选修2-21.1变化率与导数(第1-3课时).doc

第1-3课时（周二——周四3月2日-4日）
课题：选修（2-2）1.1变化率与导数
三维目标：
1、 知识与技能
（1）理解平均变化率的概念；
（2）了解瞬时速度、瞬时变化率的概念；
（3）理解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵；
（4）会求函数在某点的导数或瞬时变化率；
（5）理解导数的几何意义。
2、过程与方法
（1）通过大量的实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数；
（2）通过动手计算培养学生观察、分析、比较和归纳能力；
（3）通过问题的探究体会逼近、类比、以已知探求未知、从特殊到一般的数学思想方法。
3、情态与价值观
（1）通过学生的积极参与、学习变化率与导数的知识，培养学生思维的科学性、严密性，不断认识数形结合和等价转化的数学思想；
(2) 通过运动的观点体会导数的内涵，使学生掌握导数的概念不再困难，从而激发学生学习数学的兴趣.
（3）通过对变化率与导数的学习，不断培养自主学习、合作交流、善于反思、勤于总结的科学态度和锲而不舍的钻研精神，提高参与意识和合作精神
教学重点：
瞬时速度、瞬时变化率的概念及导数概念的形成，导数及几何意义的理解。
教学难点：
在平均变化率的基础上去探求瞬时变化率，导数及几何意义的理解。
教 具：多媒体
教学方法：合作探究、分层推进教学法
教学过程：
一、双基回眸 科学导入：
★前面我们学习了函数及几种重要的函数，而且我们学习的很多公式所展示的两个量之间的关系也是函数关系：
下面找两个学生写出著名的函数——二次函数的表达式和球的体积公式：
n 二次函数
n 气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的函数关系是
函数很明确地描述了两个变量之间的因果关系。自变量的变化引起因变量的变化。下面我们来看这种变化的各种特点：
同学们，相信大家都玩过气球吧,我们回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内气体的容量的增加,气球的半径增加的越来越慢, 从数学角度,如何描述这种现象呢?
容量的增加与气球的半径增加这两者的变化的关系和本质是怎样呢？
今天，我们就来通过此问题来研究这种变化的特点和规律。
二、 创设情境 合作探究 ：
【首先来探究上面所提出的问题】
我们已经提问过了气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的函数关系是
现将半径r表示为体积V的函数,那么
【分析】，
⑴ 当V从0增加到1时,气球半径增加了
气球的平均膨胀率为
⑵ 当V从1增加到2时,气球半径增加了
气球的平均膨胀率为
可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了．
【思考】当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少?

【再来探究一个问题——高台跳水】

在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系h(t)= -4.9t2+6.5t+10.如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态?
思考计算：和的平均速度
在这段时间里，；
在这段时间里，
【探究】计算运动员在这段时间里的平均速度，并思考以下问题：
⑴运动员在这段时间内使静止的吗？
⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？
【探究过程】如图是函数h(t)= -4.9t2+6.5t+10的图像，结合图形可知，，
所以，
虽然运动员在这段时间里的平均速度为，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态．

【引出平均变化率的概念】
一般地，函数f(x)在区间上的平均变化率为
①本质：如果函数的自变量的“增量”为,且,相应的函数值的“增量”为,,则函数从到的平均变化率为

②几何意义：两点(x1，f(x1))，(x2，f(x2)) 连线的斜率（割线的斜率）；
③平均变化率反映了在函数在某个区间上平均变化的趋势（变化快慢），或说在某个区间上曲线陡峭的程度；
【但我们想要知道的是在某处的瞬时速度】
下面继续探索：
我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。运动员的平均速度不能反映他在某一时刻的瞬时速度，那么，如何求运动员的瞬时速度呢？
小结：局部以匀速代替变速，以平均速度代替瞬时速度，然后通过取极限，从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。
在高台跳水运动中，如果我们知道运动员相对于水面的高度（单位：）与起跳后的时间（单位：）存在关系，那么我们就会计算任意一段的平均速度，通过平均速度来描述其运动状态，但用平均速度不一定能反映运动员在某一时刻的瞬时速度，那么如何求运动员的瞬时速度呢？问题：2秒时的瞬时速度是多少？
我们现在会算任意一段的平均速度，先来观察一下2秒附近的情况。
时，在这段时间内
时，在这段时间内

