正余弦定理教案.doc

(完整word)正余弦定理教案
正弦定理和余弦定理
安勤辉
一。 教学目标:
1知识与技能:认识正弦、余弦定理，了解三角形中的边与角的关系
2过程与方法：通过具体的探究活动，了解正弦、余弦定理的内容，并从具体的实例掌握正弦、余弦定理的应用
情感态度与价值观：通过对实例的探究,体会到三角形的和谐美，学会稳定性的重要
二. 教学重、难点：
1。 重点：
正弦、余弦定理应用以及公式的变形
2. 难点：
运用正、余弦定理解决有关斜三角形问题。

知 识 梳 理
1．正弦定理和余弦定理
在△ABC中,若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，则

正弦定理
余弦定理
内容
＝＝＝2R
(R为△ABC外接圆半径）
a2＝b2＋c2－2bccos A
b2＝a2＋c2－2accos B
c2＝a2＋b2－2abcos C
常见变形
（1）a＝2Rsin A,b＝2Rsin B，c＝2Rsin C;
（2)sin A＝，sin B＝，sin C＝；
(3)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C
cos A＝；
cos B＝；
cos C＝
2.三角形中常用的面积公式
(1）S＝ah（h表示边a上的高)．
(2）S＝bcsin A＝absin C＝acsin B.
（3）S＝r(a＋b＋c)（r为△ABC内切圆半径)
问题1：在△ABC中，a＝，b＝，A＝60°求c及B C
问题2在△ABC中,c=6 A=30° B=120°求a b及C
问题3在△ABC中,a＝5，c＝4,cos A＝，则b＝
通过对上述三个较简单问题的解答指导学生总结正余弦定理的应用;
正弦定理可以解决
(1)已知两角和任一边，求其他两边和一角；
(2）已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角

余弦定理可以解决
(1）已知三边,求三个角；
（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角

我们不难发现利用正余弦定理可以解决三角形中“知三求三”
知三中必须要有一边
应用举例
【例1】 (1）（2013·湖南卷）在锐角△ABC中，角A,B所对的边长分别为a，b。若2asin B＝b，则角A等于 （　　）．　　　　　　　　　　　　　　　　　
A。 B。 C。 D。
（2)(2014·杭州模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c，若a＝1，c＝4,B＝45°，则sin C＝______。
解析　（1）在△ABC中,由正弦定理及已知得2sin A·sin B＝sin B,
∵B为△ABC的内角，∴sin B≠0.
∴sin A＝.又∵△ABC为锐角三角形,
∴A∈，∴A＝.
(2)由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accos B＝1＋32－8×＝25，即b＝5。
所以sin C＝＝＝。
答案　（1）A　(2）
【训练1】 （1）在△ABC中,a＝2，c＝2，A＝60°，则C＝
（　　)．
A．30° B．45° C．45°或135° D．60°
（2）在△ABC中，内角A,B,C的对边分别是a，b，c,若a2－b2＝bc,sin C＝2sin B,则A＝
A．30° B．60° C．120° D．150°
解析　（1)由正弦定理，得＝,
解得：sin C＝，又c＜a，所以C＜60°,所以C＝45°。
（2)∵sin C＝2sin B，由正弦定理,得c＝2b，
∴cos A＝＝＝＝,
又A为三角形的内角，∴A＝30°。
答案　（1)B　（2)A

规律方法 已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角,该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断．
【例2】 (2014·临沂一模）在△ABC中,a,b，c分别为内角A，B,C的对边，且2asin A＝(2b－c)sin B＋(2c－b）sin C。
(1)求角A的大小；
（2）若sin B＋sin C＝，试判断△ABC的形状．
解　（1）由2asin A＝(2b－c）sin B＋(2c－b)sin C，
得2a2＝(2b－c)b＋(2c－b）c,即bc＝b2＋c2－a2，
∴cos A＝＝，∴A＝60°.
（2）∵A＋B＋C＝180°,∴B＋C＝180°－60°＝120°.
由sin B＋sin C＝，得sin B＋sin(120°－B）＝,
∴sin B＋sin 120°cos B－cos 120°sin B＝。
∴sin B＋cos B＝，即sin（B＋30°）＝1.
∵0°<B〈120°,∴30°<B＋30°〈150°.
∴B＋30°＝90°,B＝60°.
∴A＝B＝C＝60°，△ABC为等边三角形．
规律方法 解决判断三角形的形状问题,一般将条件化为只含角的三角函数的关系式，然后利用三角恒等变换得出内角之间的关系式；或将条件化为只含有边的关系式，然后利用常见的化简变形得出三边的关系．另外，在变形过程中要注意A，B，C的范围对三角函数值的影响．
课堂小结
1．在解三角形的问题中，三角形内角和定理起着重要作用，在解题时要注意根据这个定理确定角的范围及三角函数值的符号，防止出现增解或漏解．
2．正、余弦定理在应用时，应注意灵活性,尤其是其变形应用时可相互转化．如a2＝b2＋c2－2bccos A可以转化为sin2 A＝sin2 B＋sin2 C－2sin Bsin Ccos A，利用这些变形可进行等式的化简与证明