浅谈数形结合在解题中的应用.doc

浅谈数形结合在解题中的应用 专业:数学与应用数学 班级：数学（09级） 姓名：王雪摘要2引言41 数形结合思想方法的概述61。1数形结合的思想方法61.2数形结合的思想价值72 数形结合在中学数学解题中的应用82.1数形结合在处理取值范围中的应用82。2 数形结合在解决方程问题中的应用102.3 数形结合在求不等式问题中的应用122.4 数形结合在求解极值问题中的应用16结论19致谢20参考文献21摘 要 数学思想方法作为数学知识内容的精髓，是数学的一种指导思想和普遍适用的方法,是铭记在人们头脑中起永恒作用的精神和观点。它能使人们领悟数学的真谛，懂得数学价值，学会数学地思考和解决问题.它能把知识的学习、能力的培养和智力的发展有机地结合起来，本文主要探讨数形结合思想在中学数学解题中的应用。在数学发展过程中，形与数常常结合在一起,在内容上互相联系,在方法上互相渗透，在一定条件下可以互相转化.为了能够更好地帮助学生解决数学中的问题，充分利用数形结合的思想解题，提高解题效率,本文在概述数形结合思想的基础上，分析了数形结合在中数数学解题中的应用,主要体现在处理不等式组中字母系数的取值范围、方程根的存在性问题、不等式问题和求解极值问题等,并针对解决不同类型的数学问题给出了对应详细的例题分析,最终给出了在培养学生利用数形结合思想时需注意的问题,以激发学生的学习兴趣、提高学生解题能力和培养学生思维能力。关键词：数形结合； 数学思想; 函数； 方程abstractMathematical ideology is regarded as the marrow of the knowledge of mathematics， is a kind of guidelines of mathematics and generally acceptable methods, and also is the spirit and view which play an eternal role， it can make people comprehend the true essence of mathematics， understand the value of mathematics， think and solve the problem mathematically。 It can combine the learning of knowledge， the cultivation of ability and development of intelligence together organically。 In this article， we mainly research the application of combination of quantities and spatial forms in solving middle school mathematics problems. In the process of math development， quantities and spatial forms are usually combined。 In order to solving the mathematical problems effectively, we often combine the quantities and spatial forms to improve efficiency of solving mathematical problems. In this article， the application of combination of quantities and spatial forms in solving middle school mathematics problems is introduced based on the combination. Furthermore, we mainly discuss the ranges of literal coefficients in solving inequalities， the existence of equation roots， the inequalities problems and the problems of solving extreme values. Then the related examples are proposed for us to better understand the combination of quantities and spatial forms。 