必修四两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)(附答案).doc

(完整word)必修四两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)(附答案)
　两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)
[学习目标]　1.能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式.2。能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明.3。熟悉两角和与差正切公式的常见变形，并能灵活应用．

知识点一　两角和与差的正切公式
（1)T（α＋β）：tan(α＋β）＝.
（2）T（α－β)：tan(α－β)＝.
思考1　你能根据同角三角函数基本关系式tan α＝，从两角和与差的正弦、余弦公式出发,推导出用任意角α，β的正切值表示tan（α＋β），tan(α－β)的公式吗？
答案　当cos（α＋β)≠0时，tan（α＋β）＝
＝.
当cos αcos β≠0时,分子分母同除以cos αcos β,得
tan(α＋β)＝。
根据α，β的任意性，在上面式子中，以－β代替β得
tan(α－β）＝＝。
思考2　在两角和与差的正切公式中,α，β，α±β的取值是任意的吗？
答案　在公式T(α＋β）,T(α－β）中α，β,α±β都不能等于kπ＋（k∈Z)．
知识点二　两角和与差的正切公式的变形
（1)T(α＋β）的变形:
tan α＋tan β＝tan（α＋β）(1－tan αtan β)．
tan α＋tan β＋tan αtan βtan（α＋β）＝tan（α＋β)．
tan αtan β＝1－。
（2）T（α－β）的变形:
tan α－tan β＝tan(α－β)（1＋tan αtan β）．
tan α－tan β－tan αtan βtan（α－β)＝tan(α－β）．
tan αtan β＝－1.
这些变式在解决某些问题时是十分方便的．请利用两角和与差的正切公式或变形公式完成以下练习．
思考1　直接写出下列式子的结果:
（1）＝ ；
(2）tan 75°＝ ；
（3)＝ 。
答案　（1)1　（2)2＋　(3)
思考2　求值：tan 20°＋tan 40°＋tan 20°tan 40°。
解　方法一　∵tan 20°＋tan 40°
＝tan 60°（1－tan 20°tan 40°）,
∴原式＝tan 60°(1－tan 20°tan 40°)＋tan 20°tan 40°
＝－tan 20°tan 40°＋tan 20°tan 40°
＝。
方法二　∵tan 20°tan 40°＝1－
＝1－（tan 20°＋tan 40°），
∴原式＝tan 20°＋tan 40°＋－(tan 20°＋tan 40°）＝。

题型一　化简求值
例1　求下列各式的值．
（1);
(2)tan 15°＋tan 30°＋tan 15°tan 30°.
解　（1）原式＝＝tan(60°＋15°)
＝tan 75°＝tan(30°＋45°）＝
＝＝2＋；
(2)∵tan 45°＝＝1，
∴tan 15°＋tan 30°＝1－tan 15°tan 30°
∴原式＝(1－tan 15°tan 30°)＋tan 15°tan 30°＝1。

跟踪训练1　求下列各式的值．
(1）；
(2）tan 36°＋tan 84°－tan 36°tan 84°。
解　（1)原式＝＝
＝tan（45°－75°)＝tan（－30°）＝－tan 30°＝－。
（2）原式＝tan 120°(1－tan 36°tan 84°）－tan 36°tan 84°
＝tan 120°－tan 120°tan 36°tan 84°－tan 36°tan 84°
＝tan 120°＝－。

题型二　给值求值(角)
例2　若α，β均为钝角,且(1－tan α)（1－tan β)＝2，求α＋β.
解　∵（1－tan α）(1－tan β)＝2，
∴1－（tan α＋tan β)＋tan αtan β＝2，
∴tan α＋tan β＝tan αtan β－1，
∴＝－1。∴tan（α＋β）＝－1.
∵α，β∈，∴α＋β∈（π，2π）．
∴α＋β＝。
跟踪训练2　已知sin α＝，α为第二象限的角，且tan（α＋β）＝－，则tan β的值为（　　）
A．－ B. C．－ D.
答案　C
解析　∵α为第二象限角，
∴cos α〈0，cos α＝－，
∴tan α＝－.
tan β＝tan［（α＋β）－α]＝
＝＝－.

题型三　三角形中的问题
例3　已知△ABC中,tan B＋tan C＋tan Btan C＝，且tan A＋tan B＝tan Atan B－1，试判断△ABC的形状．
解　∵tan A＋tan B＝tan Atan B－1，
∴(tan A＋tan B）＝tan Atan B－1,
∴＝－，
∴tan(A＋B）＝－.
又∵0〈A＋B<π，∴A＋B＝，∴C＝,
∵tan B＋tan C＋tan Btan C＝，tan C＝，
∴tan B＋＋tan B＝,tan B＝，
∴B＝，∴A＝，
∴△ABC为等腰钝角三角形．

跟踪训练3　已知A、B、C为锐角三角形ABC的内角．求证:tan A＋tan B＋tan C＝tan Atan Btan C。
证明　∵A＋B＋C＝π,∴A＋B＝π－C.
∴tan(A＋B)＝＝－tan C.
∴tan A＋tan B＝－tan C＋tan Atan Btan C.
即tan A＋tan B＋tan C＝tan Atan Btan C。

忽视条件中隐含的角的范围而致错

例4　已知tan2α＋6tan α＋7＝0，tan2β＋6tan β＋7＝0，α、β∈(0，π)，且α≠β，求α＋β的值．
错解　由题意知tan α、tan β是方程x2＋6x＋7＝0的两根，由根与系数的关系得：

