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(完整版)matlab复变函数画图形
第四篇 计算机仿真
第二十一章 计算机仿真在复变函数中的应用
基于MATLAB语言的广泛应用,我们介绍的计算机仿真方法主要立足于对MATLAB 语言的仿真介绍，而其它的数学工具软件（MATHEMATIC，MATHCAD,MAPLE）的仿真方法是类似的．
本章将重点介绍使用MATLAB进行复数、复变函数的各类基本运算以及定理的验证；并介绍仿真计算留数、积分的方法；以及复变函数中Taylor级数展开，Laplace 变换和Fourier变换．
21。1 复数运算和复变函数的图形
21。1。1 复数的基本运算
1复数的生成
复数可由语句z=a+b*i 生成,也可简写成z=a+bi；另一种生成复数的语句是z=r*exp（i＊theta)，其中theta是复数辐角的弧度值， r 是复数的模．
2复矩阵的生成
创建复矩阵有两种方法．
(1)一般方法
例 21.1。1创建复矩阵的一般方法．
【解】仿真程序为
A=［3+5＊I -2+3i i 5—i 9*exp(i＊6） 23*exp（33i)]
%运行后答案为A =3。0000+5.0000i -2。0000+3.0000i 0+1。0000i
5。0000-1。0000i 8。6415—2。5147i -0。3054+22。9980i
（说明： ％后为注释语句，不需输入）
（2）可将实、虚矩阵分开创建,再写成和的形式
例 21。1.2 将实、虚部合并构成复矩阵
【解】仿真程序为
re=rand(3,2）；
im=rand(3，2)；
com=re+i*im
%运行后答案为 com = 0.9501+0.4565i 0。4860+0。4447i
0.2311+0.0185i 0。8913+0。6154i
0.6068+0。8214i 0。7621+0。7919i
21。1。2 复数的运算
1 复数的实部和虚部
复数的实部和虚部的提取可由函数real和 imag 实现．调用形式如下：
real（z) 返回复数 z 的实部；
imag(z） 返回复数 z 的虚部。
2 共轭复数
复数的共轭可由函数conj实现．调用形式为:conj（z) 返回复数 z 的共轭复数.
3 复数的模与辐角
复数的模与辐角的求取由函数 abs 和angle实现．调用形式为:
abs（z) 返回复数 z 的模；
angle(z) 返回复数 z 的辐角.
例 21。1.1求下列复数的实部与虚部、共轭复数、模与辐角．
(1）; （2）； （3）； （4）．
【解】 a=[1/（3+2i） 1/i—3i/（1—i） (3+4i)＊(2—5i)/2i i^8-4＊i^21+i］
%a =0。2308 - 0.1538i 1.5000 - 2.5000i —3.5000 -13.0000i 1.0000 — 3.0000i
real（a）
%ans = 0.2308 1。5000 —3.5000 1.0000
(注明：凡ans 及其后面的内容均不需输入，它是前面语句的答案．本句ans 是real（a）的答案）
imag(a)
%ans = -0。1538 -2。5000 —13。0000 —3。0000
conj（a)
%ans =0.2308 + 0.1538i 1.5000 + 2。5000i —3。5000 +13。0000i 1.0000 + 3.0000i
abs(a）
%ans = 0。2774 2。9155 13。4629 3.1623
angle(a)
％ans =-0。5880 -1。0304 -1。8338 -1。2490
4 复数的乘除法
复数的乘除法运算由“*”和“/”实现．
5 复数的平方根
复数的平方根运算由函数 sqrt 实现．调用形式如下：
sqrt（z） 返回复数 z 的平方根值
6 复数的幂运算
复数的幂运算的形式是 z^n，结果返回复数 z 的 n 次幂．
7 复数的指数和对数运算
复数的指数和对数运算分别由函数 exp 和log实现．调用形式如下:
exp（z） 返回复数 z 的以 e 为底的指数值;
log（z） 返回复数 z 的以 e 为底的对数值。
例21.1.2 求下列式的值．
（1）； (2）．
【解】log（-10）
%ans= 2。3026 + 3。1416i
exp（pi/2＊ i)
%ans =0.0000+ 1.0000i
图21.1 复变函数的图形

21.1。3 复变函数的图形
1。整幂函数的图形
例 21.1。6 绘出幂函数 的图形。
【解】 z=cplxgrid（30）;
cplxmap（z，z.^2);
colorbar('vert’)；
title(’z^2’）
％（如图21。1所示)

图21.2 复变函数的图形

2. 根式函数的图形
例 21.1。7 绘出幂函数 的图形
【解】 z=cplxgrid（30);
cplxroot(2);
colorbar（'vert');
title('z^｛1/2}’ ) %(如图21.2)。

