初三数第2讲圆教师版.doc

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第二讲 圆
一、知识梳理
1、圆的有关概念及性质
圆是平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形．定点为圆心，定长为半径．
圆既是轴对称图形,又是中心对称图形，对称轴是任意一条过圆心的直线，对称中心是圆心，圆还具有旋转不变性．
2、垂径定理及其逆定理
垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．
逆定理：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧．
这两个定理大家一定要弄清楚、不能混淆，所以我们应先对他们进行区分．每个定理都是一个命题，每个命题都有条件和结论．在垂径定理中,条件是：一条直径垂直于一条弦，结论是：这条直径平分这条弦,且平分弦所对的弧(有两对弧相等）．在逆定理中，条件是：一条直径平分一条弦（不是直径)，结论是：这条直径垂直于这条弦，并且平分弦所对的弧（也有两对弧相等）．从上面的分析可知,垂径定理中的条件是逆定理中的结论,垂径定理中的一个结论是逆定理中的条件，在具体的运用中，是根据已知条件提供的信息来决定用垂径定理还是其逆定理，若已知直径垂直于弦，则用垂径定理；若已知直径平分弦，则用逆定理．
3、圆心角、弧、弦之间关系定理
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
4、圆心角与圆周角的关系
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．
直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
经典例题讲解
【例题1】判断题(对的打√，错的打×，并说明理由）
（1)半圆是弧，但弧不一定是半圆;
(2）弦是直径；
（3）长度相等的两段弧是等弧；
(4）直径是圆中最长的弦。
〖难度分级〗A类
〖试题来源〗经典例题
〖选题意图〗巩固圆的基本概念
〖解题思路〗(1)因为半圆是弧的一种,弧可分为劣弧、半圆、优弧三种，故正确；（2)直径是弦,但弦不一定都是直径,只有过圆心的弦才是直径,故错；(3）只有在同圆或等圆中，能够互相重合的两段弧才是等弧，故错；(4)直径是圆中最长的弦，正确。
〖参考答案〗 （1）√（2)×（3)×(4)√。
举一反三
【变式1】下列说法错误的是( )
A.半圆是弧 B。圆中最长的弦是直径 C.半径不是弦 D.两条半径组成一条直径
〖解题思路〗弧有三类，分别是优弧、半圆、劣弧，所以半圆是弧，A正确;直径是弦，并且是最长的弦，B正确;半径的一个端点为圆心，另一个端点在圆上，不符合弦的定义，所以不是弦，C正确；两条半径只有在同一直线上时，才能组成一条直径，否则不是,故D错误.
〖参考答案〗D
【例题2】已知，点P是半径为5的⊙O内一点,且OP=3,在过点P的所有的⊙O的弦中，弦长为整数的弦的条数为（ )
A。2 B.3 C。4 D。5
〖难度分级〗A类
〖试题来源〗经典例题
〖选题意图〗巩固垂径定理
〖解题思路〗在一个圆中，过一点的最长弦是经过这一点的直径,最短的弦是经过这一点与直径垂直的弦.知道这些，就可以利用垂径定理来确定过点P的弦长的取值范围.
〖参考答案〗
解：如图，过点P作直径AB,过点P作弦，连接OC
则OC=5,CD=2PC
由勾股定理，得
∴CD=2PC=8，又AB=10
∴过点P的弦长L的取值范围是
弦长L的整数解为8，9，10，弦长等于9的弦有2条，共4个
答案：C
总结升华：本题中很多条件是“隐性”出现的，或者称之为“隐含条件".我们在解题时，要善于挖掘隐含条件，识别隐含条件的不同表达方式，将其转化为容易理解的题目，化难为易，这也体现了转化思想在解题中的具体应用.
【例题3】。已知:⊙O的半径为10cm，弦AB∥CD，AB=12cm,CD=16cm，求AB、CD间的距离.
〖难度分级〗B类
〖试题来源〗经典例题
〖选题意图〗加深垂径定理的理解、应用.
〖解题思路〗⊙O中，两平行弦AB、CD间的距离就是它们的公垂线段的长度,若分别作弦AB、CD的弦心距，则可用弦心距的长表示这两条平行弦AB、CD间的距离。
〖参考答案〗
解：（1)如图，当⊙O的圆心O位于AB、CD之间时，作OM⊥AB于点M,并延长MO，交CD于N点.分别连结AO、CO.
又∵AB∥CD
∴ON⊥CD，即ON为弦CD的弦心距.
∵AB=12cm，CD=16cm，AO=OC=10cm