∴tan(α＋β)＝＝＝1.
∵0<α<π，0<β〈π，∴0<α＋β〈2π，
∴α＋β＝或α＋β＝π.
错因分析　由①②知tan α<0，tan β〈0。角α、β都是钝角．上述解法忽视了这一隐含条件．
正解　由易知
tan α〈0，tan β<0。∵α、β∈(0,π)，
∴〈α<π，<β〈π.∴π<α＋β<2π.
又∵tan（α＋β)＝1,∴α＋β＝π。

1．若tan α＝3，tan β＝，则tan（α－β）等于（　　)
A. B．－ C．3 D．－3
2．已知A＋B＝45°，则(1＋tan A)（1＋tan B）的值为(　　)
A．1 B．2 C．－2 D．不确定
3．已知A，B都是锐角，且tan A＝，sin B＝，则A＋B＝ .
4．已知tan＝，tan＝－,则tan＝ 。

5．已知tan（＋α）＝，tan(β－)＝2，求：
(1）tan(α＋β－)；
(2）tan（α＋β)．

一、选择题
1．已知α∈,sin α＝,则tan的值等于（　　)
A. B．7 C．－ D．－7
2．若sin α＝，tan（α＋β）＝1，且α是第二象限角，则tan β的值是（　　)
A。 B．－ C．－7 D．－
3．已知tan α＝,tan β＝，0<α<,π〈β<，则α＋β的值是(　　)
A。 B。 C。 D。
4．A，B，C是△ABC的三个内角，且tan A，tan B是方程3x2－5x＋1＝0的两个实数根，则△ABC是(　　）
A．钝角三角形 B．锐角三角形
C．直角三角形 D．无法确定
5．若tan 28°tan 32°＝a，则tan 28°＋tan 32°等于（　　)
A。a B.(1－a）
C。（a－1） D。(a＋1）
6．化简tan 10°tan 20°＋tan 20°tan 60°＋tan 60°tan 10°的值等于(　　）
A．1 B．2
C．tan 10° D。tan 20°
二、填空题
7。＝ .
8．如果tan α,tan β是方程x2－3x－3＝0两根，则＝ 。
9．已知tan＝2,则的值为 ．
10．已知α、β均为锐角,且tan β＝，则tan(α＋β)＝ .
三、解答题
11．求下列各式的值．
（1); （2）（1－tan 59°）(1－tan 76°)．

12．已知tan α，tan β是方程x2－3x－3＝0的两根,试求sin2（α＋β)－3sin(α＋β）cos(α＋β）－3cos2(α＋β)的值．

13．如图，在平面直角坐标系xOy中,以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为，。
(1）求tan(α＋β）的值；（2)求α＋2β的值．

当堂检测答案
1．答案　A
解析　tan（α－β）＝＝＝。
2．答案　B
解析　（1＋tan A）（1＋tan B）
＝1＋(tan A＋tan B)＋tan Atan B
＝1＋tan（A＋B）（1－tan Atan B)＋tan Atan B
＝1＋1－tan Atan B＋tan Atan B＝2。
3．答案　
解析　∵B为锐角，sin B＝,∴cos B＝，∴tan B＝，
∴tan(A＋B)＝＝＝1.
∵0<A＋B〈π,∴A＋B＝.
4．答案　
解析　tan＝tan
＝
＝＝。
5．解　（1）∵（＋α）＋（β－)＝α＋β－，
∴tan(α＋β－）＝tan［(＋α）＋（β－)]
＝
＝＝＝－.
(2)∵α＋β＝(α＋β－）＋，
∴tan(α＋β）＝
＝＝－(－1)2＝2－3。

课时精练答案
一、选择题
1．答案　A
2．答案　C
3．答案　C
4．答案　A
解析　∵tan A＋tan B＝，tan A·tan B＝，
∴tan(A＋B)＝,∴tan C＝－tan（A＋B）＝－，
∴C为钝角．
5．答案　B
解析　∵tan(28°＋32°）＝＝，
∴tan 28°＋tan 32°＝（1－a)．
6．答案　A
解析　原式＝tan 10°tan 20°＋tan 20°＋ tan 10°
＝（tan 10°＋tan 20°＋tan 10°tan 20°)＝×＝1.
二、填空题
7.答案　－
解析　原式＝tan(45°＋75°）＝tan 120°＝－.
8．答案　－
解析　＝
＝＝＝－.
9．答案　
解析　∵tan＝2，∴＝2，解得tan α＝。
∴＝
＝＝＝。
10．答案　1
解析　∵tan β＝＝.
∴tan β＋tan αtan β＝1－tan α.
∴tan α＋tan β＋tan αtan β＝1.
∴tan α＋tan β＝1－tan αtan β。
∴＝1，∴tan(α＋β）＝1。
三、解答题
11．解　(1）原式＝
＝＝tan 15°＝tan(45°－30°)
＝＝＝2－.
(2）原式＝1－tan 59°－tan 76°＋tan 59°tan 76°
＝1－（tan 59°＋tan 76°）＋tan 59°tan 76°
＝1－tan 135°(1－tan 59°tan 76°)＋tan 59°tan 76°
＝1＋1－tan 59°tan 76°＋tan 59°tan 76°＝2.

12．解　由已知有
∴tan(α＋β）＝＝＝。
∴sin2(α＋β）－3sin（α＋β）cos(α＋β)－3cos2（α＋β）
＝
＝
＝＝－3.
13．解　由条件得cos α＝，cos β＝。
∵α，β为锐角，∴sin α＝＝，
sin β＝＝。
因此tan α＝＝7，tan β＝＝。
（1）tan（α＋β)＝＝＝－3.
（2)∵tan 2β＝tan（β＋β)＝＝＝，
∴tan(α＋2β）＝＝＝－1。
∵α，β为锐角,∴0<α＋2β〈,∴α＋2β＝.