，b∈N*，则a＋b＝________．
【解析】∵f(2)＝ln 2＋6－8＝ln 2－2<0，f(3)＝ln 3＋9－8＝ln 3＋1>0，且函数f(x)＝ln x＋3x－8在(0，＋∞)上为增函数，∴x0∈[2，3]，即a＝2，b＝3．∴a＋b＝5．
【答案】5
8．已知函数y＝f(x) (x∈R)满足f(－x＋2)＝f(－x)，当x∈[－1，1]时，f(x)＝|x|，则y＝f(x)与y＝log7x的交点的个数为________．
【解析】因为f(－x＋2)＝f(－x)，所以y＝f(x)为周期函数，其周期为2．在同一直角坐标系中，画出函数y＝f(x)和y＝log7x的图象如图，

当x＝7时，f(7)＝1，log77＝1，故y＝f(x)与y＝log7x共有6个交点．
【答案】6
9．若函数y＝f(x)(x∈R) 满足f(x＋2)＝f(x)且x∈[－1，1]时，f(x)＝1－x2；函数g(x)＝lg|x|，则函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象在区间[－5，5]内的交点个数共有________个．
【解析】函数y＝f(x)以2为周期，y＝g(x)是偶函数，画出图象可知有8个交点．

【答案】8
10．(2015·高考湖南卷)已知函数f(x)＝若存在实数b，使函数g(x)＝f(x)－b有两个零点，则a的取值范围是________．
【解析】令φ(x)＝x3(x≤a)，h(x)＝x2(x＞a)，函数g(x)＝f(x)－b有两个零点，即函数y＝f(x)的图象与直线y＝b有两个交点，结合图象(图略)可得a＜0或φ(a)＞h(a)，即a＜0或a3＞a2，解得a＜0或a＞1，故a∈(－∞，0)∪(1，＋∞)．
【答案】(－∞，0)∪(1，＋∞)

1．(2014·高考山东卷)已知函数f(x)＝|x－2|＋1，g(x)＝kx．若方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是(　　)
A．　　　 B． C．(1，2) D．(2，＋∞)
【解析】先作出函数f(x)＝|x－2|＋1的图象，如图所示，

当直线g(x)＝kx与直线AB平行时斜率为1，当直线g(x)＝kx过A点时斜率为，故f(x)＝g(x)有两个不相等的实根时，k的范围为．
【答案】B
2．若函数f(x)＝ax－x－a(a＞0且a≠1)有两个零点，则实数a的取值范围是(　　)
A．(2，＋∞) B． C．(1，＋∞) D．(0，1)
【解析】函数f(x)＝ax－x－a(a＞0且a≠1)有两个零点，就是函数y＝ax(a＞0且a≠1)与函数y＝x＋a(a＞0且a≠1)的图象有两个交点，由图1知，当0＜a＜1时，两函数的图象只有一个交点，不符合题意；由图2知，当a＞1时，因为函数y＝ax(a＞1)的图象与y轴交于点(0，1)，而直线y＝x＋a与y轴的交点一定在点(0，1)的上方，所以两函数的图象一定有两个交点，所以实数a的取值范围是a＞1．

【答案】C
3．(2015·高考天津卷)已知函数f(x)＝函数g(x)＝b－f(2－x)，其中b∈R．若函数y＝f(x)－g(x)恰有4个零点，则b的取值范围是(　　)
A． B． C． D．
【解析】函数y＝f(x)－g(x)恰有4个零点，即方程f(x)－g(x)＝0，即b＝f(x)＋f(2－x)有4个不同的实数根，即直线y＝b与函数y＝f(x)＋f(2－x)的图象有4个不同的交点．又y＝f(x)＋f(2－x)＝作出该函数的图象如图所示，由图可得，当＜b＜2时，直线y＝b与函数y＝f(x)＋f(2－x)有4个交点．

【答案】D
4．已知函数f(x)满足f(x)＋1＝，当x∈[0，1]时，f(x)＝x，若在区间(－1，1]内，函数g(x)＝f(x)－mx－m有两个零点，则实数m的取值范围是(　　)
A．　　　　　B． C． D．
【解析】当x∈(－1，0]时，x＋1∈(0，1]．因为函数f(x)＋1＝，所以f(x)＝－1＝－1＝－.即f(x)＝函数g(x)＝f(x)－mx－m在区间(－1，1]内有两个零点等价于方程f(x)＝m(x＋1)在区间(－1，1]内有两个根，令y＝m(x＋1)，在同一坐标系中画出函数y＝f(x)和y＝m(x＋1)的部分图象(图略)，可知当m∈时，函数g(x)＝f(x)－mx－m有两个零点．
【答案】A
5．(2014·高考天津卷)已知函数f(x)＝若函数y＝f(x)－a|x|恰有4个零点，则实数a的取值范围为________．
【解析】画出函数f(x)的图象如图所示．

函数y＝f(x)－a|x|有4个零点，即函数y1＝a|x|的图象与函数f(x)的图象有4个交点(根据图象知需a＞0)．
当a＝2时，函数f(x)的图象与函数y1＝a|x|的图象有3个交点．故a＜2．
当y1＝a|x|(x≤0)与y＝|x2＋5x＋4|相切时，在整个定义域内，f(x)的图象与y1＝a|x|的图象有5个交点，
此时，由得x2＋(5－a)x＋4＝0．
由Δ＝0得(5－a)2－16＝0，解得a＝1，或a＝9(舍去)，
则当1＜a＜2时，两个函数图象有4个交点．
故实数a的取值范围是1＜a＜2．
【答案】(1，2)

考向四、二分法
(1)定义：
对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
(2)给定精确度ε，用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下：
①确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)<0，给定精确度ε；
②求区间(a，b)的中点c；
③计算f(c)；
(ⅰ)若f(c)＝0，则c就是函数的零点；
(ⅱ)若f(a)·f(c)＜0，则令b＝c(此时零点x0∈(a，c))；
(ⅲ)若f(c)·f(b)＜0，则令a＝c(此时零点x0∈(c，b))．
④判断是否达到精确度ε：即若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复②③④．

1．(教材习题改编)下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是(　　)

A　 　　　　B　　　　　C　　　　　D
【解析】由图象可知，选项C所对应零点左右两侧的函数值的符号是相同的，故不能用二分法求解．
【解析】C
2．(教材习题改编)用二分法求函数y＝f(x)在区间(2，4)上的近似解，验证f(2)·f(4)＜0，给定精确度ε＝0.01，取区间(2，4)的中点x1＝＝3，计算得f(2)·f(x1)＜0，则此时零点x0所在的区间为(　　)
A．(2，4)　　　　　　　　 　 B．(3，4)
C．(2，3) D．(2．5，3)
【解析】∵f(2)·f(4)＜0，f(2)·f(3)＜0，∴f(3)·f(4)＞0，∴零点x0所在的区间为(2，3)．
【解析】C
3．用二分法求方程x2＝2的正实根的近似解(精确度0.001)时，如果我们选取初始区间[1.4，1.5]，则要达到精确度要求至少需要计算的次数是________．
【解析】设至少需要计算n次，由题意知＜0．001，即2n＞100，由26＝64，27＝128知n＝7．
【解析】7

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