=8+6=14（cm)
(2）如图所示，当⊙O的圆心O不在两平行弦AB、CD之间
（即弦AB、CD在圆心O的同侧）时
同理可证:MN=OM—ON=8—6=2(cm)
∴⊙O中，平行线AB、CD间的距离是14cm或2cm。
总结升华：解这类问题时，要依平行线与圆心间的位置关系，分类讨论，千万别丢解.在解圆的有关问题时经常会出现多解的情况，要特别注意.
【例题4】。如图，AB是⊙O的直径，C、D、E都是⊙O上的点，则∠1+∠2=___________.
〖难度分级〗B类
〖试题来源〗经典例题
〖选题意图〗加深圆周角概念的理解
〖解题思路〗如图，连接OE，则∠1=∠A0E，∠2=∠BOE

〖参考答案〗90°
举一反三
【变式1】如图,A、B、C、D是⊙O上的四点,且∠BCD=100°，求∠1（所对的圆心角）和∠BAD的大小．

〖解题思路〗
要求圆心角∠BOD的大小,且知道圆周角∠BCD=100°,但两者不是同弧所对的角,不能直接利用同弧所对圆心角等于圆周角的2倍来实现求解．观察∠BCD它所对的弧是,而所对的圆心角是∠2，所以可以解得∠2．又发现∠2和∠1的和是一个周角，所以可得∠1，而∠BAD=∠1
〖参考答案〗
解:∵∠BCD和∠2分别是所对的圆周角和圆心角
∴∠2=2∠BCD=200°
又∵∠2+∠1=360°，∴∠1=160°
∵∠BAD和∠1分别是所对的圆周角和圆心角
∴∠BAD=∠1=80°
总结升华：圆心角和圆周角是借助它们所对的弧联系起来的，所以在圆中进行有关角的计算时,通常找到已知角所对弧，看看怎么样通过弧和未知角建立起联系．事实上由这个题我们可以总结出圆内接四边形对角互补．
【例题5】如图，AB是⊙O的直径,BD是⊙O的弦，延长BD到C，使AC=AB，BD与CD的大小有什么关系？为什么？

〖难度分级〗B类
〖试题来源〗经典例题
〖选题意图〗圆周角定理推论的应用
〖解题思路〗BD=CD,因为AB=AC，所以△ABC是等腰三角形，要证明D是BC的中点，只要连接AD证明AD是高或是∠BAC的平分线即可．
〖参考答案〗
解:BD=CD
理由是：如图，连接AD
∵AB是⊙O的直径
∴∠ADB=90°即AD⊥BC
又∵AC=AB
∴BD=CD。(等腰三角形的三线合一）
举一反三
【变式1】如图所示,AB为⊙O的直径，动点P在⊙O的下半圆,定点Q在⊙O的上半圆，设∠POA=x°，∠PQB=y°，当P点在下半圆移动时（P不与A、B重合)，试求y与x之间的函数关系式.

解：
解法1：如图所示，
∵AB为⊙O的直径,∠AOP=x°
∴∠POB=180°-x°=(180—x)°
又∵∠PQB=∠POB=(180—x)°=(90—x）°