The research on combination of quantities and spatial forms can arouse students learning interest, improve the skill of solving mathematical problems and develop the students creativity。本文为互联网收集，请勿用作商业用途Keyword：combination of quantities and spatial forms;mathematical ideology；functions; equations。引 言数形结合的思想就是一个非常的数学思想,也是分析问题、解决问题的有力工具。“形和“数”是数学知识表现的两种重要形式,“数”准确而抽象、“形”形象而粗略,各有所长。而数形结合是一种极富数学特点的信息转换方式，这种转换不仅有助于数学的多样化表现，也有利于更好地认识数学-用数量的抽象性质来说明形象的事实,同时又用图形的性质来说明数量的抽象性质,这正是数形结合的本质所在。“形”具有形象直观的优势，但也有其粗略、繁琐和不便于表达的劣势.只有以简洁的数学描述、形式化的数学模型表达“形”的特性，才能更好地体现数学抽象化与形式化的魅力。数形结合的思想很好的把数的优势得到很好的利用，同时他的不足又得到形的补充；同样的道理数形结合的思想也很好的把形的优势得到充分 的利用,用数补充了形的不足.数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来,关键是代数问题与图形之间的相互转化,也可以说是代数问题与几何问题的相互转化.它可以使代数问题几何化，几何问题代数化.在前几年数学还很明确的分为代数几何,但是随着人们对数形结合思想更加深刻的理解和应用,代数和几何已经很相容在一起了，越来越多的题都需要用到数形结合的思想.运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要清楚的知道一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征和参数方程，对数学题目中的已知条件和最后结论我们既要分析其几何意义又要分析其代数意义;第二是恰当设参、合理用参，建立关系,有的时候一个合适恰当坐标系解决问题时会发现难题其实也可以很容易的解决.一般中考生都会觉得中考题中的立体几何和轨迹问题是历年考题之难，但是如果我们可以建立合适恰当的坐标系问题会很容易的解决。我们要由数思形，以形想数,做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围. 数形结合在解题过程中应用十分广泛,巧妙运用数形结合的数学思想方法来解决一些抽象数学问题，可起到事半功倍的效果.本文将简单的介绍下数形结合的思想在集合问题、函数问题、方程与不等式问题、三角函数问题、最值问题、几何问题等问题中的应用。在各类题型中数形结合的思想又包含“以形助数和“以数辅形两个 方面，即或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性. 1 数形结合思想方法的概述我们学习数学,不单纯是数的计算与形的研究，还贯穿有数学思想与数学方法。恰当的数学思想能够引导学生使用正确的数学方法，从而准确、快速地解决数学问题.在中学数学研究中，数形结合思想不仅是数学课本要求掌握的思想之一,也是历年不同类型考试的重点和难点1.因为数形结合思想是数学解题中常用的一种思想方法,它可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质。