例谈数形结合思想在数学解题中的应用济川中学钟凤婷.doc

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例谈数形结合思想在数学解题中的应用
东莞市济川中学 钟凤婷
【摘要】数形结合思想指的是通过“以形助数”或“以数解形”（借助数的精确性来阐明性的某种属性)的方式，把抽象的数学语言与直观的图形语言联系起来思考，也就是将抽象思维与形象思维有机地结合起来分析,力求在代数与几何的交汇点处寻求解题思路，进而解决问题的一种数学思想.本文从举例的形式去探索数形结合的思想在解题中的应用.
【关键词】数形结合
数形结合是中学数学中重要的思想方法,也是数学解题中常用的思想方法，使用数形结合的方法，很多问题能迎刃而解,且解法简捷。常与以下内容有关：①函数与图象的对应关系;②曲线与方程的对应关系；③以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如三角函数等；④所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。
数形结合的思想方法应用广泛，常见的如在解方程和解不等式问题中，在求函数的值域，最值问题中，在求复数和三角函数问题中,运用数形结合思想，不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理，大大简化了解题过程。这在解选择题、填空题中更显其优越,要注意培养这种思想意识,要争取胸中有图，见数想图，以开拓自己的思维视野。数形结合思想在高考中占有非常重要的地位,每年的高考试题（特别是客观题）能够用此思想方法解决的题目均占相当大的比例，在平常的教学中,要引起高度的重视.
1 数形结合思想在“方程的根与函数的零点"中的应用
近年来高考对“方程的根与函数的零点”内容的考查比较稳定，大都是需要我们结合图象,数形结合解决问题，因此我们有必要让学生发挥函数图象的作用，以形示数,数形结合，解决有关方程根的个数问题。
例1 （05上海高考题）设定义域为函数,则关于的方程
有7个不同实数解的充要条件是（ ）

分析：同上题方法，联想图象的交点,由的图象可知要使方程有7个解，应有有3个解，有4个解。 故选（C)
例2 方程的根的个数是（ ）
A 0 B 1 C 2 D 3
分析:令
在同一坐标系中作出两个函数与的
图象（如图）由图可知两曲线只有一个公共点,故方程只有一个解。
2 数形结合思想在“不等式”中的应用
近年的高考强调不等式基础知识考查的同时也很注重数学能力的考查和数学思想方法的应用,其中数形结合思想方法的应用不可忽视。所以在不等式的教学或复习中要有意识注意数形结合思想方法的渗透。
例3 (04年湖南高考题)设分别是定义在R上的奇函数和偶函数，
当时，且，则不等式的解集是（ ）
A. B.
C。 D.
分析： 根据以上特点，不妨构造如图所示的符合题意的函数F（x）的图象，
由图直接观察出所求解集是
例4
分析：本题若用常规解法，要分两种情形： 比较麻烦，若能用数形结合解法，则比较有新意，具体解题如下:

3 数形结合思想在“线性规划”中的应用
线性规划问题是在约束条件下求目标函数的最值的问题。 从图形上找思路恰好就体现了数形结合思想的应用。 运用数形结合思想考查化归转化能力、逻辑思维能力，是函数教学中的一项重要内容.
O
A
B
x
y
例5（2008年浙江,理17）若，且当时，恒有
则以,b为坐标点P（，b）所形成的平面区域的面积等于__________。
分析：本小题主要考查线性规划的相关知识，可考虑特殊情形，比如x＝0，
可得a＝1;y＝0可得b＝1。所以猜测a介于0和1之间，b介于0和1之间。
分析：不等式组表示的平面区域为，如图，
由恒成立知，当时,恒成立，当成立；
当时，恒成立，∴；同理，
∴以，b为坐标点P(,b）所形成的平面区域是一个正方形，所以面积为1.
如图：

例6 已知满足不等式；试求f（－2）的取值范围.
错解：由得： ①; ②
①+②得： ;∴ ③ （－1）×②+①得：④
由③、④得：
分析：等号成立的条件不同，不等式变换是不等价变换，实质上扩大了解的范围。下面用线性规划思想解决此题:此题是不等式问题，将其用数形结合的方法转化为线性规划问题更为简单准确。
正解：约束条件: 目标函数： z＝4a－2b
∴，即
1.5
3
0
X
4a－2b＝0
4a－2b＝3
4a－2b＝12
Y
1.5
错解
4a－2b＝10
0
Y
1.5
1.5
3
X
4a－2b＝0
4a－2b＝5
正解

从上面二图可以看出:错解扩大了可行域，导致解的范围扩大。
4 数形结合思想在“点到直线的距离公式”中的应用
例7（02北京高考题）已知是直线上的动点，是的两条切线,是切点,是圆心,求四边形面积的最小值。
分析：直接求解较难,如能联想点到直线的距离公式，数形结合，
以形助数,则更简洁。

