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课时达标检测(四十八) 曲线与方程
[练基础小题——强化运算能力]
1.已知点O(0,0),A(1,-2),动点P满足|PA|=3|PO|,则P点的轨迹方程是( )
A.8x2+8y2+2x-4y-5=0
B.8x2+8y2-2x-4y-5=0
C.8x2+8y2+2x+4y-5=0
D.8x2+8y2-2x+4y-5=0
解析:选A 设P点的坐标为(x,y),
则=3,
整理得8x2+8y2+2x-4y-5=0.
2.方程(x2+y2-2x)=0表示的曲线是( )
A.一个圆和一条直线 B.一个圆和一条射线
C.一个圆 D.一条直线
解析:选D 依题意,题中的方程等价于①x+y-3=0或②注意到圆x2+y2-2x=0上的点均位于直线x+y-3=0的左下方区域,即圆x2+y2-2x=0上的点均不满足x+y-3≥0,②不表示任何图形,因此题中的方程表示的曲线是直线x+y-3=0.
3.设圆(x+1)2+y2=25的圆心为C,A(1,0)是圆内一定点,Q为圆周上任一点.线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M,则M的轨迹方程为( )
A.-=1 B.+=1
C.-=1 D.+=1
解析:选D 如图,∵M为AQ的垂直平分线上一点,则|AM|=|MQ|,∴|MC|+|MA|=|MC|+|MQ|=|CQ|=5,故M的轨迹是以定点C,A为焦点的椭圆.∴a=,c=1,则b2=a2-c2=,∴M的轨迹方程为+=1.
4.平面直角坐标系中,已知两点A(3,1),B(-1,3),若点C满足=λ1+λ2 (O为原点),其中λ1,λ2∈R,且λ1+λ2=1,则点C的轨迹是( )
A.直线 B.椭圆
C.圆 D.双曲线
解析:选A 设C(x,y),因为=λ1+λ2,
所以(x,y)=λ1(3,1)+λ2(-1,3),
即解得
又λ1+λ2=1,所以+=1,即x+2y=5,所以点C的轨迹是直线,故选A.
5.已知F是抛物线y=x2的焦点,P是该抛物线上的动点,则线段PF中点的轨迹方程是________.
解析:因为抛物线x2=4y的焦点F(0,1),设线段PF的中点坐标是(x,y),则P(2x,2y-1)在抛物线x2=4y上,所以(2x)2=4(2y-1),化简得x2=2y-1.
答案:x2=2y-1
[练常考题点——检验高考能力]
一、选择题
1.已知椭圆+=1(a>b>0),M为椭圆上一动点,F1为椭圆的左焦点,则线段MF1的中点P的轨迹是( )
A.圆 B.椭圆
C.双曲线 D.抛物线
解析:选B 设椭圆的右焦点是F2,由椭圆定义可得|MF1|+|MF2|=2a>2c,所以|PF1|+|PO|=(|MF1|+|MF2|)=a>c,所以点P的轨迹是以F1和O为焦点的椭圆.
2.已知A(-1,0),B(1,0)两点,过动点M作x轴的垂线,垂足为N,若2=λ·,当λ<0时,动点M的轨迹为( )
A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线
解析:选C 设M(x,y),则N(x,0),所以2=y2,λ·=λ(x+1,0)·(1-x,0)=λ(1-x2),所以y2=λ(1-x2),即λx2+y2=λ,变形为x2+=1.又因为λ<0,所以动点M的轨迹为双曲线.
3.已知正方形的四个顶点分别为O(0,0),A(1,0),B(1,1),C(0,1),点D,E分别在线段OC,AB上运动,且OD=BE,设AD与OE交于点G,则点G的轨迹方程是( )
A.y=x(1-x)(0≤x≤1)
B.x=y(1-y)(0≤y≤1)
C.y=x2(0≤x≤1)
D.y=1-x2(0≤x≤1)
解析:选A 设D(0,λ),E(1,1-λ),0≤λ≤1,所以线段AD的方程为x+=1(0≤x≤1),线段OE的方程为y=(1-λ)x(0≤x≤1),联立方程组(λ为参数),消去参数λ得点G的轨迹方程为y=x(1-x)(0≤x≤1).
4.(2017·洛阳模拟)设过点P(x,y)的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A,B两点,点Q与点P关于y轴对称,O为坐标原点.若=2,且·=1,则点P的轨迹方程是( )
A.x2+3y2=1(x>0,y>0)
B.x2-3y2=1(x>0,y>0)
C.3x2-y2=1(x>0,y>0)
D.3x2+y2=1(x>0,y>0)
解析:选A 设A(a,0),B(0,b),a>0,b>0.由=2,得(x,y-b)=2(a-x,-y),即a=x>0,b=3y>0.点Q(-x,y),故由·=1,得(-x,y)·(-a,b)=1,即ax+by=1.将a=x,b=3y代入ax+by=1,得所求的轨迹方程为x2+3y2=1(x>0,y>0).
