选修2-21.1变化率与导数(第1-3课时).doc

第1-3课时（周二周四3月2日-4日）课题：选修（2-2）1.1变化率与导数三维目标：1、 知识与技能（1）理解平均变化率的概念；（2）了解瞬时速度、瞬时变化率的概念；（3）理解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵；（4）会求函数在某点的导数或瞬时变化率；（5）理解导数的几何意义。2、过程与方法（1）通过大量的实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数；（2）通过动手计算培养学生观察、分析、比较和归纳能力；（3）通过问题的探究体会逼近、类比、以已知探求未知、从特殊到一般的数学思想方法。3、情态与价值观（1）通过学生的积极参与、学习变化率与导数的知识，培养学生思维的科学性、严密性，不断认识数形结合和等价转化的数学思想； (2) 通过运动的观点体会导数的内涵，使学生掌握导数的概念不再困难，从而激发学生学习数学的兴趣.（3）通过对变化率与导数的学习，不断培养自主学习、合作交流、善于反思、勤于总结的科学态度和锲而不舍的钻研精神，提高参与意识和合作精神 教学重点：瞬时速度、瞬时变化率的概念及导数概念的形成，导数及几何意义的理解。教学难点：在平均变化率的基础上去探求瞬时变化率，导数及几何意义的理解。教 具：多媒体教学方法：合作探究、分层推进教学法教学过程：一、双基回眸 科学导入：前面我们学习了函数及几种重要的函数，而且我们学习的很多公式所展示的两个量之间的关系也是函数关系：下面找两个学生写出著名的函数二次函数的表达式和球的体积公式：n 二次函数n 气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的函数关系是函数很明确地描述了两个变量之间的因果关系。自变量的变化引起因变量的变化。下面我们来看这种变化的各种特点： 同学们，相信大家都玩过气球吧,我们回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内气体的容量的增加,气球的半径增加的越来越慢, 从数学角度,如何描述这种现象呢? 容量的增加与气球的半径增加这两者的变化的关系和本质是怎样呢？ 今天，我们就来通过此问题来研究这种变化的特点和规律。二、 创设情境 合作探究 ：【首先来探究上面所提出的问题】我们已经提问过了气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的函数关系是现将半径r表示为体积V的函数,那么【分析】， 当V从0增加到1时,气球半径增加了气球的平均膨胀率为 当V从1增加到2时,气球半径增加了气球的平均膨胀率为可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了【思考】当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少? 【再来探究一个问题高台跳水】在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系h(t)= -4.9t2+6.5t+10.如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态?思考计算：和的平均速度在这段时间里，；在这段时间里，【探究】计算运动员在这段时间里的平均速度，并思考以下问题：运动员在这段时间内使静止的吗？你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？【探究过程】如图是函数h(t)= -4.9t2+6.5t+10的图像，结合图形可知，所以，虽然运动员在这段时间里的平均速度为，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态【引出平均变化率的概念】一般地，函数f(x)在区间上的平均变化率为本质：如果函数的自变量的“增量”为,且,相应的函数值的“增量”为,则函数从到的平均变化率为几何意义：两点(x1，f(x1)，(x2，f(x2) 连线的斜率（割线的斜率）；平均变化率反映了在函数在某个区间上平均变化的趋势（变化快慢），或说在某个区间上曲线陡峭的程度；【但我们想要知道的是在某处的瞬时速度】 下面继续探索：我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。运动员的平均速度不能反映他在某一时刻的瞬时速度，那么，如何求运动员的瞬时速度呢？小结：局部以匀速代替变速，以平均速度代替瞬时速度，然后通过取极限，从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。在高台跳水运动中，如果我们知道运动员相对于水面的高度（单位：）与起跳后的时间（单位：）存在关系，那么我们就会计算任意一段的平均速度，通过平均速度来描述其运动状态，但用平均速度不一定能反映运动员在某一时刻的瞬时速度，那么如何求运动员的瞬时速度呢？问题：2秒时的瞬时速度是多少？我们现在会算任意一段的平均速度，先来观察一下2秒附近的情况。