解法2：如图所示，连结AQ,
则∠AQP=∠AOP==（x)°
又∵AB是⊙O的直径，
∴∠AQB=90°

【变式2】已知,如图，⊙O上三点A、B、C,∠ACB=60°,AB=m，试求⊙O的直径长。

解:如图所示，作⊙O的直径AC′，连结C′B
则∠AC′B=∠C=60°
又∵AC′是⊙O的直径，
∴∠ABC′=90°

即⊙O的直径为.
方法二:连接OA、OB，过点O作OD垂直于AB。
【课堂训练题】
1．⊙O中，直径AB＝a, 弦CD＝b,，则a与b大小为（ ）
A．a＞b B．a≥b C．a＜b D． a≤b
〖难度分级〗A类
〖参考答案〗B
2.下列语句中不正确的有（ ）
①相等的圆心角所对的弧相等；
②平分弦的直径垂直于弦；
③圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴；
④半圆是弧。
A．1个 Ｂ．2个 C．3个 Ｄ．4个
〖难度分级〗A类
〖参考答案〗C
3．已知⊙O的半径为5，点O到弦AB的距离为3，则⊙O上到弦AB所在直线的距离为2的
点有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
〖难度分级〗B类
〖参考答案〗C
课后自我检测
A类题：
1．有下列四个命题:①直径是弦；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等;④半径相等的两个半圆是等弧．其中正确的有………………( ）
A。4个 B。3个 C。2个 D。1个
2．下列判断中正确的是……………………………………( ）
A。平分弦的直线垂直于弦 B.平分弦的直线也必平分弦所对的两条弧
C.弦的垂直平分线必平分弦所对的两条弧D。平分一条弧的直线必平分这条弧所对的弦
3．如图，在两半径不同的同心圆中，∠AOB＝∠A′OB′＝60°，则…………（ )

A。＝
B。＞
C。的度数＝的度数
D。的长度＝的长度
4．如图，已知⊙O的弦AB、CD相交于点E，的度数为60°,的度数为100°,则∠AEC等于……………………( ）
A。60° B。100° C。80° D。130°

5．圆内接四边形ABCD中,∠A、∠B、∠C的度数比是2︰3︰6，则∠D的度数是（ ）
A。67。5° B.135° C。112.5° D。110°
6．如图，已知⊙O的半径为5，弦AB=6，M是AB上任意一点，则线段OM的长可能是（ )
A．2.5 B．3.5 C．4。5 D．5。5
A
B
O
M

7．如图，，已知AB是⊙O的直径，∠BOC=400，那么∠AOE=（ )
_
O
_
E
_
D
_
C
_
B
_
A
A.400 B。 600 C.800 D。1200

AmB

8．如图，将圆沿AB折叠后,圆弧恰好经过圆心，则 等于（ ）
A．60° B．90° C．120° D．150°

(第8题）
9．已知⊙O的半径是5cm,弦AB∥CD,AB＝6cm，CD＝8cm，则AB与CD之间的距离是（ )
A．1 cm B．7 cm C。1 cm或7 cm D.无法确定
10．如图,BD是⊙O的直径，圆周角∠A = 30°，则∠CBD的度数是（ )
A．30° B．45° C．60° D．80°
O
30°
D
B
C
A

B类题:
11．如图,AB为⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点,∠BAC＝30º，AD＝CD,则∠DAC的度数是（ )
O
D
C
B
A
A．30º B．60º C．45º D．75º

12．如图,两正方形彼此相邻且内接于半圆,若小正方形的面积为16cm2,则该
半圆的半径为（ )
A． cm B．9 cm C．cm D．cm

13．如图，⊙O的半径OA=10cm，弦AB=16cm，P为AB上一动点，则点P到圆心O的最短距
离为 .

14．如图，AB为⊙O的弦，⊙O的半径为5，OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，且CD＝1,则弦
A
D
B
C
O
AB的长是 。

15．如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD,连接OA，OB，BD，若∠AOB＝100°，则∠ABD ＝
度。
16．如图，点A、B是⊙O上两点,AB=10，点P是⊙O上的动点（P与A，B不重合）连接AP，PB，过点O分别作OE⊥AP于点E，OF⊥PB于点F,则EF= 。
A
E
O
F
B
P

17．如图所示，AB是⊙O的弦，半径OC、OD分别交AB于点E、F，且AE=BF，请你找出线段
OE与OF的数量关系，并给予证明。

18．如图是一块圆形砂轮破碎后的部分残片,试找出它的圆心， 并将它还原成一个圆．要求：
１、尺规作图；２、保留作图痕迹。（可不写作法.）

19。如图，在⊙O中,＝2 ,试判断AB与CD的大小关系,并说明理由。
C
B
A
O
D

20．如图所示，⊙O的直径AB和弦CD交于E，已知AE=6cm，EB=2cm，∠CEA＝30°，求CD。
O
E
D
C
B
A

C类题:
F
E
C
B
A
O
D
21. 如图，BC为⊙O的直径,AD⊥BC,垂足为D. 点A是弧BF的中点 ，BF和AD相交于E。试猜想AE与BE的长度之间的关系,并请说明理由。

22．如图所示，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，垂足为C，交⊙O于点D,点E在⊙O上。
E
B
D
C
A
O
（1）若∠AOD=52°,求∠DEB的度数；
（2）若OC=3,OA=5,求AB的长。

E
D
B
A
O
C
23．如图所示，已知AB为⊙O的直径，CD是弦，且ABCD于点E。连接AC、OC、BC。
（1）求证:ACO=BCD。
（2）若EB=,CD=,求⊙O的直径.

