第四章解线性方程组的迭代法.doc

第四章 解线性方程组的迭代法

4.1 迭代法和敛散性及其MATLAB程序

4。1。2 迭代法敛散性的判别及其MATLAB程序
用谱半径判别迭代法产生的迭代序列的敛散性的MATLAB主程序
function H=ddpbj（B)
H=eig(B）；mH=norm(H，inf);
if mH〉=1
disp(’请注意：因为谱半径不小于1，所以迭代序列发散，谱半径mH和B的所有的特征值H如下：’）
else
disp（'请注意：因为谱半径小于1，所以迭代序列收敛，谱半径mH和B的所有的特征值H如下：')
end
mH

4.2 雅可比(Jacobi)迭代及其MATLAB程序

4.2.2 雅可比迭代的收敛性及其MATLAB程序
判别雅可比迭代收敛性的MATLAB主程序
function a=jspb（A)
［n m］=size（A)；
for j=1:m
a（j)=sum(abs（A(：，j))）—2＊（abs（A（j,j）))；
end
for i=1：n
if a（i)>=0
disp（'请注意：系数矩阵A不是严格对角占优的，此雅可比迭代不一定收敛’）
return
end
end
if a（i)〈0
disp(’请注意：系数矩阵A是严格对角占优的,此方程组有唯一解，且雅可比迭代收敛 ')
end

例4。2.2 用判别雅可比迭代收敛性的MATLAB主程序，判别由下列方程组的雅可比迭代产生的序列是否收敛？
(1) （2)
解 （1）首先保存名为jspb。m的M文件，然后在MATLAB工作窗口输入程序
〉> A=［10 —1 —2；—1 10 —2;-1 -1 5］;a=jspb（A）
运行后输出结果
请注意：系数矩阵A是严格对角占优的,此方程组有唯一解，且雅可比迭代收敛
a =
-8 -8 -1
（2）在MATLAB工作窗口输入程序
>〉 A=[10 -1 -2;-1 10 —2；-1 -1 0。5］;a=jspb(A）
运行后输出结果
请注意:系数矩阵A不是严格对角占优的，此雅可比迭代不一定收敛
a =
-8.0000e+000 —8.0000e+000 3.5000e+000

4.2.3 雅可比迭代的两种MATLAB程序

（一） 雅可比迭代公式的MATLAB程序
用雅可比迭代解线性方程组的MATLAB主程序
function X=jacdd（A,b,X0，P，wucha,max1）
[n m]=size(A）；
for j=1：m
a（j)=sum(abs(A（:，j）））—2＊(abs（A(j,j））)；
end
for i=1:n
if a（i)〉=0
disp('请注意：系数矩阵A不是严格对角占优的，此雅可比迭代不一定收敛’)
return
end
end
if a（i）〈0
disp(’请注意:系数矩阵A是严格对角占优的,此方程组有唯一解，且雅可比迭代收敛 ’）
end
for k=1：max1
k
for j=1:m
X(j)=（b(j）—A（j，[1：j-1，j+1：m］)*X0([1： j-1,j+1：m］）)/A（j,j）；
end
X,djwcX=norm（X’—X0，P)； xdwcX=djwcX/（norm（X'，P）+eps); X0=X’；X1=A\b;
if (djwcX<wucha)&(xdwcX<wucha）
disp(’请注意:雅可比迭代收敛,此方程组的精确解jX和近似解X如下：’)
return
end
end
if (djwcX〉wucha)&（xdwcX>wucha)
disp(’请注意：雅可比迭代次数已经超过最大迭代次数max1 ’)
end
a,X=X；jX=X1’,