数形结合思想是求解数学问题的一种常用思想,它不仅对于沟通代数、几何与三角的内在联系具有指导意义,并把数式的准确刻划与几何图形的直观描述有机地结合起来,而且更重要的是对发展学生的创造性思维，完善学生的思维品质有着特殊的重要作用。在数学问题中若能“以数示形，以形思数,数形渗透,则能加强知识的横纵联系2.数学是研究客观世界的空间形式和数量关系的科学,数是形的抽象概括,形是数的直观表现.华罗庚教授曾说：“数缺形时少直觉,形少数时难入微.数形结合百般好,隔裂分家万事非.”数形结合的思想就是充分运用数的严谨和形的直观,将抽象的数学语言与直观的图形语言结合起来,使抽象思维和形象思维结合，通过图形的描述、代数的论证来研究和解决数学问题的一种数学思想方法.数形结合是中学数学新课程所渗透的重要思想方法之一，相关教材中的内容能很好地培养和发展学生的数形结合思想。教材中这一方法的渗透对发展学生的解题思路、寻找最佳解题方法有着指导性的作用,可对问题进行正确的分析、比较、合理联想，逐步形成正确的解题观,还可在学习中引导学生对抽象概念给予形象化的理解和记忆，提高数学认知能力，并提升对现实世界的认识能力,从而提高数学素养，不断完善自己3-5.本文为互联网收集，请勿用作商业用途1。1数形结合的思想方法 中学数学研究的对象是现实世界的数量关系(数）和空间形式(形），数是数量关系的体现,而行则是空间形式的体现.“数”和“形”常依一定的条件相互联系，抽象的数量关系常有形象与直观的几何意义，而直观的图形性质也常有数量关系加以精确的描述.，数和形也可依一定条件相互转化，相互沟通。我们在研究数量关系时，有时要借助于图形直观地去研究，而在研究图形时,又常借助于数量关系去探究.“数”和“形是研究数学的两个侧面,利用属性结合能使“数”和“形”统一起来,可以使所要解决的问题化难为易,化繁为简，思维广阔.华罗庚教授对此有精辟概述:”数无形,少直观:形无数,难入微。“因此要根据解决问题的需要，把数量关系的问题转化为图形的性质问题来研究，也可以把图形的性质问题转化为数量关系的问题来研究,属性结合才能真正发挥其作用7。数形结合是数学研究中常用的方法之一,它在中学数学阶梯的整个过程中发挥着重要的作用。它具有以下主要的优点：第一，在解决有关问题时，数形结合思想方法在思路上的灵活，过程上的简便，方法上的多样化一目了然：第二,数形结合思想方法为我们提供了多条解决问题的通道，使灵活性,创造性的思维品质在其中得到了更大限度的发挥：第三,数形结合丰富的表象，能引发联想，启发思维,拓宽思路：第四,数形结合思想能提高学生数形转化能力,提高学生迁移思维的能力。1.2数形结合的思想价值 通过数形结合，首先是我们对几何图形性质的讨论更广泛，更深入了，要旧的对象也更宽泛，方法更一般了。其次是为代数课题提供了几何直观.由于代数借用了几何的术语，运用了与几何的类比而获得新的生命力，如线性代数正是借用几何学中的空间,线性等概念与类比的方法把自己充实起来而迅速发展的.代数方法便于精细计算，几何图形直观形象,数形结合,相互促进，使我们加深了对数量关系与空间形式的认识.正如拉格朗日所说：“只要代数同几何分道扬镳，它们的进展就缓慢，他们的应用就狭窄，但是当这两门科学结合成伴侣时,它们就相互吸取新鲜的活力，从那以后,就以快速的步伐走向完善.而且数形结合从方法角度能给人们以重要的启示8。在平面上把点与数,曲线与方程之间建立一一对映的思考方法,启发数学家们把一个个函数视为点.而把某类函数的全体视为“空间。由此形成分析为一活跃的分支.数形结合也是数学学科分支建立的内驱力.可以说，从知识论和方法论的角度看,数形结合这种思维方法的运用.有助于加深对数学问题本质的认识，有助于对具体数量关系和空间形式进行抽象与概括,拓展了人们思维的深度和广度,使数学思维更深刻,更其创造性9.同时数形结合可以使某些抽象的数学问题直观化,生动化，能够变抽象思维为形象思维,有助于学生把握数学问题的本质。个人收集整理，勿做商业用途2 数形结合在中学数学解题中的应用2.1数形结合在处理取值范围中的应用近年来，在不同的类型的考试中出现了已知不等式组中字母系数的取值范围的题目.在处理这类问题时,如何单纯从不等式的解集出发,将无从求解.