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第九章 概率与统计初步
一、计数原理
1、 （分类计数）加法原理：完成一件事情，有类办法，在第1类办法中有种不同的方法，在第2类办法中有种不同的方法，……在第类办法中有种不同的方法，那么完成这件事情，共有：种不同的方法；
2、 （分步计数）分步乘法原理：完成一件事情，需要分成个步骤，做第1步有种不同的方法，做第2步有种不同的方法，……做第步有种不同的方法，那么完成这件事情，共有：种不同的方法；
3、 区分做事情的方法是“分类”还是“分步”主要看能否一步做完，能够一步做完的就是分类（用加法原理），不能一步做完的，就是分步（用乘法原理）；
二、排列与组合
1、 排列数公式：从个不同的元素中取出个不同元素的所有排列的个数，叫做从个不同的元素中取出个不同元素的排列数，用符号表示，且：

2、 的阶乘：自然数1到的连乘积，叫做的阶乘，记作：，且：

3、 组合数公式：从个不同的元素中取出个不同元素的所有组合的个数，叫做从个不同的元素中取出个不同元素的组合数，用符号表示，且：

组合数公式也可写为：

4、 组合数的两个性质：
5、 排列与组合的区别：排列与顺序有关；组合与顺序无关。
三、概率
1、 基本概念
（1） 随机现象：在相同的条件下，具有多种可能的结果，而事先又无法确定会出现哪种结果的现象；
（2） 随机试验的特征：可以在相同的条件下重复进行；试验的所有可能结果是可以明确知道的，并且这些可能结果不止一个；每次试验之前不能准确预言哪一个结果会发生；
（3） 随机事件：随机试验的结果叫做随机事件，简称事件，常用大写字母A、B、C表示；
（4） 必然事件：在一次随机试验中必然要发生的事件，用表示（读作“omiga”， 对应的小写希腊字母是“ω”）；
（5） 不可能事件：在一次随机试验中不可能发生的事件，用表示（读作“fai”）；
（6） 基本事件：随机事件中不能分解的事件称为基本事件，即：最简单的随机事件；
（7） 复合事件：由若干个基本事件组成的事件称为复合事件；
2、 频数与频率
（1） 频数：在次重复试验中，事件发生了次，叫做事件发生的频数；
（2） 频率：在次重复试验中，事件发生的频数在试验总次数中所占的比例，叫做事件A发生的频率；
3、 概率
（1） 一般地，当试验的次数充分大时，如果事件发生的频率总稳定在某个常数附件，那么就把这个常数叫做事件发生的概率，记作：；
（2） 概率的性质：
i. 对于必然事件：
ii. 对于不可能事件：
iii.
4、 古典概型
（1） 古典概型：如果一个随机试验的基本事件只有有限个，并且各个基本事件发生的可能性相同，那么称这个随机试验属于古典概型；
（2） 概率：设试验共有个基本事件，并且每一个基本事件发生的可能性都相同，事件包含个基本事件，那么事件发生的概率为：

（3） 事件的“交”：“”表示同时发生，记作：；
（4） 事件的“并”：“”表示中至少有一个会发生，又称为事件与事件的和事件；
（5） 事件的“否”：表示事件的对立事件；（读作a bar，“A拔”）
（6） 互为对立的事件：若事件是事件的对立面，且;（对立事件的理解：在任何一次随机试验中，事件与有且仅有一个发生）
（7） 互斥事件（互不相容事件）：不可能同时发生的两个事件，即：；（对立事件是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件）
（8） 相互独立事件：在随机试验中，如果事件的发生不会影响事件发生的可能性的大小，即在事件发生的情况下，事件发生的概率等于事件原来的概率，那么称事件与事件相互独立；(事件发生与否，不影响事件的概率)
（9） 若、是互斥事件，则：
（10） 若、是对立事件，则：，即：
（11） 若、不是互斥事件，则：
（12） 若、是相互独立事件，则：
四、总体、样本与抽样方法
例1：为了了解全校1120名一年级学生的身高情况，从中抽取100名学生进行测量；
1、 总体：在统计中，所研究对象的全体；例1中“全校1120名一年级学生的身高”是总体；
2、 个体：组成总体的每一个对象；例1中“全校每一位一年级学生的身高”是个体；
3、 样本：被抽取出来的个体的集合；例1中“抽取的100名一年级学生的身高”是样本；
4、 样本容量：样本所含个体的数目；例1中“100”是样本容量；
5、 抽样的方法有三种：简单随机抽样、系统抽样、分层抽样；
6、 说明：当总体中的个数比较小时，常采取简单随机抽样；当总体中的个数比较多，且其分布没有明显的不均匀情况，常采用系统抽样；当总体由差异明显的几个部分组成时，常采用分层抽样；
五、用样本估计总体
1、 样本均值：
2、 样本方差：
3、 样本标准差：
4、 说明：均值反映了样本和总体的平均水平；方差和标准差则反映了样本和总体的波动大小程度；

5、 作频率分布直方图的方法：①把横轴分成若干段，每一线段对应一个组的组距；②然后以此线段为底作一矩形，它的高等于该组的频率/组距；这样得出一系列的矩形，每个矩形的面积恰好是该组上的频率，这些矩形就构成了频率分布直方图。
注：频数是指各组内数据的个数；每组的频数与全体数据的个数之比叫做该组的频率；

例：作出表格1中数据的频率分布直方图（本例题引用来自百度搜索）
表格 1
分 组
频 数
频 率
频率/组距
[150.5，153.5）
4
0.04
0.013
[153.5，156.5）
8
0.08
0.026
[156.5, 159.5)
8
0.08
0.026
[159.5, 162.5)
11
0.11
0.036
[162.5, 165.5)
22
0.22
0.073
[165.5, 168.5)
19
0.19
0.063
[168.5, 171.5)
14
0.14
0.046
[171.5, 174.5)
7
0.07
0.023
[174.5, 177.5)
4
0.04
0.013
[177.5, 180.5)
3
0.03
0.01
合 计
100
1

如果将频率分布直方图中相邻的矩形的上底边的中点顺次连结起来，就得到一条折线，我们称这条折线为本组数据的频率折线图

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