24．如图所示，已知O是∠EPF的平分线上的一点，以O为圆心的圆与角的两边分别交于点A、B和C、D.
⑴求证：PB=PD。
⑵若角的顶点P在圆上或圆内，⑴中的结论还成立吗？若不成立，请说明理由;若成立，请加以证明。

25．如图，已知AB为⊙O的直径,∠E＝20°，∠DBC＝50°，则∠CBE＝______．
26.如图，A、B、C是⊙O上的三个点，当BC平分∠ABO时，能得出结论 （任写一个）。·

O
C
B
A

E
O
D
C
B
A
27.如图，半径为2的圆内有两条互相垂直的弦AB和CD，它们的交点E到圆心O的距离等于1，则＝（ ）
A、28 B、26
C、18 D、35

第二讲课后自我检测试卷参考答案
A类试题：
1.B【提示】若三点在一条直线上，则不能作出过这三点的圆,故②不对，其余三个都正确．
【点评】本题考查直径、过不在同一条直线上的三点的圆、外心、等圆与等弧等概念，其中第②个命题不对的原因在于忽视了过三点作圆的条件．
2。C【提示】弦的垂直平分线平分弦、垂直于弦,因此平分弦所对的两条弧．
3。C【提示】因为在圆中,圆心角的度数与它所对的弧的度数相等,而∠AOB＝∠A′OB′，所以的度数＝的度数．不在同圆等圆中，不能比较弧的大小.
4.C【提示】如图连接BC，则∠AEC＝∠B＋∠C＝×60°＋×100°＝80°．
5.C【提示】因为圆内接四边形的对角之和为180°，则∠A＋∠C＝∠B＋∠D＝180°．又因为∠A︰∠B︰∠C＝2︰3︰6，所以∠B︰∠D＝3︰5，所以∠D的度数为×180°＝112.5°．
6. C；7. C；8。 C;9. C；10。 C；

Ｂ类试题:
11. A；12。 C；13. 6 cm;14。 6；15。 25；16. 5；
17．OE=OF
证明：连接OA,OB.
∵OA,OB是⊙O的半径，
∴OA=OB，∴∠OBA=∠OAB.
又∵AE=BF。
∴△OAE≌△OBF,∴OE=OF。
18．提示：在残片上任意取不同的三点作两弦垂直平分线，其交点就是圆心.
EB
19。 AB＜2CD。提示： 取的中点E，连结EA、EB，则＝ ＝，
所以EA=EB=CD。
20． cm。提示：作OF⊥CD于F，先求OE，再求OF，最后用勾股定理求CD.
C类试题：
21．AE=BE。提示：连结AC或补成完整的圆延长AD应用垂径定理.
22．解：（1），
E
B
D
C
A
O

(2)，,为直角三角形，
，，
由勾股定理可得

23．证明：(1)∵AB为⊙O的直径，CD是弦，且ABCD于E，

E
D
B
A
O
C
DB
CB
∴CE=ED， =
∴BCD=BAC
∵OA=OC ∴OAC=OCA
∴ACO=BCD
(2)设⊙O的半径为Rcm,则OE=OBEB=R8,
CE=CD=24=12
在RtCEO中，由勾股定理可得
OC=OE+CE 即R= (R8) +12
解得 R=13 。 ∴2R=213=26 。
答：⊙O的直径为26cm。
24.(1）证明：过O作OE⊥PB于E，OF⊥PD于F。

（2）上述结论仍成立。如图所示。证明略.

25. 60°【提示】如图，连接AC．设∠DCA＝x°，则∠DBA＝x°，所以∠CAB＝x°＋20°．因为AB为直径，所以∠BCA＝90°，则∠CBA＋∠CAB＝90°．

又 ∠DBC＝50°,∴ 50＋x＋(x＋20）＝90．
∴ x＝10．∴ ∠CBE＝60°．

26.OC∥AB等；
27.分析：如图，连接OA、OC，过O分别作AB、CD的垂线,垂足分别为M、N，则AM＝MB，CN＝ND。
∵OM⊥MN，ME⊥EN，CN＝ND
∴
从而
即
∴ 故选A.