测量平差中条件方程的建立[1].doc

§3—4 三角网条件平差计算

2学时

三角网测量的目的，是通过观测三角形的各角度或边长，计算三角网中各未知点的坐标、边的长度及方位角等。三角网按条件平差计算时,首要的问题是列出条件方程。因此了解三角网的构成，总结其条件方程的种类及各种条件方程的组成规律是十分重要的.
三角网的种类比较多,网的布设形式也比较复杂。根据观测内容的不同,有测角网、测边网、边角同测网等；根据网中起始数据的多少，有自由三角网和非自由三角网.自由三角网是指仅具有必要起算数据的三角网，网中没有多余的已知数据.如果测角三角网中，只有两个已知点（或者已知一个已知点的坐标、一条已知边的长度和一个已知的方位角），根据数学理论,以这两个已知点为起算数据，再结合必要的角度测量值，就能够解算出网中所有未知点的坐标。如果三角网中除了必要的起算数据外还有其它的已知数据，或者说已知数据有冗余，就会增加对网形的约束,从而增强其可靠性，这种三角网称之为非自由三角网.无论多么复杂的三角网，都是由单三角形、大地四边形和中点多边形组合而成的.
在本节，我们先讨论三角网条件平差中条件方程个数的确定问题，然后主要讨论测角三角网的条件方程的形式问题。

一、网中条件方程的个数

三角网平差的目的，是要确定三角点在平面坐标系中的坐标最或然值.如图3—9所示，根据前面学到的测量基础知识，我们知道，必须事先知道三角网中的四个数据,如两个三角点的4个坐标值，或者一个三角点的2个坐标值、一条边的长度和一个方位角,这4个已知数据我们称之为三角网的必要起算数据。有了必要起算数据,就可以确定三角网在平面坐标系中的位置、网的大小及其方位，就可以计算三角网中未知点的坐标。
要对三角网进行平差计算,还必须先知道网中的总观测数n、判定必要观测数t，从而确定了多余观测数:
r = n — t
由条件平差原理知，多余观测数与条件方程数是相等的，有了多余观测数，也就确定出了条件方程的个数。因此，问题的关键是判定必要观测数t.
1.网中有2个或2个以上已知点的情况
三角网中有2个或2 个以上已知三角点，就一定具备了4个必要起算数据.无论是测角网、测边网还是边角同测网，如果有2个已知点相邻，要确定一个未知点的坐标,需要观测两个观测值（2个角，或者1条边和1个角，或者2条边）.也就是说,确定1个未知点要有2个必要观测值;那么如果网中有p个未知点，必要观测数应等于未知点个数的两倍。
t = 2 · p (3—4—1)
（1) 测角网
图3—9所示，三角网中有2个已知点，待定点个数为p = 6。如果三角网中观测量全部是角度时.
总观测值个数： n = 23
必要观测数： t = 2 · p =12
则多余观测数，即条件平差条件方程个数： r = n – t = 11
(2) 测边网
在图3-9中，如果三角网中观测量全部是边的长度时：
总观测值个数: n = 14
必要观测数： t = 2 · p =12
则多余观测数，即条件平差条件方程个数: r = n – t = 2

(3) 边角同测网
在图3—9中，如果三角网中的所有的角度值和所有的边长值都进行观测时：
总观测值个数： n = 37
必要观测数: t = 2 · p =12
则多余观测数,即条件平差条件方程个数： r = n – t = 25
2. 网中已知点少于2个的情况
有些情况下，三角网中已知点可能少于2个，只有1个已知点、1个已知边和1个已知方位角，或者没有已知点和已知方位角只有1个已知边。但是，不管怎样说,1条已知边是必须已知的，或者需要进行观测的.如果没有已知点,可以假定网中的1个未知点；如果没有已知方位角，可以取网中的1个方向的方位角为某一假定值.这样也就间接地等价于网中有2个相邻点的坐标是已知的。
(1) 测角网
三角网中共有p个三角点、1个已知方位角（也可以没有）、1个已知点(也可以没有已知点）和1个已知边长S（或者也是观测得到的）,并观测了所有的角度。如果已知点和已知方位角都没有，就要进行必要的假设。则在进行条件平差时，必要观测数为:
t = 2 · （ p – 2) （3-4-2)
如图3—10所示，三角网中观测了所有角度值（如果没有已知边时，也观测1条边长作为起算数据）。
网中三角点个数： p = 6
角度观测值个数: n = 12
必要观测数： t = 2 · ( p – 2） = 8
则多余观测数,即条件平差条件方程个数： r = n – t = 4

