线性方程组与矩阵.doc

第一章 线性方程组与矩阵 课程教案

授课题目：第二节 矩阵概念与矩阵的初等变换
教学目的:1．掌握高斯消元法求解线性方程组．
2．理解矩阵的概念、运算及其性质，掌握矩阵的初等行变换．
教学重点:本章以课堂教学为主，使学生掌握矩阵的初等行变换，提高学生的逻辑思维能力和计算能力．
教学难点： 初等行变换的运用．
课时安排：2学时．
授课方式:多媒体与板书结合．
教学基本内容：
§1。2 矩阵概念与矩阵的初等变换

1。 概念
对线性方程组
(1)
其系数可用表示．
定义1 个数排列成行（横向）、列（纵向）的矩形数表:

称为矩阵，简记为,其中为中第行第列的元素．如
是3行4列的矩阵．这里,3×4是个记号，表明矩阵有3行4列的事实而不能取乘积“12”．
2. 一些特殊的矩阵
1） 行矩阵—-只有一行的矩阵． 例．
2） 列矩阵——只有一列的矩阵． 例．
3) 零矩阵——所有元素都等于0的矩阵．例．
4） 同型矩阵——行数相同、列数也相同．例与同型．
5) 当时称 为阶方阵；所在的对角线称为方阵的主对角线．
6) 主对角线下（上）方的元素全为零的方阵称为上（下）三角阵．例为上三角阵；为下三角阵．
7） 主对角线以外的元素全为零的方阵称为对角阵，记为，简记为．
8） 数量阵—-对角阵中． 例．
9) 单位阵—-数量阵中,记以或．例．
注　（1) 只有1列或1行的矩阵分别称为列矩阵或行矩阵，也被称为列向量或行向量．这样，它们就有了矩阵和向量的双重“身份”．
　　作为向量,常用小写黑体字母a、b、……等标记之，向量的元也称为分量,一个向量所含分量的个数称为维（是个数）,如是个3维列向量，其实就是由3个数组成的一个有序数组．
　　维向量是个数的一个有序数组，亦即是个的列矩阵或的行矩阵．
　　列向量与行向量虽然只是写法上的不同,但我们还是与多数参考书一样约定:除非特别说明，说到向量一般均指列向量．行向量则被记作aT或a′ 等．
　　（2）矩阵也称为阶方阵或阶矩阵，而1阶矩阵被约定当作“数"(即“元"本身）对待，当然“数”是不能当作1阶矩阵来对待的．
　　对阶矩阵，后面要讨论其行列式、是否为可逆阵、转置伴随阵、及特征值与对角化等种种问题等．
（3）单位阵、对角阵、三角阵是特别简单的一些方阵,在今后讨论的基本运算中,它们各表现出一些简单特性，这就使它们在形成或训练解决问题的矩阵方法中都将有重要作用．
对线性方程组（1） 称为（1)的系数矩阵，称为(1）的增广矩阵．
3。 矩阵的行(列）初等变换
定义2  矩阵的行（列)初等变换：
    (1)  对换矩阵的两行（列)，用表示对换两行（列）的行（列)初等变换，即（);
    (2）  用非零数乘矩阵的某一行（列)，用表示以乘矩阵的第行(列）的行（列）初等变换,即;
（3） 将矩阵的某行（列）乘以数再加入另一行（列）中去，用表示乘矩阵的第行（列)后加到第行（列）的行（列）初等变换，即．
4. 矩阵的等价
定义 将矩阵的行经有限次初等变换化为,称与等价,记作．
5. 行阶梯形矩阵与最简形矩阵
定义3 若矩阵的零行（元素全为零的行）位于的下方，且各非零行（元素不全为零的行）的非零首元（第一个不为零的元素）的列标随行标的递增而严格增大,则称为行阶梯形矩阵．
定义4 若行阶梯形矩阵的各非零首元均为1，且各非零首元所在列的其余元素均为零，则称为最简形．
6. 用初等变换线性方程组的解
1） 将(1）的增广矩阵用行初等变换化为最简形;
2） 由最简形对应的方程组得到解．
例1 求解下列齐次线性方程组：
　．
解　(1)　对系数矩阵实施行变换：，即得，故方程组的解为．
例2 求解下列非齐次线性方程组：
(1) (2）
解　(1)　对系数的增广矩阵施初等行变换，有

故方程组无解．
(2）　对系数的增广矩阵施初等行变换：
，
即得，亦即．

参考书目：
1。 贺铁山等，线性代数（第二版)，中山大学出版社，2004年8月．
2．吴赣昌，大学数学立体化教材：线性代数(经济类)，中国人民大学出版社,2006年3月．
3．同济大学应用数学系，工程数学(第四版）,高等教育出版社，2003年7月．

作业和思考题：
Page27：1—4．

课后小结：
1)能用矩阵的初等行变换并通过初等行变换将矩阵化为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵．
2)熟练地能掌握用高斯消元法求解线性方程组的思想、方法和步骤．