全等三角形中与中点相关的辅助线做法及常见题型.doc

全等三角形中与中点相关的辅助线做法及常见题型
一 倍长中线构造全等三角形
1.如图所示，已知ΔABC中，AD平分∠BAC，E、F分别在BD、AD上．DE=CD，EF=AC．求证：EF∥AB．
【提示】
延长AD到M，使DM=AD，连结EM，易证ΔADC≌ΔMDE，可得∠3=∠M，AC=EM，然后根据AC=EF及∠2=∠3可得∠1=∠2，问题得证.

2.如图，△ABC中，AB＞AC，AD是中线，AB＝10，AD＝7，∠CAD＝45°，求BC的长.

【提示】
延长AD到E使DE=AD=7，连接CE，作EF⊥AC于F，作CH⊥AD于H，如图，先证明△ADB≌△EDC得到EC=AB=10，再利用△AEF为等腰直角三角形计算出AF=EF=7，则根据勾股定理可计算出CF，从而得到AC=6，接着利用△ACH为等腰直角三角形得到AH=CH=6，然后利用勾股定理计算出CD，从而得到BC的长．

3．如图所示，∠BAC=∠DAE=90°，M是BE的中点，AB=AC，AD=AE，求证AM⊥CD．

【提示】
延长AM到F，使MF＝AM，交CD于点N，构造平行四边形，利用条件证明△ABF≌△CAD，可得出∠BAF＝∠ACD，再结合条件可得到∠ANC＝90°，可证得结论．

4．如图所示，在中，交于点，点是中点，交的延长线于点，交于点，若，求证：.

【提示】
延长GE至Q，使EQ=EG，连接CQ，根据SAS证△BEG≌△CEQ，推出BG=CQ，∠BGE=∠Q，又由BG=CF得CQ=CF，所以得∠F=∠Q，则∠BGE=∠F，再根据平行线的性质得∠BGE=∠BAD，∠F=∠CAD，于是得∠BAD=∠CAD，所以结论得证.

5.如图，分别以的边向外作正方形ABFG和ACDE，连接EG，若O为EG的中点，
求证：（1）；（2）．

【提示】
（1）如图，延长AO到M，使OM=AO，连接GM，延长OA交BC于点H．根据全等三角形的性质得到AE=MG，∠MGO=∠AEO，根据三角形的内角和得到∠MGA+∠GAE=180°，根据正方形的性质得到AG=AB，AE=AC，∠BAG=∠CAE=90°，根据全等三角形的性质得到AM=BC，等量代换即可得到结论；
（2）根据全等三角形的性质得到∠M=∠EAO，∠M=∠ACB，等量代换得到∠EAO=∠ACB，求得∠AHC=90°，根据垂直的定义即可得到结论．

6．如图1，在中，，，，是边的中点，交于点.将直角绕顶点旋转，使得边与线段交于点，边与线段交于点.

（1）求证：与相似；
（2）设的长为，的面积为，求与的函数关系式，并写出的取值范围；
（3）探究、、三者之间的数量关系，并说明理由.
【提示】
（1）由同角的余角相等证得及即可得出结论；（2）先由特殊角的三角函数值求出、，再由相似比求出，并进一步得出，最后由面积公式得出与的函数关系式；（3）利用是边的中点构造三角形全等，再由勾股定理探究、、三者之间的数量关系.

二 直角三角形斜边上的中线

7．如图所示，，为的中点，求证：.

【提示】
延长交于，易得，BM=MN，由直角三角形斜边中线性质可得CM=MN=BM.
8．如图所示，四边形中，，，点是的中点，求的度数.

【提示】
连接DE，根据直角三角形的性质得到DE=AB=BE，CE=AB=BE，根据三角形的外角性质计算即可；
9．如图所示，中，为的中点，为上一点，于点，连结．求证：．

【提示】
连结AD，过点D作交BG于点F，由等腰直角三角形的性质可得，AD⊥BC，由等角的余角相等得，，根据ASA可证出 ，由全等三角形的对应边相等得AE=BF，DE=DF，则△EDF为等腰直角三角形，即可得 .

10．如图,在矩形ABCD中,∠BAD的平分线交BC于点E,交DC的延长线于点F.
（1）若AB=2,AD=3,求EF的长；
（2）若G是EF的中点,连接BG和DG,求证：DG=BG.

【提示】
（1）由AE平分∠BAD，可得∠DAF＝45°，从而∠F＝45°，可证△ADF，△ECF都是等腰直角三角形，求出CF的长，最后根据勾股定理即可求出EF的长；
（2）连结CG，易证∠BEG＝∠DCG＝135°，根据“SAS”可证△BEG≌△DCG，从而可得DG＝BG.
三 构造中位线
11.．如图所示，中，，延长到，使，点是的中点，求证：.

【提示】
可知EF是△ABC的中位线，根据三角形中位线的性质，可得EF∥AB，EF=AB，又由AD=AB，即可得AD=EF，根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可证得四边形AEFD是平行四边形．DE=AF，由在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点E边BC的中点，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，可求得AF=BC．所以DE=2BC.
12．如图，正方形ABCD的边长为4，E是线段AB延长线上一动点，连结CE．

（1）如图1，过点C作CF⊥CE交线段DA于点F．
①求证：CF=CE；
②若BE=m（0＜m＜4），用含m的代数式表示线段EF的长；
（2）在（1）的条件下，设线段EF的中点为M，探索线段BM与AF的数量关系，并用等式表示．
（3）如图2，在线段CE上取点P使CP=2，连结AP，取线段AP的中点Q，连结BQ，求线段BQ的最小值．
【提示】
（1）①根据正方形的性质以及余角的性质即可证明△DCF≌△BCE，再根据全等三角形对应边相等即可得出结论；
②根据全等三角形的性质可得DF=BE=m．在Rt△ECF中，由勾股定理即可得出结论；
（2）在直线AB上取一点G，使BG=BE，由三角形中位线定理可得FG=2BM，可以证明AF=AG．在Rt△AFG中由勾股定理即可得出结论．
（3）在AB的延长线上取点R，使BR=AB=4，连结PR和CR，由三角形中位线定理可得BQ=12PR．在Rt△CBR中，由勾股定理即可得出CR的长，再由三角形三边关系定理即可得出结论．

四 过端点向中线做垂线
13．如图所示，在中，为边中点，于，的延长线于，求证：．

【提示】
过点C作CG⊥AE的延长线于G，则，证，得，则 ，再证，得即可得 .
14．如图，是延长线上一点，且，是上一点，，求证：.

【提示】
分别过点D、C作AB的垂线，构建与，证其全等即可求得答案.
14．如图，在中，，，，，延长交于.求证：.

【提示】
如图，过点D作的延长线于点G，易证，再证即可