3。 复变函数中对数函数的图形
例 21.1.3 绘出对数函数的图形. 图21.3 对数函数

【解】
z=cplxgrid(20)；
w=log(z)；
for k=0：3
w=w+i＊2*pi;
surf(real（z），imag（z)，imag(w）,real（w)）;
hold on
title(’Lnz'）
end
view(—75，30) %（如图21.3)
例 21。1.4 计算机仿真编程实践：
若对应为的根,其中且取整数.试用计算机仿真编程验证下列数学恒等式 成立.
【解】仿真程序
n=round(1000*random（'beta’,1,1))+1
％ n=input('please enter n=’)
su=1；
sum=0;
for s=1：n
N(s)=exp（i*2＊s＊pi/n）；
end
for k=1：n
for s=1：n
if s~=k
su=1/(N(k）-N（s）)＊su;
end
end
sum=sum+su;
su=1；
end
sum
%仿真验证结果为：n =735 sum =2.2335e-016 —5.1707e—016i
其中n的值为随机产生的整数，可见其和的实部和虚部均接近于零。

另一篇：
matlab表现复变函数（四维）的方法是用三维空间坐标再加上颜色，类似于地球仪用颜色表示海洋与高山。
单值函数：单叶
多值函数：多叶
matlab使用下列函数进行复变函数的做图：
cplxgrid：构建一个极坐标的复数数据网格
z=cplxgrid（m);     %产生（m+1）＊（2＊m+1）的极坐标下的复数数据网格.最大半径为1的圆面
cplxmap:对复变函数做图
cplxmap(z，f(z),［optional bound]）   %画复变函数的图形，可选项用以选择函数的做图范围
cplxmap做图时，以xy平面表示自变量所在的复平面,以z轴表示复变函数的实部,颜色表示复变函数的虚部
cplxroot：画复数的n次函数曲面
cplxroot（n)   %画复数n次根的函数曲面，复数为最大半径为1的圆面
cplxroot(n,m)   %画复数n次根的函数曲面,复数为最大半径为1的圆面，为（m+1）＊（2m+1）的方阵

例1：画复数z^3的图形
z=3*cplxgrid（30);
cplxmap(z,z。^3）;
colorbar
其结果如图

可见，自变量z的取值在水平面的半径小于3的园内。
cplxmap做图时，以xy平面表示自变量所在的复平面，以z轴表示复变函数的实部，颜色表示复变函数的虚部
由于函数为单页的，所以函数是单值的

例2:画复数(z—0。5)^0.5的图形
仿照cplxroot函数的程序，编程如下
m=20;
n=2；
r=（0：m）'/m;
theta=pi＊（-m：m）/m；
z=r*exp（i*theta)—0。5;
w1=z。^（1/n）;
subplot（2，2,1），surf(real(z）,imag(z),real(w1),imag（w1）)；
colorbar
w2=w1。＊exp（i*2＊pi/n）；
subplot(2,2,2），surf（real(z），imag(z）,real(w2),imag（w2）);
colorbar
subplot（2,1,2)
surf(real（z）,imag（z),real(w1)，imag（w1）)；
hold on
surf(real（z),imag（z),real（w2)，imag(w2)）；
colorbar

如果仅使用 w1=z.^(1/n）;，则所得结果为图（2，2，1）
可见,对于多值函数，MATLAB仅仅是对其主值进行计算。
例3：复变函数1/（1—z）的级数展开
复变函数1/(1-z）是级数展开中常用的一个函数.
当abs(z）〈1时,它的泰勒展开式为
1/（1—z)=求和(k=0,+无穷）z^k
当abs（z)〉1时，它的罗朗展开式为
1/（1—z)=求和（k=—无穷，-1）z^k
泰勒展开与罗朗展开的区别
在复变函数里面，一些函数无法被展开为泰勒级数，因为那里存在一些奇点。但是如果变量x是负指数幂的话，我们仍然可以将其展开为一个级数,这就是洛朗级数。
从形式上看,泰勒级数是只含正幂项和常数项。洛朗级数不仅包含了正数次数的项，也包含了负数次数的项。有时无法把函数表示为泰勒级数,但可以表示为洛朗级数。
可以认为泰勒级数是洛朗级数的一种特殊形式

m=30;
r=2＊（0：m)'/m;
theta=pi*(-m:m)/m；
z=r＊exp（i*theta）-0.5；
z(find(z==1））=nan;
z1=z；
z1（abs(z1)>=1）=nan;
w1=1；u1=1;
for k=1：100
     u1=u1.＊z1;
     w1=u1+w1；
end
subplot(2，2，1)
cplxmap（z1,w1）
colorbar
z2=z；
z2（abs(z2）<=1)=nan;
w2=1./z2；u2=1./z2;
for k=1:100
     u2=u2./z2;
     w2=u2+w2；
end
subplot（2,2，2）
cplxmap（z2,—w2)
colorbar

subplot（2，2,3)
cplxmap（z，1./(1-z)）
colorbar
temp1=caxis；
subplot（2，2，4)
cplxmap（z1,w1）
hold on
cplxmap(z2，—w2)
caxis（temp1）
axis（[min（min(real（z））），max(max（real（z））)，min(min(imag(z））），max(max（imag(z）)）,min(min(real（1./（1—z）)）），max(max(real(1./(1—z）））)］)
colorbar

图(2，2,1）为泰勒展开,图（2，2,2）为罗朗展开
图（2，2，3)为matlab计算结果,图（2,2，4）为泰勒展开和罗朗展开的综合结果