（2） 测边网或边角同测网
若三角网中，共有p个三角点和1个已知点（或者也是假定的),并对所有的边长，或者角度和边长进行了观测，观测值总个数为n。在进行条件平差时，由于要加上必须的起算边长，则必要观测（边或者边和角）的个数为
t = 2 · （ p – 2)+1 （3—4-3）
如图3—10所示，网中三角点个数：p = 6
如果是测边网，则
总观测值个数： n = 9
必要观测数: t = 2 · ( p – 2） +1=9
多余观测数，即条件平差条件方程个数： r = n – t = 0
如果是边角同测网,则
总观测值个数： n = 21
必要观测数： t = 2 · （ p – 2) +1=9
多余观测数，即条件平差条件方程个数： r = n – t = 12
以上我们仅对几种三角网，讨论了条件平差时必要观测数及多余观测数和条件平差方程数的确定方法，还有很多情况没有涉及到。在实际平差计算中,应针对不同情况进行具体分析。

二、条件方程的形式

三角网中的条件方程主要有以下几种形式:
1。 图形条件方程
图形条件，又叫三角形内角和条件，或三角形闭合差条件.在三角网中，一般对三角形的每个内角都进行了观测.根据平面几何知识，三角形的三个内角的平差值的和应为180˚，如图3—12中的三角形ABP，其内角平差值的和应满足下述关系：
（3-4-4）
此即为三角形内角和条件方程.由于三角形是组成三角网的最基本的几何图形，因此,通常称三角形内角和条件为图形条件.因此图形条件也是三角网的最基本、最常见的条件方程形式。
与（3-4-4）式相对应的改正数条件方程为
（3-4-5）
(3-4-6）
2。 水平条件方程
水平条件,又称圆周条件,这种条件方程一般见于中点多边形中。如图3—12所示，在中点P上设观测站时，周围的五个角度都要观测。这五个观测值的平差值之和应等于360˚，即
(3-4—7）
相应的改正数条件方程为
(3-4—8)
(3—4—9)

3。 极条件方程
极条件是一种边长条件，一般见于中点多边形和大地四边形中.先看中点多边形的情况.如图3—12所示，中心P点为顶点，有五条边，从其中任一条边开始依次推算其它各边的长度，最后又回到起始边，则起始边长度的平差值应与推算值的长度相等。
在图3-12所示的三角网中,我们应用正弦定理,以BP边为起算边，依次推算AP、EP、DP、CP，最后回到起算边BP、，得到下式

整理得
(3—4—10）

(3-4-10)式即为平差值的极条件方程。为得到其改正数条件方程形式，可用泰勒级数对上式左边展开并取至一次项：

化简，即得极条件的改正数条件方程：
(3—4-11）
（3-4—12)

在大地四边形中的极条件方程与中点多边形稍有不同.如图3—11所示,可以取D点为极点，以BD为起始边，依次推算AD、CD再回到BD边。仿照中点多边形的极条件方程,由正弦定理,得大地四边形的极条件平差值方程

整理得
(3-4-13）
相应的改正数条件方程
（3—4—14）
(3—4-15)

4. 方位角条件方程

前面讨论的三种条件方程在三角网中比较常见.如果三角网中的起始数据有了变化，起算数据不相邻，或者已知数据有冗余，还会增加一些限制条件，产生其它类型的条件方程，如方位角条件方程、边长条件方程、坐标条件方程等。这些类型的条件方程常见于非自由三角网中。
如图3-13所示，为一个非自由三角网，有4个已知点、2个未知点和12个角度观测值。必要观测个数t = 2 × 2 = 4,多余观测数r = n – t = 12 — 4 = 8，即共有8个条件方程，其中图形条件方程有4个,没有极条件，也没有水平角条件，那么另4个是什么类型的呢?由于三角网中有4个已知点，每个已知点有2个坐标值，共计8个已知数据，超过了4个必要起算数据，从而产生4个冗余的已知数据。这4个多余的已知数据必然会导致4个矛盾，进而产生4个条件方程.
方位角条件,严格地说是方位角附合条件，是指从一个已知方位角出发，推算至另一个已知方位角后,所得推算值应与原已知值相等.
如从4个已知点可以反算出AB和EF两边的边长值和方位角值,这些值也可看作是已知值，作为起算数据用.
设AB边的方位角，EF边的已知方位角为。如果从AB向EF推算，推算路线如图中所示，设EF方位角的推算值的最或然值为,近似值为TEF。则方位角附合条件方程为
（3—4—16）
其中