如果借用数,利用数形结合分类讨论的数学思想则可很好地解决这类问题,在此我们将举例介绍这种方法的应用.例2.11：若不等式组无解,求的取值范围.解 (1)当时,不等式（1)和(2)的解集在数轴上表示出来，如图2.1-1所示。图2。1-1则原不等式无解。（2)当时，不等式（1）和（2）的解集在数轴上标出来，如图2.12所示。图2.1-2(3）当时，不等式（1)和（2)的解集在数轴上表示出来,如图2.1-3所示。图2.13则原不等式组的解集为.由题意可知,原不等式组无解,所以，即时，原不等式组无解。故的取值范围是。例2。12 若关于的不等式组的解集为,求的取值范围.解 从不等式（1)和(2）易知,不等式（1）的解集为,不等式（2）的解集为.(1)当时,不等式（1）和(2）的解集在数轴上表示如图2.1-4所示。图2.1-4则原不等式组的解集为。（2)当时,不等式(1）和(2)的解集在数轴上表示如图2.1-5所示.图2.1-5则原不等式组的解集为.（3)当时,不等式(1)和（2）的解集在数轴上表示如图2。1-6所示.图2.16则原不等式的解集为。则综上所述，原不等式组的解集为,所以。即时，原不等式组的解集为,故此时的取值范围是.从以上两个实际案例可以看出,合理、灵活、巧妙地运用数形结合的思想来解题，可以将复杂问题简单化，抽象问题具体化，化难为易,有事半功倍之效.当然能有效地运用数形结合思想必须具备扎实的数学基础知识,熟练的数学基本技能和严谨的数学思维能力，这些都有赖于教师在日常的教学实践中坚持不懈地对学生进行培养和训练,才能逐步得到提高。2。2 数形结合在解决方程问题中的应用数形结合的理论实质是从理论的抽象走向思维的具体,只有数和形的有机结合，抽象的方程才具有实际意义,学生在运用方程的概念分析问题时,其思维才会有所依托,有所凭借，变抽象思维为形象思维,顺利解决问题。下面的几个例题将从对原方程进行简单变换的角度入手，根据对应图形的性质进行讨论，其特点是“简洁、直观”，能够直接控制自己思维的正误，而且可以加深对基本概念的理解,加强对基本知识与基本技能的灵活运用11.例2.2-1:当时,关于的方程的解的个数是多少？图2。21 函数图像分析 此题若直接求解将显得非常困难，特别是原方程中包含有绝对值运算符号.但联想到方程解的个数即为相关曲线的交点个数，由此可由“数”想到“形”,把求方程解的个数问题看作是求函数与的图像的交点个数问题。我们在直角坐标系中分别作出与的图像（如图3.21所示）即可得出交点的个数，从而可知原方程解的个数是三个。例2。22：当取何值时,方程有唯一解？有两解？无解？图2.2-2 函数图象分析 原方程即.令,则有.再令及,则方程解的个数等于直线与抛物线的交点的个数.由图2。22可知：当或时，原方程有唯一解；当时,原方程有两个不同的实数解；当或时，原方程无解.在例2.2-1和例2.22中，数形结合的思想集中了数量分析与图形的直观，利用数和形的各自优势，往往能使我们尽快地找到解题途径或简化解题过程,给解题带来极大的方便,可使我快速正确地解决方程解的存在性问题.2。3 数形结合在求不等式问题中的应用不等式是中学数学的重要内容，它几乎涉及整个中学数学的各个部分。因此，通过不等式这条纽带,可把中学数学的各部分内容有机地联系起来。而不等式的证明是中学数学的一个难点,其题型广泛、方法灵活、涉及面广,是各类型考试的重点考察内容。不等式的证明方法有比较法、放缩法、数学归纳法等。而根据不等式的几何意义，利用数形结合的思想，是证明不等式的较简捷的方法，有时甚至让人拍案叫绝12-13.本节将从运用代数式的几何意义或借助函数的图象构造几何图形入手，利用数形结合的思想来巧妙地求解不等式问题。（1）构造适当的平面图形，利用勾股定理及三角形三边的关系来证明不等式.我们将举例说明两个考试中经常出现的证明题，然后详细演示如何利用数形结合的思想巧妙地对其进行证明,具体案例如例2.31和2.32所示。例2.3-1：已知实数，请证明如下不等式成立证明 如图2.3-1所示,作以为上、下底,为高的直角梯形BCDE,在图中有。图2.31 直角梯形BCDE则根据勾股定理有：，又因为,则有如下不等式的成立对上述不等式的两边平方可得到即原不等式成立得到证明。例2.32：已知实数,请证明如下不等式成立证明:如图2。