微分几何补充题.doc

微分几何补充题
1.求曲线的切线与直线所成的夹角.
解 ，直线的方向向量为，
设 与的夹角为，则有
，
所以，
2.求曲面：上的脐点.
解 ，， ，
，
，
，
，
， ，
由得
，
解得 ，从而，所以原点是曲面唯一的脐点.
3.求正螺面（）上点沿方向的法曲率.
解：

，

所以在点沿方向的法曲率是
，
将代入上式，

4. 求正螺面（）上的双曲点、椭圆点和抛物点.
解 由第3题，知 ，

得 ，
所以正螺面上全是双曲点，无椭圆点和抛物点.
5. 若一曲面与平面相切于一条曲线,证明：此曲线是曲面的渐近曲线又是曲率线,并
证明沿此曲线上的点都是抛物点.
证明 1）曲面与平面相切于一条曲线 此曲线在这个平面上，且这个平面是曲面在此曲线上每一点的切平面.
是渐近曲线.
2）
又
（）
即 又是单位向量
所以 ， 是主方向就是曲率线
3） 渐近方向又是主方向
，上的点都是抛物点.
6.假定曲面被一族渐近曲线所覆盖，证明：这族渐近曲线的正交轨线的法曲率等于曲面的平均曲率的两倍.
证明：如图，设渐近方向与主方向的夹角为，则渐近曲线的正交轨线的切方向与主方向的夹角为 ，
所以
因此 ，

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