例4.2.3 用范数和判别雅可比迭代的MATLAB主程序解例4。2.2 中的方程组，解的精度为0。001，分别取最大迭代次数max1=100，5，初始向量X0=（0 0 0）T，并比较它们的收敛速度。
解 （1)取最大迭代次数max1=100时。
①首先保存名为jacdd.m的M文件，然后在MATLAB工作窗口输入程序
>〉 A=［10 —1 —2;—1 10 -2;-1 -1 5］； b=[7。2；8。3;4。2]；
X0=[0 0 0］’； X=jacdd（A，b,X0,inf，0.001，100)
运行后输出结果
请注意：系数矩阵A是严格对角占优的,此方程组有唯一解,且雅可比迭代收敛
请注意：雅可比迭代收敛，此方程组的精确解jX和近似解X如下:
a =
—8 -8 —1
jX =
1。1000 1。2000 1.3000
X =
1。0994 1.1994 1.2993
②在MATLAB工作窗口输入程序
>〉 A=[10 -1 —2;—1 10 —2；—1 -1 0。5］; b=[7。2;8。3；4.2]; X0=[0 0 0]';
X=jacdd（A,b,X0，inf, 0.001，100)
运行后输出结果
请注意:系数矩阵A不是严格对角占优的，此雅可比迭代不一定收敛
请注意：雅可比迭代收敛,此方程组的精确解jX和近似解X如下：
a =
—8.0000 -8.0000 3。5000
jX =
24.5000 24。6000 106.6000
X =
24.0738 24.1738 104。7974
（2）取最大迭代次数max1=5时,
①在MATLAB工作窗口输入程序
〉> A=[10 -1 —2;-1 10 —2;—1 -1 5］;
b=[7。2；8.3；4.2]; X0=[0 0 0］'； X=jacdd(A，b，X0，inf，0.001，5)
运行后输出结果
请注意：系数矩阵A是严格对角占优的,此方程组有唯一解，雅可比迭代收敛
请注意:雅可比迭代次数已经超过最大迭代次数max1
a =
—8 —8 —1
jX =
1.1000 1.2000 1.3000
X =
1.0951 1.1951 1。2941
②在MATLAB工作窗口输入程序
〉〉 A=［10 -1 -2;-1 10 -2；—1 -1 0。5］； b=[7.2；8。3;4.2]；
X0=[0 0 0]'； X=jacdd(A,b,X0,inf， 0。001，5）
运行后输出结果
请注意:系数矩阵A不是严格对角占优的,此雅可比迭代不一定收敛
请注意：雅可比迭代次数已经超过最大迭代次数max1
a =
—8.0000 -8。0000 3。5000
jX =
24.5000 24。6000 106.6000
X =
5。5490 5.6490 27.6553
由（1）和（2）可见,如果系数矩阵是严格对角占优的,则雅可比迭代收敛的速度快；如果系数矩阵不是严格对角占优的，则雅可比迭代收敛的速度慢.因此， 的值越小，雅可比迭代收敛的速度越快。

（二）利用雅可比迭代定义编写的解线性方程组的MATLAB程序
利用雅可比迭代定义编写解线性方程组（4.5)的MATLAB程序的一般步骤
步骤1 在MATLAB工作窗口输入程序
〉> A=[a11 a12 …a1n; a21 a22 …a2n;…； an1 an2 …ann；]；
D=diag（A）， U=triu（A，1）, L=tril（A,—1）
运行后即可输出；
步骤2 在MATLAB工作窗口输入程序
〉〉dD=det（D);
if dD==0
disp（'请注意：因为对角矩阵D奇异,所以此方程组无解.’)
else
disp（'请注意：因为对角矩阵D非奇异，所以此方程组有解。')
iD=inv（D）; B1=iD*(L+U);f1=iD＊b;
for k=1：max1
X= B1＊X0+ f1； X0=X； djwcX=norm(X—X0，P）;
xdwcX=djwcX/(norm(X,P)+eps）; X1=A\b；
if (djwcX〈wucha)＆(xdwcX〈wucha）
disp('请注意:雅可比迭代收敛，此方程组的精确解jX和近似解X如下： ’）
return
end
end
if (djwcX>wucha）｜（xdwcX〉wucha)
disp（’请注意:雅可比迭代次数已经超过最大迭代次数max1 '）
end
end
a，X=X；jX=X1’，

