全等三角形中与中点相关的辅助线做法及常见题型.doc

全等三角形中与中点相关的辅助线做法及常见题型一 倍长中线构造全等三角形1.如图所示，已知ABC中，AD平分BAC，E、F分别在BD、AD上DE=CD，EF=AC求证：EFAB 【提示】延长AD到M，使DM=AD，连结EM，易证ADCMDE，可得3=M，AC=EM，然后根据AC=EF及2=3可得1=2，问题得证. 2.如图，ABC中，ABAC，AD是中线，AB10，AD7，CAD45，求BC的长. 【提示】延长AD到E使DE=AD=7，连接CE，作EFAC于F，作CHAD于H，如图，先证明ADBEDC得到EC=AB=10，再利用AEF为等腰直角三角形计算出AF=EF=7，则根据勾股定理可计算出CF，从而得到AC=6，接着利用ACH为等腰直角三角形得到AH=CH=6，然后利用勾股定理计算出CD，从而得到BC的长 3如图所示，BAC=DAE=90，M是BE的中点，AB=AC，AD=AE，求证AMCD 【提示】延长AM到F，使MFAM，交CD于点N，构造平行四边形，利用条件证明ABFCAD，可得出BAFACD，再结合条件可得到ANC90，可证得结论4如图所示，在中，交于点，点是中点，交的延长线于点，交于点，若，求证：. 【提示】延长GE至Q，使EQ=EG，连接CQ，根据SAS证BEGCEQ，推出BG=CQ，BGE=Q，又由BG=CF得CQ=CF，所以得F=Q，则BGE=F，再根据平行线的性质得BGE=BAD，F=CAD，于是得BAD=CAD，所以结论得证.5.如图，分别以的边向外作正方形ABFG和ACDE，连接EG，若O为EG的中点，求证：（1）；（2） 【提示】（1）如图，延长AO到M，使OM=AO，连接GM，延长OA交BC于点H根据全等三角形的性质得到AE=MG，MGO=AEO，根据三角形的内角和得到MGA+GAE=180，根据正方形的性质得到AG=AB，AE=AC，BAG=CAE=90，根据全等三角形的性质得到AM=BC，等量代换即可得到结论；（2）根据全等三角形的性质得到M=EAO，M=ACB，等量代换得到EAO=ACB，求得AHC=90，根据垂直的定义即可得到结论6如图1，在中，是边的中点，交于点.将直角绕顶点旋转，使得边与线段交于点，边与线段交于点. （1）求证：与相似；（2）设的长为，的面积为，求与的函数关系式，并写出的取值范围；（3）探究、三者之间的数量关系，并说明理由. 【提示】（1）由同角的余角相等证得及即可得出结论；（2）先由特殊角的三角函数值求出、，再由相似比求出，并进一步得出，最后由面积公式得出与的函数关系式；（3）利用是边的中点构造三角形全等，再由勾股定理探究、三者之间的数量关系.二 直角三角形斜边上的中线7如图所示，为的中点，求证：. 【提示】延长交于，易得，BM=MN，由直角三角形斜边中线性质可得CM=MN=BM.8如图所示，四边形中，点是的中点，求的度数. 【提示】连接DE，根据直角三角形的性质得到DE=AB=BE，CE=AB=BE，根据三角形的外角性质计算即可；9如图所示，中，为的中点，为上一点，于点，连结求证： 【提示】连结AD，过点D作交BG于点F，由等腰直角三角形的性质可得，ADBC，由等角的余角相等得，根据ASA可证出 ，由全等三角形的对应边相等得AE=BF，DE=DF，则EDF为等腰直角三角形，即可得 .10如图,在矩形ABCD中,BAD的平分线交BC于点E,交DC的延长线于点F.（1）若AB=2,AD=3,求EF的长；（2）若G是EF的中点,连接BG和DG,求证：DG=BG. 【提示】（1）由AE平分BAD，可得DAF45，从而F45，可证ADF，ECF都是等腰直角三角形，求出CF的长，最后根据勾股定理即可求出EF的长；（2）连结CG，易证BEGDCG135，根据“SAS”可证BEGDCG，从而可得DGBG. 三 构造中位线11.如图所示，中，延长到，使，点是的中点，求证：. 【提示】可知EF是ABC的中位线，根据三角形中位线的性质，可得EFAB，EF=AB，又由AD=AB，即可得AD=EF，根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可证得四边形AEFD是平行四边形DE=AF，由在RtABC中，BAC=90，点E边BC的中点，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，可求得AF=BC所以DE=2BC.12如图，正方形ABCD的边长为4，E是线段AB延长线上一动点，连结CE（1）如图1，过点C作CFCE交线段DA于点F求证：CF=CE；若BE=m（0m4），用含m的代数式表示线段EF的长；（2）在（1）的条件下，设线段EF的中点为M，探索线段BM与AF的数量关系，并用等式表示（3）如图2，在线段CE上取点P使CP=2，连结AP，取线段AP的中点Q，连结BQ，求线段BQ的最小值 【提示】（1）根据正方形的性质以及余角的性质即可证明DCFBCE，再根据全等三角形对应边相等即可得出结论；根据全等三角形的性质可得DF=BE=m在RtECF中，由勾股定理即可得出结论；（2）在直线AB上取一点G，使BG=BE，由三角形中位线定理可得FG=2BM，可以证明AF=AG在RtAFG中由勾股定理即可得出结论（3）在AB的延长线上取点R，使BR=AB=4，连结PR和CR，由三角形中位线定理可得BQ=12PR在RtCBR中，由勾股定理即可得出CR的长，再由三角形三边关系定理即可得出结论 四 过端点向中线做垂线13如图所示，在中，为边中点，于，的延长线于，求证： 【提示】过点C作CGAE的延长线于G，则，证，得，则 ，再证，得即可得 .14如图，是延长线上一点，且，是上一点，求证：. 【提示】分别过点D、C作AB的垂线，构建与，证其全等即可求得答案.14如图，在中，延长交于.求证：. 【提示】如图，过点D作的延长线于点G，易证，再证即可