杨辉三角教案.doc

(完整word)杨辉三角教案
研究性课题：杨辉三角
宜都一中 裴金玲
【教学目标】
1． 进一步探索杨辉三角的基本性质及数字排列规律，形成知识网络；
2． 培养学生发现问题、提出问题、解决问题的能力，培养创新精神和实践能力；
3． 了解我国古今数学的伟大成就，增强爱国情感．
【教学重难点】
培养学生发现问题、提出问题、解决问题的能力。
【教学方式】
计算机辅助教学，探究式
【教学过程】
引言: 为什么要研究杨辉三角？
（教师给学生介绍研究杨辉三角的意义）
１． 什么是杨辉三角？
（师生一起复习杨辉三角）
二项式（a+b）n展开式的二项式系数,当n依次取1，2，3．．．时,列出的一张表，叫做二项式系数表,因它形如三角形，南宋的杨辉对其有过深入研究,所以我们又称它为杨辉三角．（Ｐ。71图）
２． 介绍杨辉--古代数学家的杰出代表
(教师介绍杨辉的杰出事迹，使学生了解数学家杨辉及其成就， 增强民族自豪感。)
杨辉，杭州钱塘人。中国南宋末年数学家，数学教育家．著作甚多,他编著的数学书共五种二十一卷，著有《详解九章算法》十二卷(1261年）、《日用算法》二卷、《乘除通变本末》三卷、《田亩比类乘除算法》二卷、《续古摘奇算法》二卷．其中后三种合称《杨辉算法》，朝鲜、日本等国均有译本出版，流传世界.
　　“杨辉三角”出现在杨辉编著的《详解九章算法》一书中，此书还说明表内除“一"以外的每一个数都等于它肩上两个数的和．杨辉指出这个方法出于《释锁》算书，且我国北宋数学家贾宪（约公元11世纪）已经用过它,这表明我国发现这个表不晚于11世纪．
在欧洲，这个表被认为是法国数学家物理学家帕斯卡首先发现的（Blaise Pascal， 1623年～1662年)，他们把这个表叫做帕斯卡三角．这就是说，杨辉三角的发现要比欧洲早500年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的．

３． 写出杨辉三角的若干行
（让学生自己动手写出，为后面的探究做准备。）
（用Excel制作杨辉三角，用到第15行，学生自己写出杨辉三角到第15行）

4．杨辉三角基本性质
（和学生一起回顾杨辉三角蕴含的基本规律 ）
(1）表中每个数都是组合数，第n行的第r+1个数是．
(2）三角形的两条斜边上都是数字1，而其余的数都等于它肩上的两个数字相加，也就是．
(3）杨辉三角具有对称性(对称美),即．
⑷奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和=．
⑸若n为偶数,则中间项的二项式系数最大；若n为奇数，则中间项两项的二项式系数最大。
（6）杨辉三角的第n行是二项式（a+b）n展开式的二项式系数，即

课后思考：利用数学归纳法证明第六点性质。

下面，师生一起继续探究杨辉三角蕴含的数量关系（全班分成若干个小组进行探讨,老师巡回检查，稍后师生一起检查探究结果,教师要适时给予鼓励）。
5．杨辉三角有趣的数字排列规律
（培养学生观察力，注意观察方法：横看、竖看、斜看、连续看、隔行看，从多种角度观察）（横看成岭侧成峰，远近高低各不同！）
（1）　计算杨辉三角中各行数字的和,看有何规律：
　　第1行　　1＋1＝2
　　第2行　　1＋2＋1＝4＝22
　　第3行　　1＋3＋3＋1＝8＝23
　　第4行　　1＋4＋6＋4＋1＝16＝24
　　第5行　　1＋5＋10＋10＋5＋1＝32＝25
　　　　　　　．．．
　　第n行　　
分析：第n行数字的和为2 n．
前n行（含第0行)所有数的和为2 n –1，它恰好比第n行的和2 n小1．
（2）从杨辉三角中一个确定的数的“左（右）肩” 出发, 向右（左）上方作一条和左斜边平行的射线，在这条射线上的各数的和等于这个数．
（再引导学生“斜"向看）
例如:10＝1＋2＋3＋4,
　　　　 20＝1＋3＋6＋10，．．．

（ 引导学生得出一般性的结论）
　　　　　一般地，在第m条斜线上（从右上到左下)前n个数字的和，等于第m+1条斜线上的第n个数．
　根据这一性质，猜想下列数列的前n项和：
　　　　　1＋1＋1＋ ．．．＋1＝ （第1条斜线）
　　　　　1＋2＋3＋ ．．．＋＝ （第2条斜线）
　　　　　1＋3＋6＋ ．．．＋＝ (第3条斜线)
　　　　　1＋4＋10＋ ．．．＋＝ （第4条斜线)
　　　　　　　　．．．

　　　　　结论：　（第r+1条斜线）
（可用组合数性质简单证明）
(3）如图,写出斜线上各行数字的和,有什么规律?
　（继续换一角度“斜”向看)
1，1，2，3，5，8，13，21，34,．．．
　　　此数列｛an｝满足, a1=1,a2=1， 且an=an-1+an—2 (n≥3)
　　　这就是著名的斐波那契数列．
（以下介绍斐波那契“兔子繁殖问题”增强趣味性）
　　 中世纪意大利数学家斐波那契的传世之作《算术之法》中提出了一个饶有趣味的问题：假定一对刚出生的兔子一个月就能长成大兔子,再过一个月就开始生下一对小兔子，并且以后每个月都生一对小兔子．设所生一对兔子均为一雄一雌，且均无死亡．问一对刚出生的小兔一年内可以繁殖成多少对兔子？
兔子繁殖问题可以从杨辉三角得到答案：右侧从上而下的一列数1，1，2，3，5，8，13，…,正好是刚生的兔子，第一个月后的兔子．第二个月后的兔子,第三个月后的兔子，…n个月后的兔子的对数．“兔子繁殖问题”的答案就是第12行右下侧的数（第13个），即233．
（4）杨辉三角的第1，3，7，15,．．．行,即第2K-1（k是正整数）行的各个数字有什么特点？
结论：观察可知,它们均为奇数．第2K行除两端的1之外都是偶数。
（5）杨辉三角第5行中，除去两端的数字1以外，行数5整除其余所有的数．你能再找出具有类似性质的三行吗？这时的行数Ｐ是什么数？（继续“横”看）
结论：如2，3,7,11等行．行数Ｐ是质数.

6．杨辉三角的运用——“纵横路线图"

“纵横路线图”是数学中的一类有趣的问题．图1是某城市的部分街道图，纵横各有五条路，如果从A处走到B处 （只能由北到南，由西向东），那么有多少种不同的走法？
我们把图顺时针转45度,使A在正上方，
B在正下方,然后在交叉点标上相应的杨辉三角 数．有趣的是,B处所对应的数70，正好是答案（70）．
一般地, 每个交点上的杨辉三角数，就是A到达该点的方法数．由此看来，杨辉三角与纵横路线图问题有天然的联系．

7．教学小结：
⑴通过介绍古代数学家杨辉及数学成就，增强爱国情感；
⑵系统探究杨辉三角蕴含的数字排列规律，培养观察、探究及创新能力;
⑶展示部分探究成果，相互交流学习．
8．作业
(1） 用数学归纳法证明杨辉三角的第n行就是的二项式系数。
（2)你还能找出杨辉三角中有哪些数字规律?
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