5.已知F1,F2分别为椭圆C:+=1的左,右焦点,点P为椭圆C上的动点,则△PF1F2的重心G的轨迹方程为( )
A.+=1(y≠0) B.+y2=1(y≠0)
C.+3y2=1(y≠0) D.x2+=1(y≠0)
解析:选C 依题意知F1(-1,0),F2(1,0),设P(x0,y0),G(x,y),则由三角形重心坐标关系可得即代入+=1得重心G的轨迹方程为+3y2=1(y≠0).
6.如图所示,在平面直角坐标系xOy中,A(1,0),B(1,1),C(0,1),映射f将xOy平面上的点P(x,y)对应到另一个平面直角坐标系uO′v上的点P′(2xy,x2-y2),则当点P沿着折线ABC运动时,在映射f的作用下,动点P′的轨迹是( )
解析:选D 当P沿AB运动时,x=1,设P′(x′,y′),则(0≤y≤1),故y′=1-(0≤x′≤2,0≤y′≤1).当P沿BC运动时,y=1,则(0≤x≤1),所以y′=-1(0≤x′≤2,-1≤y′≤0),由此可知P′的轨迹如D所示,故选D.
二、填空题
7.已知M(-2,0),N(2,0),则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程是________________.
解析:设P(x,y),∵△MPN为直角三角形,∴|MP|2+|NP|2=|MN|2,∴(x+2)2+y2+(x-2)2+y2=16,整理得,x2+y2=4.∵M,N,P不共线,∴x≠±2,∴顶点P的轨迹方程为x2+y2=4(x≠±2).
答案:x2+y2=4(x≠±2)
8.已知定点A(4,0)和圆x2+y2=4上的动点B,动点P(x,y)满足+=2,则点P的轨迹方程为____________.
解析:设B(x0,y0),由+=2,得即代入圆方程得(2x-4)2+4y2=4,即(x-2)2+y2=1.
答案:(x-2)2+y2=1
9.设F1,F2为椭圆+=1的左、右焦点,A为椭圆上任意一点,过焦点F1向∠F1AF2的外角平分线作垂线,垂足为D,则点D的轨迹方程是________________.
解析:由题意,延长F1D,F2A并交于点B,易证Rt△ABD≌Rt△AF1D,则|F1D|=|BD|,|F1A|=|AB|,又O为F1F2的中点,连接OD,则OD∥F2B,从而可知|DO|=|F2B|=(|AF1|+|AF2|)=2,设点D的坐标为(x,y),则x2+y2=4.
答案:x2+y2=4
10.△ABC的顶点A(-5,0),B(5,0),△ABC的内切圆圆心在直线x=3上,则顶点C的轨迹方程是______________.
解析:如图,|AD|=|AE|=8,|BF|=|BE|=2,|CD|=|CF|,所以|CA|-|CB|=8-2=6.根据双曲线定义,所求轨迹是以A,B为焦点,实轴长为6的双曲线的右支,故方程为-=1(x>3).
答案:-=1(x>3)
三、解答题
11.已知长为1+的线段AB的两个端点A,B分别在x轴、y轴上滑动,P是AB上一点,且=,求点P的轨迹C的方程.
解:设A(x0,0),B(0,y0),P(x,y),则=(x-x0,y),=(-x,y0-y),因为=,
所以x-x0=-x,y=(y0-y),
得x0=x,y0=(1+)y.
因为|AB|=1+,即x+y=(1+)2,
所以2+[(1+)y]2=(1+)2,化简得+y2=1.
所以点P的轨迹方程为+y2=1.
12.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的一个焦点为(,0),离心率为.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)若动点P(x0,y0)为椭圆C外一点,且点P到椭圆C的两条切线相互垂直,求点P的轨迹方程.
解:(1)依题意得,c=,e==,
因此a=3,b2=a2-c2=4,
故椭圆C的标准方程是+=1.
(2)若两切线的斜率均存在,设过点P(x0,y0)的切线方程是y=k(x-x0)+y0,
则由
得+=1,
即(9k2+4)x2+18k(y0-kx0)x+9[(y0-kx0)2-4]=0,Δ=[18k(y0-kx0)]2-36(9k2+4)[(y0-kx0)2-4]=0,整理得(x-9)k2-2x0y0k+y-4=0.
又所引的两条切线相互垂直,设两切线的斜率分别为k1,k2,于是有k1k2=-1,即=-1,
即x+y=13(x0≠±3).
若两切线中有一条斜率不存在,
则易得或或或
经检验知均满足x+y=13.
因此,动点P(x0,y0)的轨迹方程是x2+y2=13.
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