4。3 高斯—塞德尔（Gauss-Seidel）迭代及其MATLAB程序

4.3。3 高斯—塞德尔迭代两种MATLAB程序

（一） 高斯-塞德尔迭代定义的MATLAB程序1
用高斯-塞德尔迭代定义解线性方程组的MATLAB主程序1
function X=gsdddy(A,b，X0，P，wucha，max1）
D=diag(diag(A));U=-triu（A，1)；L=—tril(A，-1）; dD=det（D）；
if dD==0
disp(’请注意:因为对角矩阵D奇异，所以此方程组无解。’)
else
disp('请注意：因为对角矩阵D非奇异，所以此方程组有解。'）
iD=inv（D—L)； B2=iD*U；f2=iD*b；jX=A\b； X=X0；
［n m]=size(A）；
for k=1：max1
X1= B2*X+f2； djwcX=norm（X1—X,P);
xdwcX=djwcX/(norm(X,P）+eps);
if （djwcX<wucha)|（xdwcX<wucha）
return
else
k,X1’，k=k+1；X=X1；
end
end
if (djwcX〈wucha)|（xdwcX〈wucha）
disp(’请注意：高斯-塞德尔迭代收敛,此A的分解矩阵D，U，L和方程组的精确解jX和近似解X如下: ')
else
disp（'请注意：高斯—塞德尔迭代的结果没有达到给定的精度,并且迭代次数已经超过最大迭代次数max1,方程组的精确解jX和迭代向量X如下： ’)
X=X’;jX=jX’
end
end
X=X’;D，U，L，jX=jX’

例4.3.3 用高斯-塞德尔迭代定义的MATLAB主程序解下列线性方程组,取初始值，要求当时，迭代终止.
(1)（2）
解 （1）首先保存名为gsdddy。m的M文件,然后在MATLAB工作窗口输入程序
〉〉 A=［10 -1 —2；—1 10 -2;-1 -1 0。5］; b=[7。2;8。3;4。2］；
X0=[0 0 0]';
X=gsdddy(A,b,X0,inf， 0.001,100）
运行后输出结果
请注意：因为对角矩阵D非奇异，所以此方程组有解.
D =
10.0000 0 0
0 10.0000 0
0 0 0.5000
U =
0 1 2
0 0 2
0 0 0
L =
0 0 0
1 0 0
1 1 0
jX =
24.5000 24.6000 106.6000
X =
24.4996 24.5996 106.5984
请注意：高斯—塞德尔迭代收敛，此A的分解矩阵D，U,L和方程组的精确解jX和近似解X如下：
此近似解与例4。2。3中的(1）中②的解=（24。073 8， 24.173 8， 104。797 4）T比较,在相同的条件下， 高斯—塞德尔迭代比雅可比迭代得到的近似解的精度更高.
（2）在MATLAB工作窗口输入程序
〉> A=［3 4 —5 7；2 -8 3 -2;4 51 -13 16；7 —2 21 3］;b=［5；2；-1;21]；
X0=［0 0 0 0］'；X=gsdddy(A，b,X0，inf，0.001，100）
运行后输出结果
请注意：因为对角矩阵D非奇异,所以此方程组有解。
请注意：高斯—塞德尔迭代的记过没有达到给定的精度，并且迭代次数已经超过最大迭代次数max1,方程组的精确解jX和迭代向量X如下：
jX =
0。1821 -0.2571 0。7286 1.3036
X = 1.0e+142 ＊
0。2883 0.1062 0.3622 —3.1374

