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课时达标检测(六十四) 参数方程
1．(2017·郑州模拟)已知曲线C1的参数方程为曲线C2的极坐标方程为ρ＝2cosθ－，以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系．
(1)求曲线C2的直角坐标方程；
(2)求曲线C2上的动点M到曲线C1的距离的最大值．
解：(1)ρ＝2cos＝2(cos θ＋sin θ)，
即ρ2＝2(ρcos θ＋ρsin θ)，可得x2＋y2－2x－2y＝0，
故C2的直角坐标方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.
(2)C1的普通方程为x＋y＋2＝0，由(1)知曲线C2是以(1,1)为圆心，以为半径的圆，且圆心到直线C1的距离d＝＝，所以动点M到曲线C1的距离的最大值为.
2．在极坐标系中，已知三点O(0,0)，A，B.
(1)求经过点O，A，B的圆C1的极坐标方程；
(2)以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，圆C2的参数方程为(θ是参数)，若圆C1与圆C2外切，求实数a的值．
解：(1)O(0,0)，A，B对应的直角坐标分别为O(0,0)，A(0,2)，B(2,2)，则过点O，A，B的圆的普通方程为x2＋y2－2x－2y＝0，将代入可求得经过点O，A，B的圆C1的极坐标方程为ρ＝2cos.
(2)圆C2：(θ是参数)对应的普通方程为(x＋1)2＋(y＋1)2＝a2，圆心为(－1，－1)，半径为|a|，而圆C1的圆心为(1,1)，半径为，所以当圆C1与圆C2外切时，有＋|a|＝，解得a＝±.
3．(2017·太原模拟)在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)，曲线C的参数方程为
(1)写出直线l的直角坐标方程及曲线C的普通方程；
(2)过点M且平行于直线l的直线与曲线C交于A，B两点，若|MA|·|MB|＝，求点M轨迹的直角坐标方程．
解：(1)直线l的直角坐标方程为y＝x，曲线C的普通方程为＋y2＝1.
(2)设点M(x0，y0)，过点M的直线为l1：(t为参数)，由直线l1与曲线C相交可得：＋tx0＋2ty0＋x＋2y－2＝0，由|MA|·|MB|＝，得t1t2＝＝，即x＋2y＝6，x2＋2y2＝6表示一椭圆，设直线l1为y＝x＋m，将y＝x＋m代入＋y2＝1得，3x2＋4mx＋2m2－2＝0，由Δ>0得－<m<，
故点M的轨迹是椭圆x2＋2y2＝6夹在平行直线y＝x±之间的两段椭圆弧．
4．(2017·江西百校联盟模拟)在平面直角坐标系xOy中，C1：(t为参数)．以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C2：ρ2＋10ρcos θ－6ρsin θ＋33＝0.
(1)求C1的普通方程及C2的直角坐标方程，并说明它们分别表示什么曲线；
(2)若P，Q分别为C1，C2上的动点，且|PQ|的最小值为2，求k的值．
解：(1)由可得其普通方程为y＝k(x－1)，它表示过定点(1,0)，斜率为k的直线．
由ρ2＋10ρcos θ－6ρsin θ＋33＝0可得其直角坐标方程为x2＋y2＋10x－6y＋33＝0，整理得(x＋5)2＋(y－3)2＝1，它表示圆心为(－5,3)，半径为1的圆．
(2)因为圆心(－5,3)到直线y＝k(x－1)的距离d＝＝，故|PQ|的最小值为－1，故－1＝2，得3k2＋4k＝0，解得k＝0或k＝－.
5．在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知点P的直角坐标为，曲线C的极坐标方程为ρ＝5，直线l过点P且与曲线C相交于A，B两点．
(1)求曲线C的直角坐标方程；
(2)若|AB|＝8，求直线l的直角坐标方程．
解：(1)由ρ＝5 知ρ2＝25，所以x2＋y2＝25，
即曲线C的直角坐标方程为x2＋y2＝25.
(2)设直线l的参数方程为(t为参数)，①
将参数方程①代入圆的方程x2＋y2＝25，
得4t2－12(2cos α＋sin α)t－55＝0，
∴Δ＝16[9(2cos α＋sin α)2＋55]>0，上述方程有两个相异的实数根，设为t1，t2，
∴|AB|＝|t1－t2|＝＝8，
化简有3cos2α＋4sin αcos α＝0，
解得cos α＝0或tan α＝－，
从而可得直线l的直角坐标方程为x＋3＝0或3x＋4y＋15＝0.
6．已知动点P，Q都在曲线C：(t为参数)上，对应参数分别为t＝α与t＝2α(0＜α＜2π)，M为PQ的中点．
(1)求M的轨迹的参数方程；
(2)将M到坐标原点的距离d表示为α的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点．
解：(1)依题意有P(2cos α，2sin α)，Q(2cos 2α，2sin 2α), 因此M(cos α＋cos 2α，sin α＋sin 2α)．
M的轨迹的参数方程为(α为参数，0＜α＜2π)．
(2)M点到坐标原点的距离d＝＝(0＜α＜2π)．当α＝π时，d＝0，故M的轨迹过坐标原点．
7．(2017·河南六市第一次联考)在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为(t为参数)，在以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ＝相交于A，B两点．
(1)求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；
(2)若直线l与曲线C相交于A，B两点，求△AOB的面积．
解：(1)由曲线C的极坐标方程ρ＝，得ρ2sin2θ＝2ρcos θ，所以曲线C的直角坐标方程是y2＝2x(x≠0)．由直线l的参数方程得t＝3＋y，代入x＝1＋t中，消去t得x－y－4＝0，所以直线l的普通方程为x－y－4＝0.
(2)将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程y2＝2x，得t2－8t＋7＝0，设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则t1＋t2＝8，t1t2＝7，所以|AB|＝|t1－t2|＝×＝×＝6，因为原点到直线x－y－4＝0的距离d＝＝2，所以△AOB的面积是|AB|·d＝×6×2＝12.
8．极坐标系与直角坐标系xOy取相同的长度单位，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴．已知直线l的参数方程为(t为参数)．曲线C的极坐标方程为ρsin2θ＝8cos θ.
(1)求曲线C的直角坐标方程；
(2)设直线l与曲线C交于A，B两点，与x轴的交点为F，求＋的值．
解：(1)由ρsin2θ＝8cos θ得，ρ2sin2θ＝8ρcos θ，
∴曲线C的直角坐标方程为y2＝8x.
(2)易得直线l与x轴的交点为F(2,0)，将直线l的方程代入y2＝8x，得(tsin α)2＝8(2＋tcos α)，整理得sin2α·t2－8cos α·t－16＝0.由已知sin α≠0，Δ＝(－8cos α)2－4×(－16)sin2α＝64＞0，∴t1＋t2＝，t1t2＝－＜0，故＋＝＋＝＝＝＝ ＝.