复变函数模拟题二解答.doc

第二章部分习题解答
1．试证下列函数在z平面上任何点都不解析。
（1） （2）。
证 （1） ，，知在z平面上任何点都不解析。
（2） ，， 知在z平面上任何点都不解析。
2．下列函数何处可导？何处解析？
（1）
解 （1）由于
，，，
在z平面上处处连续，且当且仅当z=0时，u,v才满足C-R条件，故仅在点处可导，在z平面处处不解析。
3．证明：如果函数在区域D内解析，并满足下列条件之一，那么是常数。
(1) 在内；
(2)在D内解析。
(3)在D内是一个常数。
解 （1）的证明 由于，故由引理得,根据条件即有。于是 恒为常数, 即 在 内恒为常数。
（2） 若在区域D内解析，则
，
又在区域D内解析，则
，
结合（1）、（2）两式，有
，
故在D内均为常数，分别记之为 ，
则 为一复常数。
（3）若在D内为一常数，记为，则，两边分别对于x和y求偏导，得

由于在D内解析，满足C-R条件

代入上式又可写得

解得。同理，可解得故均为常数，分别记为，则为一复常数。
4．如果是一解析函数，试证：也是解析函数。
证 （1）,
, ,
可知为一解析函数。
5．证明：柯西-黎曼方程的极坐标形式是
，
证 令，利用复合函数求导法则和满足C-R条件，得

即 。又

总之，有
，。
6．设，试求
（1） （2） （3）
解 （1）
（2）
（3） Re{e}

7.下列关系是否正确？
（1）； （2）； （3）
解（1）
（2）。
（3）
=。
8．试证：对任意的复数及整数m有
证 对任意的复数z，当为自然数时，
m个

 当时，
。
当时，

9．找出下列方程的全部解。
（1）； （2）
解（1）原方程等价于，于是它的解为：

（2）由于
，故

10．设，试证

证 由于

故
11．求和的值。
解：

，
12．若函数在上半z平面内解析，试证函数在下半平面内解析。
证1 对于任意的下半平面上的一点。则点是上半平面上的点，

则 .
若解析，则满足C-R条件：

因此对于内的任一点,有

上述两式表明的实部、虚部在内满足条件，显然与在内可微，故函数在内处处解析。
证2 令，对于内的任一点，则属于内的点，注意到在内解析，于是有

即在点处可导，且由点的任意性，知在内处处解析。
13． 在里，将与形式地看作独立变数，写作，试证柯西-黎曼方程可表示为：

证 由于
，，
根据复合函数求导法则，有

可见C-R方程可表示为
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