(二） 高斯—塞德尔迭代公式的MATLAB程序2
用高斯-塞德尔迭代解线性方程组的MATLAB主程序2
function X=gsdd(A，b,X0,P，wucha,max1）
[n m]=size(A）;
for j=1：m
a(j）=sum（abs（A（:，j))）—2*（abs（A(j，j）)）;
end
for i=1：n
if a（i）>=0
disp（’请注意:系数矩阵A不是严格对角占优的,此高斯—塞德尔迭代不一定收敛’)
return
end
end
if a(i）〈0
disp（’请注意：系数矩阵A是严格对角占优的,此方程组有唯一解，且高斯-塞德尔迭代收敛 ’）
end
for k=1：max1
for j=1:m
if j==1
X（1）=(b（1）—A（1，2：m)＊X0(2：m)）/A(1，1）
end
if j==m
X（m)=（b(m）-A（m,1:M1)＊X（1:M1)'）/A（m,m);
end
for j=2：M1
X(j）=（b(j)—A（j,1:j-1)＊X（1:j-1） -A（j,j+1：m)＊X（j+1：m)）/A(j,j）;
end
end
djwcX=norm(X’-X0，P);
xdwcX=djwcX/(norm(X',P)+eps)； X0=X'；X1=A\b;
if (djwcX<wucha）｜（xdwcX〈wucha）
disp（'请注意：高斯-塞德尔迭代收敛,此方程组的精确解jX和近似解X如下： ’)
return
end
end
if (djwcX>wucha）&（xdwcX>wucha）
disp('请注意：高斯—塞德尔迭代次数已经超过最大迭代次数max1 ’）
end
a,X=X；jX=X1'，

4。4 解方程组的超松弛迭代法及其MATLAB程序

4。4。2 超松弛迭代法收敛性及其MATLAB程序
用谱半径判别超松弛迭代法产生的迭代序列的敛散性的MATLAB主程序
function H=ddpbj（A，om）
D=diag（diag(A)）;U=—triu（A,1）;
L=—tril（A，-1）; iD=inv（D—om＊L）；
B2=iD＊(om*U+（1—om)*D）;
H=eig(B2);mH=norm（H,inf）；
if mH〉=1
disp(’请注意：因为谱半径不小于1，所以超松弛迭代序列发散,谱半径mH和B的所有的特征值H如下：'）
else
disp（'请注意:因为谱半径小于1，所以超松弛迭代序列收敛，谱半径mH和B的所有的特征值H如下:')
end
mH

例4.4。1 当取=1.15，5时,判别用超松弛迭代法解下列方程组产生的迭代序列是否收敛？

解 （1）当取=1。15时，首先保存名为ddpbj。m的M文件，然后在MATLAB工作窗口输入程序
>〉 A=［5 1 —1 -2；2 8 1 3；1 -2 -4 -1；—1 3 2 7］； H=ddpbj(A，1。15)
运行后输出结果
请注意：因为谱半径小于1，所以超松弛迭代序列收敛,谱半径mH和B的所有的特征值H如下：
mH =
0.1596
H =
0。1049 + 0.1203i 0.1049 — 0。1203i -0。1295 + 0。0556i -0。1295 - 0.0556i
（2)当取=5时，然后在MATLAB工作窗口输入程序
>> H=ddpbj(A, 5）
运行后输出结果
请注意：因为谱半径不小于1，所以超松弛迭代序列发散,谱半径mH和B的所有的特征值H如下：
mH =
14。1082
H =
-14.1082 —2。5107 0.5996 + 2.6206i 0.5996 — 2。6206i