3-2所示，构建直角坐标系，其中点、在坐标系中的位置已被标注。图2.3-2 直角坐标系根据三角形中的勾股定理可知：，因为在中根据三角不等式，有，则同理在中有，根据，可得到如下不等式由不等式和，可证得原不等式成立，即 （2）构造适当的函数,利用函数图象性质证明不等式本小节将给出一个证明题,并将详细说明如何通过构造适当的函数,利用函数图象的性质来证明该不等式成立,具体案例如例2.33所示。例2。3-3：已知实数,请证明下述不等式的成立证明 在先给出本例题的详细证明前，我们先对证明该不等式的思路进行一下分析。显而易见，需证的不等式等价为根据等效的不等式，联想到三角形的重点，本节将通过引入函数图形进行数形结合对其进行证明.设二次函数,则可将看作曲线上的三个点,则求证的左端是三点纵坐标平均值，右端则是横坐标平均值的平方,此时的值即为由这三个点构成的三角形中心。图2.33曲线的图形如图2.3-3所示，作出函数的图形，三点在函数上，分别表示点。此时是的重心,轴于且与曲线交于点，则有点和的坐标为：、如图2。33所示,显然有，则有不等式成立，即可证得原不等式成立运用数形结合的思想方法,构造一些几何图形去解决不等式的证明问题，构思不落俗套，解法别有新意，但因其具有一定的技巧性和创造性，所以需要通过平时的练习和积累才能逐渐掌握。2。4 数形结合在求解极值问题中的应用关于极值问题的求解在中学教学中占很大比重，所渗透的数学思想方法，对培养学生的逻辑思维能力，观察能力,空间想象能力都有举足轻重的地位.在初中考查的题形很多，主要有定量问题，定形问题,几何极值问题，和简单的函数问题.在高中它的分量更重,主要是求函数的最值和极值14.高中数学中求函数的极值是研究函数性质的一个极其重要的方面,尽管其严格的理论指导需要借助高等数学知识,但由于它涉及的知识面宽、方法灵活、应用广泛、训练思维能力的效果显著,所以在高考和数学竞赛中占有相当重要的地位。本节主要探讨数形结合思想在求解几何极值和函数极值中的应用,具体例题见例2.41和2.42。(1）数形结合在几何极值问题中的应用例2.41：如图2。4-1所示,已知为平行四边形的边上的一个动点，的延长线与的延长线相交于，问点在什么位置时,使得的值最小？解 是边上的动点,点随的运动而动，题中涉及两个未知量的和.随的变化而变化,所以可用的代数式来表示.这种，我们设所求两线段之和为线段的函数,即可用代数法求解。图2。41 平行四边形设,，,易证相似于则有,即,且综上可得到 （2.41)式(2.4-1）等效为 （2。4-2）又因为为实数,根据方程解的存在性有,则得到。由于，所以,即。此时有的最小值为，将代入（2。4-2）解得.所以当的长为平行四边形的比例中项式时, 的值最小。（2）数形结合在函数极值问题中的应用函数极值的求法离不开图形,可谓“形影不离”。函数的极大值与极小值统称为极值，使函数取得极值的点称为极值点.例2。42：如图2。42所示，工厂铁路线上段的距离为100km.工厂距处为20km，垂直于。为了运输需要，要在线上选定一点向工厂修筑一条公路。已知铁路每公里货运的运费与公路上每公里货运的运费之比3：5,为了使货物从供应站运到工厂的运费最省，问点应选在何处？图2。4-2 工厂铁路线解 设，则,即有再设从点到点需要的总运费为，那么,其中,则于是上述问题可归结为x在0， 100内取何值时目标函数的值最小.先求对的导数：，解方程得到。由于，其中以为最小，因此当时总的运费最省. 运用以数辅形的思想，需要将图形间的数量关系整理清晰，以函数的形式表现出来，通过对函数的分析,求得函数的极值，从而得到所求答案。结 论 数学研究的对象是现实世界中的数量关系与空间形式。“数形结合”是中学数学极为重要的思想方法之一，把代数式的精确刻画与几何图形的直观描述结合起来，从而使几何问题代数化，代数问题几何化，并进而使抽象思维和形象思维结合起来，可以使许多复杂问题获得简捷的解法. 但是撇开“形”去孤立地研究“数”,或忽视“数”去孤立地研究“形”，都会带来种种不良后果.所以我觉得为了更好地运用“数形结合”的思想方法,还认为应思考以下几点. 1、注意利用“数”的精确性几何图形的优点是具有直观性.但是,有些数学问题仅利用图形是不能得出正确结论的.