蒙日圆定理(解析几何证法).doc

(完整word)蒙日圆定理(解析几何证法)Error! Bookmark not defined.蒙日圆定理(纯解析几何证法）蒙日圆定理的内容：椭圆的两条切线互相垂直，则两切线的交点位于一个与椭圆同心的圆上，称为蒙日圆，该圆的半径等于椭圆长半轴和短半轴平方和的算术平方根。如图，设椭圆的方程是。两切线PM和PN互相垂直，交于点P。求证：点P在圆上。证明:若两条切线中有一条平行于x轴时，则另一条必定平行于y轴，显然前者通过短轴端点,而后者通过长轴端点，其交点P的坐标只能是：Error! Bookmark not defined.(Error! Bookmark not defined.)它必定在圆上。现考察一般情况，两条切线均不和坐标轴平行。可设两条切线方程如下：（Error! Bookmark not defined.) MERGEFORMAT Error! Bookmark not defined.（Error! Bookmark not defined.)联立两切线方程和可求出交点P的坐标为：Error! Bookmark not defined.(Error! Bookmark not defined.)从而P点距离椭圆中心O的距离的平方为： MERGEFORMAT (Error! Bookmark not defined.)现将PM的方程代入椭圆方程,消去y，化简整理得：(Error! Bookmark not defined.）由于PM是椭圆的切线,故以上关于x的一元二次方程，其判别式应等于0，化简后可得： MERGEFORMAT Error! Bookmark not defined.(Error! Bookmark not defined.）对于切线PN，代入椭圆方程后，消去y，令判别式等于0，同理可得：(Error! Bookmark not defined.）为方便起见，令：（Error! Bookmark not defined.）这样和就分别化为了关于M和N的一元一次方程,不难解出： MERGEFORMAT Error! Bookmark not defined.(5)Error! Bookmark not defined.(Error! Bookmark not defined.）将和代入，就得到：Error! Bookmark not defined.（Error! Bookmark not defined.）证毕.