教案函数与方程.doc

函数与方程

考纲要求
1.结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数．
2.根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解.
考情分析
1.函数的零点、方程根的个数是历年高考的重要考点．
2.利用函数的图形及性质判断函数的零点，及利用它们求参数取值范围问题是重点，也是难点．
3.题型以选择题和填空题为主，常与函数的图象与性质交汇命题.
教学过程

基础梳理
1.函数的零点
(1)定义
对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使 成立的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．
(2)函数的零点与相应方程的根、函数的图象与x轴交点间的关系
方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与 有交点⇔函数y＝f(x)有 ．
2．函数零点的判定(零点存在性定理)
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 ，那么函数y＝f(x)在区间 内有零点，即存在c∈(a，b)，使得 ，这个 也就是f(x)＝0的根．

对函数零点存在性定理的理解
(1)并不是所有的函数都有零点，如函数y＝.
(2)函数y＝f(x)如果满足：
①函数在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，
②f(a)·f(b)<0，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点．
(3)对于有些函数，即使它的图象是连续不断的，当它通过零点时，函数值也不一定变号．如函数y＝x2有零点x0＝0，但显然函数值没有变号．但是，对于任意一个函数，相邻的两个零点之间所有的函数值保持同号．
(4)函数在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，且在区间(a，b)上单调，若f(a)·f(b)<0，则函数y＝f(x)在(a，b)内有且只有一个零点．
但要注意：如果函数y＝f(x)在[a，b]上的图象是连续不断的曲线，且x0是函数在这个区间上的一个零点，却不一定有f(a)·f(b)<0.

3．二分法 对于在区间上连续不断，且__________________的函数，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两端点逐步逼近零点，近而得到零点的近似值的方法叫做二分法。
口诀：定区间，找中点，中值计算两边看．同号去，异号算，零点落在异号间．周而复始怎么办？精确度上来判断．

4．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)零点的分布规律

>0
＝0
<0
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象

与x轴
的交点

(x1,0)，(x2,0)

无交点
零点个数
两个
一个
零个

双基自测
1. 函数y＝x3－x的零点是________．
1．方程的实数解的个数为 .
2．若函数没有零点，则实数的取值范围是
3．对于函数，若，则函数在区间内：①一定有零点； ②一定没有零点； ③可能有两个零点； ④至多有一个零点.其中正确的序号是___________。
4．下列数值是函数在区间上的一些点的函数值：

1

由此可判断：方程的一个近似解为 （精确到
5．下列图中图象对应的函数可用二分法确定出零点的是(　　)

典例分析
考点一、函数的零点的求解

【例1】求下列函数的零点:
(1)f(x)=4x-3;
(2)f(x)=-x2-2x+3;
(3)f(x)=x4-1.

：
考点二、判断零点的个数
【例2】(2010·福建)函数f(x)＝的零点个数为(　　)．
A．3 B．2 C．7 D．0

变式1．函数f(x)＝2x＋2x－6的零点个数为 (　　)

A．0 B．1 C．2 D．3

小结：
考点三、判断零点所在区间
【例3】根据表格中的数据，可以判定方程ex－x－2＝0的一个根所在的区间是________.

x
－1
0
1
2
3
ex
0.37
1
2.72
7.39
20.09
x＋2
1
2
3
4
5

变2(2011·新课标全国卷)在下列区间中，函数f(x)＝ex＋4x－3的零点所在的区间为 (　　)
A. B.
C. D.

小结：
考点四、用二分法求方程的近似解
【例4】求方程x2＝2x＋1的一个近似解(精确度0.1)．
解　设f(x)＝x2－2x－1.
∵f(2)＝－1<0，f(3)＝2>0，
∴在区间(2,3)内，方程x2－2x－1＝0有一解，记为x0.
取2与3的平均数2.5，∵f(2.5)＝0.25>0，
∴2<x0<2.5；
再取2与2.5的平均数2.25，
∵f(2.25)＝－0.437 5<0，∴2.25<x0<2.5；
再取2.25与2.5的平均数为2.375，
f(2.375)＝－0.109 4<0，
∴2.375<x0<2.5，再取2.375与2.5的平均数为2.437 5，
f(2.437 5)＝0.066 4>0.
∵|2.375－2.437 5|＝0.062 5<0.1，
∴方程x2＝2x＋1的一个精确度为0.1的近似解可取为2.437 5.
反思：　对于求形如f(x)＝g(x)的方程的近似解，可以通过移项转化成求形如F(x)＝f(x)－g(x)＝0的方程的近似解，然后按照二分法求函数零点近似值的步骤求之．

归纳总结：
函数零点个数的判断方法：
(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；
(2)零点存在性定理：利用定理不仅要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；
(3)利用图象交点的个数：画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
[考题范例]
(2011·北京高考)已知函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是________．
[巧妙运用]
当x<2时，f′(x)＝3(x－1)2≥0，说明函数在(－∞，2)上单调递增，函数的值域是(－∞，1)，又函数在[2，＋∞)上单调递减，函数的值域是(0,1]．方程f(x)＝k有两个不同的实根，转化为函数y＝f(x)和y＝k有两个不同的交点，如图所示，当0<k<1时直线y＝k与函数f(x)图象有两个交点，即方程f(x)＝k有两个不同的实根．
答案：(0,1)

本节检测

1．若函数f(x)＝ax＋b有一个零点是2，那么函数g(x)＝bx2－ax的零点是(　　)
A．0,2 B．0， C．0，－ D．2，－

2．函数y＝f(x)在区间(－2,2)上的图象是连续的，且方程f(x)＝0在(－2,2)上仅有一个实根0，则f(－1)·f(1)的值(　　)
A．大于0 B．小于0 C．等于0 D．无法确定
3．函数f(x)＝ln(x＋1)－的零点所在的大致区间是(　　)
A．(0,1) B．(1,2) C．(2，e) D．(3,4)

4．已知函数f(x)＝4x＋m·2x＋1有且只有一个零点，则实数m的值为________．

5．函数f(x)＝(m－1)x2＋2(m＋1)x－1的图象与x轴只有一个交点，则实数m的取值的集合是________．
6. (2011·陕西)函数f(x)＝－cos x在[0，＋∞)内(　　)．
A．没有零点 B．有且仅有一个零点
C．有且仅有两个零点 D．有无穷多个零点

自我反思
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