时，在这段时间内时，在这段时间内当0.01时，13.051；当0.01时，13.149；当0.001时，13.095 1；当0.001时，13.104 9；当0.000 1时，13.099 51；当0.000 1时，13.100 49；当0.000 01时，13.099 951；当0.000 01时，13.100 049；当0.000 001时，13.099 995 1；当0.000 001时，13.100 004 9；。问题：1你能描述一下你算得的这些数据的变化规律吗？关于这些数据，下面的判断对吗？2当趋近于0时，即无论从小于2的一边，还是从大于2的一边趋近于2时，平均速度都趋近于一个确定的值-13.1。3 靠近-13.1且比-13.1大的任何一个数都可以是某一段上的平均速度；4 靠近-13.1且比-13.1小的任何一个数都可以是某一段上的平均速度；5 -13.1表示在2秒附近，运动员的速度大约是-13.1。分析:秒时有一个确定的速度，2秒附近的任何一段上的平均速度都不等于瞬时速度，所以比-13.1大的数作为2秒的瞬时速度不合理，比-13.1小的数作为2秒的瞬时速度也不合理，因此，运动员在2秒时的瞬时速度是-13.1。小结：局部以匀速代替变速，以平均速度代替瞬时速度，然后通过取极限，从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。【导数的概念】定义：函数在处瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数,记作。求导数的步骤：求函数的增量： 求平均变化率： 取极限，得导数： 上述求导方法可简记为：一差、二化、三极限。定义：当时，是一个确定的数，当变化时，是的函数，我们称它为的导函数（简称导数）即【小试牛刀】1 2 3设，若，则的值（ ）A 2 B 2C 3 D 34已知S=r2，求 已知V=，求 已知y=x2+3x求（1）；(2) 求x=25在曲线的图像上取一点（1，2），及附近一点【导数的几何意义】函数在点的导数的几何意义就是曲线在点处的切线的斜率，也就是说，曲线在点处的切线斜率是，切线的方程为。三、互动达标 巩固所学：问题.1 在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系h（t）=-4.9t 26.5t10，求运动员在t=2时的瞬时速度？【分析】我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。如何求运动员的瞬时速度？在t=2之前或之后，任意取一个时刻2+t，t可以是正值，可以是负值，当t趋于0时，平均速度有怎样的变化趋势？【解析】（见学案）【点评】学生可以分组讨论，上台板演，展示计算结果，同时口答：在t=2时刻,t趋于0时，平均速度趋于一个确定的值-13.1，即瞬时速度，第一次体会逼近思想；另一方面借助动画多渠道地引导学生观察、分析、比较、归纳，第二次体会逼近思想，为了表述方便,数学中用简洁的符号来表示,即问题.2将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热。如果在第x h时，原油温度（单位：）为计算第2h和第6h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义。【分析】瞬时变化率与问题.1瞬时速度本质一样，所以做法一样。【解析】在第时和第时,原油温度的瞬时变化率就是和根据导数定义所以 同理可得:在第时和第时,原油温度的瞬时变化率分别为和,说明在第附近,原油温度大约以的速率下降在第附近,原油温度大约以的速率上升.【点评】一般地,反映了原油温度在时刻附近的变化情况.问题.3(1)求函数在处的导数.(2)求函数在附近的平均变化率,并求出该点处的导数.【分析】先求,再求,最后求.【解析】(1)法一 定义法(略) 法二 (2) 【点评】由此题可体现求导数的步骤及进一步认识与的关系和区别，通过这种近似与精确深刻理解导数的本质 为了进一步体现其抽象性及几何意义，同学们完成下列两题： 四、思悟小结：知识线：（1）平均变化率；（2）瞬时速度与瞬时变化率的概念；（3）导数的概念，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵；思想方法线：（1）定义法；（2）公式法；（3）近似与逼近思想；（4）数形结合思想与等价转化思想。题目线：（1）求平均变化率与瞬时变化率的问题；（2）求瞬时速度的问题；（3）求函数在某点的导数；（4）关于切线的问题。五、针对训练 巩固提高：1已知曲线上过点（2，8）的切线方程为，则实数的值为（ ）A 1 B 1 C 2 D 22函数在处的导数的几何意义是（ ）A 在点处的函数值 B 在点处的切线与轴所夹锐角的正切值C 曲线在点处的切线的斜率 D 点与点（0，0）连线的斜率.5 若f(x0)=a，（1）求的值。（2）求的值。6一作直线运动的物体其位移s与时间t的关系是。（1）求此物体的初速度；（2）求此物体在t=2秒时的瞬时速度； （3）求t=0到t=2时的平均速度。7已知一个物体运动的位移（m）与时间t（s）满足关系S（t）-2t2+5t求物体第5秒和第6秒的瞬时速度求物体在t时刻的瞬时速度求物体t时刻运动的加速度，并判断物体作什么运动？8求曲线f(x)=x3x2+5在x=1处的切线的倾斜角。110求切线斜率和切线方程已知，求曲线在处的切线斜率和切线方程已知，求曲线在处的切线斜率和切线方程11在曲线上过哪一点的切线，（1）平行于直线；（2）垂直于直线；（3）倾斜角为；（4）求过点R（1，3）与曲线相切的直线。