4.4.3 超松弛迭代法的MATLAB程序
用超松弛迭代法解线性方程组的MATLAB主程序
function X=cscdd (A，b，X，om，wucha，max1)
D=diag（diag（A））;U=—triu（A,1);
L=-tril（A,—1); jX=A\b；[n m］=size(A）;
iD=inv（D-om＊L）; B2=iD*(om*U+(1-om)*D);
H=eig(B2）;mH=norm（H，inf）；
for k=1:max1
iD=inv（D-om*L）; B2=iD＊（om*U+(1-om）*D）;
f2= om*iD*b； X1= B2*X+f2;
X=X1； djwcX=norm(X1-jX,inf)； xdwcX=djwcX/(norm(X，inf)+eps)；
if (djwcX<wucha)|(xdwcX〈wucha)
disp（'谱半径mH，A的分解矩阵D,U，L和方程组的精确解jX，迭代次数i如下: ’)
mH,D，U，L,jX=jX'， i=k-1，
return
if i> max1
disp(’迭代次数已经超过最大迭代次数max1，谱半径mH,方程组的精确解jX，迭代次数i如下： ')
mH,D，U，L,jX=jX’, i=k-1,
end
end
end
if mH>=1
disp（'请注意：因为谱半径不小于1，所以超松弛迭代序列发散.'）
disp（’谱半径mH,A的分解矩阵D,U,L和方程组的精确解jX,迭代次数i和迭代序列X如下：’)
i=k—1，mH,D，U,L，jX,
else
disp(’因为谱半径小于1,所以超松弛迭代序列收敛，近似解X如下： ')
end
或
function X=cscdd1 (A,b,X,om，wucha，max1)
D=diag（diag(A）)；U=—triu(A，1）;L=-tril（A，-1）； jX=A\b;［n m］=size(A)；
iD=inv(D—om*L）; B2=iD＊（om*U+（1-om）＊D);
H=eig(B2);mH=norm(H,inf)；
for k=1:max1
iD=inv（D-om＊L）; B2=iD*(om*U+（1—om）*D);
f2= om＊iD＊b； X1= B2*X+f2； X=X1; djwcX=norm(X1-jX,inf）;
xdwcX=djwcX/（norm(X,inf)+eps）；
end
if mH〉=1
disp(’请注意：因为谱半径不小于1,所以超松弛迭代序列发散.谱半径mH，A的分解矩阵D，U,L和方程组的精确解jX和近似解X如下：')
else
disp('请注意:因为谱半径小于1，所以超松弛迭代序列收敛。’）
if （djwcX<wucha)|(xdwcX<wucha）
disp（'谱半径mH，A的分解矩阵D，U,L和方程组的精确解jX和近似解X如下： '）
mH,D,U,L,jX=jX'，
else
disp('迭代次数已经超过最大迭代次数max1,谱半径mH，方程组的精确解jX和迭代向量X如下： ’）
mH，D，U,L,X=X1'；jX=jX'
return
end
end

例4。4。3 用超松弛迭代法（取=1.15和5)解例4。4.1中的线性方程组.
解 （1)当取=1。15时，首先保存名为cscdd.m的M文件,然后在MATLAB工作窗口输入程序
>> A=[5 1 -1 —2;2 8 1 3；1 —2 —4 —1;-1 3 2 7］;b=[4；1；6；—3];
X=［0 0 0 0］';X=cscdd （A,b，X,1。15,0.001，100），
运行后输出结果
谱半径mH,A的分解矩阵D，U,L和方程组的精确解jX,迭代次数i如下:
mH =
0。1596
D =
5 0 0 0
0 8 0 0
0 0 -4 0
0 0 0 7
U =
0 -1 1 2
0 0 -1 —3
0 0 0 1
0 0 0 0
L =
0 0 0 0
—2 0 0 0
—1 2 0 0
1 -3 -2 0
jX =
0。4491 0。2096 -1。4850 -0。0299
i =
3
因为谱半径小于1,所以超松弛迭代序列收敛，近似解X如下：
X =
0.4484
0。2100
-1。4858
-0。0303
（2）当取=5时，保存名为cscdd.m的M文件,然后在MATLAB工作窗口输入程序
〉〉 A=［5 1 -1 —2;2 8 1 3;1 —2 —4 -1；-1 3 2 7];b=[4；1；6；—3];
X=[0 0 0 0]’；X=cscdd （A,b，X，5，0.001，100），
运行后输出结果如下：
请注意:因为谱半径不小于1，所以超松弛迭代序列发散.
谱半径mH，A的分解矩阵D，U,L和方程组的精确解jX,迭代次数i和迭代序列X如下：
i = mH =
99 14。1082
D =
5 0 0 0
0 8 0 0
0 0 —4 0
0 0 0 7
U =
0 —1 1 2
0 0 —1 —3
0 0 0 1
0 0 0 0
L =
0 0 0 0
—2 0 0 0
-1 2 0 0
1 -3 —2 0
jX = X =1.0e+114 *
0。4491 —0.3122
0.2096 1。0497
—1.4850 —3。7174
—0。0299 3。9615