要使面积最小，只需最小，即定点到定直线上动
点距离最小即可.即点到直线的距离，
而
5 数形结合思想在“立体几何”中的应用
构建立体几何模型，研究代数问题，研究图形的形状、位置关系、性质等
例8（04年广东高考题） 图1有面积关系
则由图2有体积关系：__________。
 解：
分析：本题注重考查图形分析能力。思维方式上从平面向空间拓展,面积与体积类比，直观类比与猜想并举.体现了高考题以能力立意考查注重素质的命题原则。
例9 若三棱锥A—BCD侧面ABC内一动点P到底面BCD的距离与到棱AB的距离相等，则动点P的轨迹与ΔABC组成的图形可能是（ ）

分析:此题将立体几何与解析几何巧妙结合，是对过去分离考核的创新。可先考虑特殊图形，当AC⊥平面BCD时，如图1，将问题转化为P到AB的距离和BC距离相等的点的轨迹，显然P点轨迹是∠ABC的平分线。

当AC不垂直平面BCD时如图（2）的P到平面DBC和边BC的距离分别为h,dBC,设A-BC-D的大小为,故选D.
6 数形结合思想在“解析几何”中的应用
例10 (04年湖北高考题）如图所示,已知椭圆=1的
左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，若F1，F2，P是一个
直角三角形的三个顶点，则点P到x轴的距离为（ )。

分析：以Ｏ为圆心以ＯＦ1为半径画圆，可知此圆与椭圆无交点,则△Ｆ1Ｆ2P中∠ＰＦ1Ｆ2（或∠ＰＦ2Ｆ1）为直角，如此求出Ｐ点坐标即得yp=±,故选Ｄ.本题以作图直观判断为突破口，直觉与逻辑推理互动，化解析几何问题为平面几何问题，化计算为判断，在理性的高度认识问题.
例11 （2008海南卷，理11）已知点P在抛物线上,那么点P到点的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时,点P的坐标为( ）
A． B． C． D．
F
P
Q

分析: 点P到点的距离与点P到抛物线焦点的距离之和取得最小值时， 点P到点的距离与点P到抛物线的准线的距离之和也取得最小值，这样就可以把点P到抛物线的焦点的距离转为到准线的距离求出.点在抛物线的内部,
要使点P到点的距离与点P到抛物线焦点的距离之
和取得最小值,根据抛物线的定义知，须使点P到点
的距离与点P到抛物线准线距离之和取得最小,即时
最小.则故选A。抛物线的定义是到焦点的距离等于到
准线的距离,做题时常常用定义进行转化。
7 数形结合思想在“三角函数”中的应用
在教材中利用单位圆的有向线段表示角的正弦线，余弦线，正切线，并利用三角函数线可作出对应三角函数的图像．如果能利用单位圆中的有向线段表示三角函数线，应用它解决三角不等式问题，简便易行．
例12 已知那么下列命题正确的是（ )
A、若、是第一象限角，则
B、若、是第二象限角,则
C、若、是第三象限角,则
D、若、是第四象限角，则
1
1
A
C
B
0
y
x
分析:考察选项A，作单位圆，
如图，OA、OB分别为角、的终边，
∵OC为的余弦线，OD为的余弦线，
则有知A错，依次判断知选D。
例13 解不等式
分析:从不等式的两边表达式我们可以看成两个函数在上做出它们的图像（图8)，得到四个不同的交点,横坐标分别为:,而当在区间内时，的图像都在的图像上方．所以可得到原不等式的解集为：．

0
x
Y
1

X

8 数形结合思想在“集合与函数”中的应用
例14(04年上海高考题）设奇函数f（x）定义域为［－５，５]，若当x∈［０，５］时，f（x)图象如下图，则不等式f（x)<0的解集是____.        

分析：由奇函数的图象关于原点对称，完成f(x）在定义域内的图象，再由f（x）〈0找出使f（x）图象在x轴下方的区域，从而得到不等式f（x）<0的解集为（—2，0)∪（2，5］。用数形结合的方法去分析解决问题除了能读图外，还要能画图。绘制图形既是数形结合方法的需要，也是培养我们动手能力的需要。
例15（2008北京卷,理1）已知全集，集合，，那么集合等于（ ）
A． B．C． D．
-2 -1 3 4 x
分析:不等式表示的集合通过数轴解答。
解：在数轴上先画出,再画出集合
,取其公共部分如图所示阴影部分就是集合,故选D.所以，对于不等式表示的集合,可在数轴上表示并进行集合的交、并、补的运算

数形结合是研究数学问题并实现问题的模型转换的一种基本思想和基本方法,它能沟通数与形的内在联系．在解题中学会以形论数、借数解形、数形结合，直观又入微，提高形数联想的灵活性，有助于思维素质的发展,有利于提高解题能力．

总之，数形结合思想是数学中基本而又重要的思想，是解答数学试题的的一种常用方法与技巧，特别是在解决选择、填空题是发挥着奇特功效。数学家华罗庚曾指出:“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔裂分家万事非。”可见数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化,能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质.在高考复习时，同学们必须随时注意运用数形结合思想，复习中要以熟练技能、方法为目标，加强这方面的训练，以提高解题能力和速度.