代入（3-4—16)后，整理得

其相应的改正数条件方程
（3-4—17）
其中
（3-4-18)
5. 边长条件方程
边长条件,严格地说是边长附合条件，是指从一个已知边长出发,推算至另一个已知边长后,所得推算值应与原已知值相等。
图3—13三角网中，设AB边的已知长度为，EF边的已知长度为。如果沿图中所示的推算路线，从AB向EF推算,得EF边长推算值的最或然值为，近似值为SEF 。则边长附合条件方程为
（3—4—19)
其中

将上式代入（3—4—19)式，并将边长条件整理为
(3-4—20)

仿照极条件式，将上式左边用泰勒级数展开,取至一次项,整理后得其改正数条件方程：
（3—4—21)
（3-4-22）

6。 坐标条件方程
坐标条件方程，是指从一个已知点出发，推算至另一个已知点后，所得推算值应与该点的已知坐标值相等。
图3—13三角网中,设B点的已知坐标为（，)，E点的已知坐标为（，）.如果沿图中所示的路线，从B→C→E进行推算,得E点坐标推算值的最或然值为(,），近似值为（xE ，yE).则坐标条件方程为
（3—4-23)
(3—4-24)
而
（3—4—25）
其中
(3—4-26)
(3-4—27)
（3—4-28）
(3—4—29）

将上述(3-4-26） ~ （3—4—29)式代入(3—4-25)式，然后用泰勒级数展开，取至一次项，整理后得:
（3—4-30)

为不使闭合差项wx过大,影响平差结果的精度，在计算坐标条件方程时,可以考虑x、y以公里（km）为单位，而wx中的坐标差项以米（m）为单位。即
(3—4—31)
同理可写出横坐标改正数条件方程
（3-4—32）
其中
（3—4—33）

坐标附合条件方程,尤其是改正数条件方程,形式上虽然比较复杂,但也非常具有规律性。这一点，请同学们结合图3-13认真地分析，看能否总结出其概括形式。
以上八种条件方程及其改正数条件方程的类型和形式，基本上涵盖了测角型三角网条件方程的基本形式。需要说明的是,三角网布设形式极其多样，条件方程的形式也较为繁杂，但关键是要掌握其基本形式，并能融会贯通灵活运用。

三、例题
如图3—14是一个三角网,A、B、E、F是已知点，C、D是待定点，等精度观测了所有内角值，已知数据和观测数据如表3-4所示。试列出用条件平差法时的改正数条件方程。
表3-4
已知坐标(m）
已知方位角
已知边长（m)
B （183120.420 , 29502560.540）
E (181740.210 ， 29505455.940)
TAB = 32˚20′14。9″
TEF = 355˚53′42.6″
SAB = 2501.118
SEF = 2582.529
角度观测值
β1 = 46˚21′ 56.1″
β2 = 74˚59′ 41.4″
β3 = 58˚38′ 17.2″
β4 = 62˚21′ 42。4″
β5 = 67˚39′ 43.6″
β5 = 49˚58′ 38.9″
β1 = 58˚03′ 46。6″
β2 = 53˚15′ 16.1″
β3 = 68˚40′ 54。3″
β1 = 91˚43′ 54.0″
β2 = 47˚21′49。9″
β3 = 40˚54′ 08.1″

解：这是一个非自由测角三角网。
观测值总数 n = 12
必要观测数 t = 4
多余观测数 r = n – t = 8
即，有8个条件方程，而网中共有:4个图形条件、4个坐标附合条件、1个方位角条件和1个边长附条件可选。由于坐标条件较为复杂，为计算方便，选4个图形条件、1个方位角条件、1个边长条件和2个坐标条件.运算线路如图中所示。
因为角度的观测精度相同，取Q = P –1 = E
首先，根据观测值，利用余切公式计算有关近似坐标：
C （181440.319 ， 29503390。921）
D （183084.184 , 29504111.735)
E （181740。109 ， 29505456.041）
图形条件方程

方位角条件方程

边长条件方程

其改正数形式

纵横坐标条件方程

其中闭合差项为:
= 5。3
= - 4.9
= 2.5
= 8.0
= — 7。8
= - 23.270

= 20。833
= — 20。833
以上改正数条件方程写成矩阵形式
AV – W = 0
V = ［ v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7 v8 v9 v10 v11 v12 ］T
W=［w1 w2 w3 w4 w5 w6 w7 w8]T = ［ 5.3 —4。9 2.5 8.0 -7.8 —23.270 20。833 -20。833 ]T

计算改正数条件方程系数，并以矩阵形式表示为：

V=P –1ATK=［-1.6 4.9 2。0 —6。7 2。4 —0.6 —4.3 4。9 1。9 0.9 10.4 —3。3］T