此时,有必要再利用“数”的精确性才能解决问题. 2、注意数形转化的等价性 把一个陌生的、复杂的数学问题转化为简单的、熟知的数学问题，从而使问题得到解决，这就是转化的思想。但是，一定要注意转化后的问题应当与原问题是等价的。并且同样地,利用图形来解决数学问题时,也要注意转化的等价性。 3、注意图形的全面性 有些数学问题所对应的图形可能不止一种，此时，就要根据不同情况做出相应的图形，再对不同的图形分别进行讨论求解。 4、注意图形的时效性尽管数形结合是非常重要的一种数学思想方法，但是,也有其时效性，有些问题对于特定的条件可以使用此方法,而当条件发生变化后可能就不再适用了。由上面的几点思考可知,数形结合解题,必须把精确的数量关系刻画与图形的准确形象切实结合，才能互相补充，互相利用，才能收到。个人收集整理，勿做商业用途致 谢在这次毕业设计中，要感谢的人实在太多了,首先要感谢苏艳华教授，因为论文是在苏老师的悉心指导下完成的。苏教授渊博的专业知识，严谨的治学态度，精益求精的工作作风,诲人不倦的高尚师德,严以律己、宽以待人的崇高风范,朴实无华、平易近人的人格魅力对我影响深远。本论文从选题到完成,每一步都是在苏老师的指导下完成的,倾注了苏老师大量的心血.苏老师指引我的论文的写作的方向和架构,并对本论文初稿进行逐字批阅,指正出其中误谬之处,使我有了思考的方向，她的循循善诱的教导和不拘一格的思路给予我无尽的启迪,她的严谨细致、一丝不苟的作风,将一直是我工作、学习中的榜样。在此,谨向苏老师表示崇高的敬意和衷心的感谢！谢谢苏教授在我撰写论文的过程中给与我的极大地帮助。同时，论文的顺利完成，离不开其它同学和朋友的关心和帮助。在整个的论文写作中，同学和朋友积极的帮助我查资料和提供有利于论文写作的建议和意见，在他们的帮助下,论文得以不断的完善，最终帮助我完整的写完了整个论文.另外,要感谢在大学期间所有传授我知识的老师，是你们的悉心教导使我有了良好的专业课知识,这也是论文得以完成的基础.感谢所有给我帮助的老师和同学，谢谢你们!参考文献1 韦中庆。 数形结合思想在解题中的应用J。 中学教学参考， 2011, 1: 8990。2 中华人民共和国教育部制定。 数学课程标准(实验）M。 北京： 人民教育出版社， 2003.3 周述岐。 数学思想和数学哲学M。 北京: 中国人民大学出版社, 1993。4 郭思乐。 喻纬. 数学思维教育论M。 上海: 上海教育出版社, 2000.5 黄珊数. 形结合思想与解题教学研究J. 数学教学与研究, 2009, 23: 5455.6 马秀琴. 初中数学数形结合思想的研究和应用J. 科学大众， 2009, 7： 76-76.7 顾亚萍。 数形结合思想方法之教学研究D. 南京： 南京师范大学, 2004。8 莫红梅。 谈数形结合在中学数学中的应用J. 理科教学探索， 2003, 12： 44-45.9 孙建豪。 殷建华。 论数形结合思想在中学数学教学中的应用J. 湖州师范学院学报, 2001， 23(5)： 323410李新华. 用数形结合思想求不等式组中字母系数的取值范围J。 中学生数理化, 2010, 5: 89-89.11李兴民. 任福起。 中学数学教学中的数形结合J。 承德民族师专学报, 2003, 23(2): 99- 100。12汪金花。 例谈数形结合思想在不等式证明中的应用J。 宿州教育学院学报， 2001, (4）: 86 88.13傅学府. “数形结合”在中学数学解题中的应用J。 中国科教创新导刊， 2010, 6： 8383.14何新艺. 数形结合在极值与极大值问题中的应用J. 中国校外教育, 2010， 12: 107-107。15George PolyaGeorge Polya。How to solve it （Second edition）M。Princeton University Press ， Princeton New Jersey, 1973：99-104。16Michael J。 Gilbert,Jacqueline Coomes.What mathematics do high school teacher need to knowJ。 Mathematics Teacher.2010，103（6):10-20页.