当0.01时，13.051；
当0.01时，13.149；
当0.001时，13.095 1；
当0.001时，13.104 9；
当0.000 1时，13.099 51；
当0.000 1时，13.100 49；
当0.000 01时，13.099 951；
当0.000 01时，13.100 049；
当0.000 001时，13.099 995 1；
当0.000 001时，13.100 004 9；
。。。。。。
。。。。。。
问题：1你能描述一下你算得的这些数据的变化规律吗？
关于这些数据，下面的判断对吗？
2．当趋近于0时，即无论从小于2的一边，还是从大于2的一边趋近于2时，平均速度都趋近于一个确定的值-13.1。
3． 靠近-13.1且比-13.1大的任何一个数都可以是某一段上的平均速度；
4． 靠近-13.1且比-13.1小的任何一个数都可以是某一段上的平均速度；
5． -13.1表示在2秒附近，运动员的速度大约是-13.1。
分析:秒时有一个确定的速度，2秒附近的任何一段上的平均速度都不等于瞬时速度，所以比-13.1大的数作为2秒的瞬时速度不合理，比-13.1小的数作为2秒的瞬时速度也不合理，因此，运动员在2秒时的瞬时速度是-13.1。
小结：局部以匀速代替变速，以平均速度代替瞬时速度，然后通过取极限，从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。
【导数的概念】
定义：函数在处瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数,记作
。
求导数的步骤：
①求函数的增量： ②求平均变化率：
③取极限，得导数：
上述求导方法可简记为：一差、二化、三极限。
定义：当时，是一个确定的数，当变化时，是的函数，我们称它为的导函数（简称导数）即
【小试牛刀】
1
2
3设，若，则的值（ ）
A 2 B －2
C 3 D －3
4①已知S=πr2，求 ②已知V=，求 ③已知y=x2+3x求（1）；(2) 求︱x=2
5在曲线的图像上取一点（1，2），及附近一点
【导数的几何意义】

函数在点的导数的几何意义就是曲线在点处的切线的斜率，也就是说，曲线在点处的切线斜率是，切线的方程为。

三、互动达标 巩固所学：

问题.1 在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系h（t）=-4.9t 2＋6.5t＋10，求运动员在t=2时的瞬时速度？
【分析】我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。如何求运动员的瞬时速度？在t=2之前或之后，任意取一个时刻2+Δt，Δt可以是正值，可以是负值，当Δt趋于0时，平均速度有怎样的变化趋势？
【解析】（见学案）
【点评】学生可以分组讨论，上台板演，展示计算结果，同时口答：在t=2时刻,Δt趋于0时，平均速度趋于一个确定的值-13.1，即瞬时速度，第一次体会逼近思想；另一方面借助动画多渠道地引导学生观察、分析、比较、归纳，第二次体会逼近思想，为了表述方便,数学中用简洁的符号来表示,即
问题.2将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热。如果在第x h时，原油温度（单位：）为．计算第2h和第6h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义。
【分析】瞬时变化率与问题.1瞬时速度本质一样，所以做法一样。
【解析】在第时和第时,原油温度的瞬时变化率就是和
根据导数定义

所以 同理可得:
在第时和第时,原油温度的瞬时变化率分别为和,
说明在第附近,原油温度大约以的速率下降
在第附近,原油温度大约以的速率上升.
【点评】一般地,反映了原油温度在时刻附近的变化情况.

问题.3(1)求函数在处的导数.
(2)求函数在附近的平均变化率,并求出该点处的导数.
【分析】先求,再求,最后求.
【解析】(1)法一 定义法(略)
法二
(2)

【点评】由此题可体现求导数的步骤及进一步认识与的关系和区别，通过这种近似与精确深刻理解导数的本质……
为了进一步体现其抽象性及几何意义，同学们完成下列两题：

四、思悟小结：
知识线：
（1）平均变化率；
（2）瞬时速度与瞬时变化率的概念；
（3）导数的概念，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵；

思想方法线：
（1）定义法；
（2）公式法；
（3）近似与逼近思想；
（4）数形结合思想与等价转化思想。
题目线：
（1）求平均变化率与瞬时变化率的问题；
（2）求瞬时速度的问题；
（3）求函数在某点的导数；
（4）关于切线的问题。

五、针对训练 巩固提高：
1已知曲线上过点（2，8）的切线方程为，则实数的值为（ ）
A －1 B 1 C －2 D 2
2函数在处的导数的几何意义是（ ）
A 在点处的函数值
B 在点处的切线与轴所夹锐角的正切值
C 曲线在点处的切线的斜率
D 点与点（0，0）连线的斜率.

5 若f′(x0)=a，
（1）求的值。

（2）求的值。

6一作直线运动的物体其位移s与时间t的关系是。
（1）求此物体的初速度；（2）求此物体在t=2秒时的瞬时速度；
（3）求t=0到t=2时的平均速度。

7已知一个物体运动的位移（m）与时间t（s）满足关系S（t）＝-2t2+5t
⑴求物体第5秒和第6秒的瞬时速度
⑵求物体在t时刻的瞬时速度
⑶求物体t时刻运动的加速度，并判断物体作什么运动？

8求曲线f(x)=x3－x2+5在x=1处的切线的倾斜角。
110求切线斜率和切线方程
⑴已知，求曲线在处的切线斜率和切线方程．

⑵已知，求曲线在处的切线斜率和切线方程．

11在曲线上过哪一点的切线，（1）平行于直线；
（2）垂直于直线；（3）倾斜角为；
（4）求过点R（1，－3）与曲线相切的直线。