圆锥曲线第七天-面积问题.doc

圆锥曲线第七天 面积问题
例题1、已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为短轴一个端点到右焦点的距离为。
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求△AOB面积的最大值。

解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为，依题意
，所求椭圆方程为。
（Ⅱ）设，。
（1）当轴时，。
（2）当与轴不垂直时，
设直线的方程为。
由已知，得。
把代入椭圆方程，整理得，
，。

。
当且仅当，即时等号成立。当时，，
综上所述。
当最大时，面积取最大值。

练习1、如图，直线与椭圆交于A、B两点，记的面积为。

（Ⅰ）求在，的条件下，的最大值；
（Ⅱ）当时，求直线AB的方程。

本题主要考查椭圆的几何性质、椭圆与直线的位置关系等基础知识，考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力。满分14分。
解：（Ⅰ）解：设点A的坐标为，点的坐标为，
由，解得，
所以

当且仅当时，取到最在值1，
（Ⅱ）解：由
得

设到的距离为，则

又因为
所以代入②式并整理，得

解得，代入①式检验，。
故直线的方程是
。
练习2、已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，两准线间的距离为4。
(Ⅰ)求椭圆的方程；
(Ⅱ)直线过点P(0,2)且与椭圆相交于A、B两点，当ΔAOB面积取得最大值时，求直线l的方程。

解：设椭圆方程为
（I）由已知得
所求椭圆方程为

（II）解法一：由题意知直线l的斜率存在，
设直线l的方程为，
由 消去y得关于x的方程：

由直线l与椭圆相交A、B两点，△，
解得，
又由韦达定理得

.

原点O到直线l的距离

解法1：对两边平方整理得：
（*）
，

整理得：
又，
.
从而的最大值为，
此时代入方程（*）得

所以，所求直线方程为： .

解法2：令，
则，

.
当且仅当即时，

此时.
所以，所求直线方程为 .

解法二：由题意知直线l的斜率存在且不为零.
设直线l的方程为，，
则直线l与x轴的交点
由解法一知：且

解法1：

下同解法一

解法2：

下同解法一

练习3已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆的离心率为，为其焦点，一直线过点与椭圆相交于两点，且的最大面积为，求椭圆的方程。

解：由＝得，所以椭圆方程设为
设直线，由 得：

设，则是方程的两个根
由韦达定理得 所以

＝
当且仅当时，即轴时取等号
所以，所求椭圆方程为