1、第二章部分习题解答1试证下列函数在z平面上任何点都不解析。（1） （2）。证 （1） ，知在z平面上任何点都不解析。（2） ， 知在z平面上任何点都不解析。2下列函数何处可导？何处解析？（1）解 （1）由于 ，在z平面上处处连续，且当且仅当z=0时，u,v才满足C-R条件，故仅在点处可导，在z平面处处不解析。3证明：如果函数在区域D内解析，并满足下列条件之一，那么是常数。(1) 在内；(2)在D内解析。(3)在D内是一个常数。解 （1）的证明 由于，故由引理得,根据条件即有。于是 恒为常数, 即 在 内恒为常数。（2） 若在区域D内解析，则， 又在区域D内解析，则 ， 结合（1）、（2）两式，
2、有 ，故在D内均为常数，分别记之为 ，则 为一复常数。（3）若在D内为一常数，记为，则，两边分别对于x和y求偏导，得由于在D内解析，满足C-R条件代入上式又可写得解得。同理，可解得故均为常数，分别记为，则为一复常数。4如果是一解析函数，试证：也是解析函数。证 （1）, , , 可知为一解析函数。5证明：柯西-黎曼方程的极坐标形式是，证 令，利用复合函数求导法则和满足C-R条件，得即 。又总之，有，。6设，试求（1） （2） （3） 解 （1）（2）（3） Ree 7.下列关系是否正确？（1）； （2）； （3）解（1）（2）。（3）=。8试证：对任意的复数及整数m有 证 对任意的复数z，当为自
3、然数时，m个当时，。当时，9找出下列方程的全部解。（1）； （2） 解（1）原方程等价于，于是它的解为： （2）由于，故10设，试证证 由于故 11求和的值。解：， 12若函数在上半z平面内解析，试证函数在下半平面内解析。证1 对于任意的下半平面上的一点。则点是上半平面上的点， 则 .若解析，则满足C-R条件： 因此对于内的任一点,有上述两式表明的实部、虚部在内满足条件，显然与在内可微，故函数在内处处解析。证2 令，对于内的任一点，则属于内的点，注意到在内解析，于是有即在点处可导，且由点的任意性，知在内处处解析。13 在里，将与形式地看作独立变数，写作，试证柯西-黎曼方程可表示为：证 由于，根据复合函数求导法则，有可见C-R方程可表示为 7 / 7
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