非线性三阶时滞微分方程的振动性.pdf

第6 0卷2 0 2 4年第2期 西 北 师 范 大 学 学 报(自然科学版)V o l.6 0 2 0 2 4 N o.2 J o u r n a l o f N o r t h w e s t N o r m a l U n i v e r s i t y(N a t u r a l S c i e n c e)D O I:1 0.1 6 7 8 3/j.c n k i.n w n u z.2 0 2 4.0 2.0 0 4收稿日期:2 0 2 3 0 8 1 0;修改稿收到日期:2 0 2 3 0 9 1 8基金项目:国家自然科学基金资助项目(1 2 1 6 1 0 7 1);青海省科技厅资助项目(2 0 2 3-Z J-9 4 9 Q)作者简介:赵玉萍(1 9 7 5),女,青海西宁人,教授,硕士.主要研究方向为微分方程振动性.E m a i l:2 3 4 8 8 0 2 0 2q q.c o m非线性三阶时滞微分方程的振动性赵玉萍(青海民族大学 数学与统计学院,青海 西宁 8 1 0 0 0 7)摘要:利用R i c c a t i变换、不等式技巧和分析性质,研究了一类三阶非线性时滞微分方程解的振动性和渐近性,获得了该类方程振动的充分条件,最后用例子作了验证.关键词:时滞微分方程;R i c c a t i变换;振动性;渐近性;正解中图分类号:O 1 7 5.7 文献标志码:A 文章编号:1 0 0 1-9 8 8(2 0 2 4)0 2-0 0 2 1-0 5O s c i l l a t i o n c r i t e r i a f o r t h i r d o r d e r n o n l i n e a r d e l a yd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n sZ HAO Y u-p i n g(C o l l e g e o f M a t h e m a t i c s a n d S t a t i s t i c s,Q i n g h a i M i n z u U n i v e r s i t y,X i n i n g 8 1 0 0 0 7,Q i n g h a i,C h i n a)A b s t r a c t:B y u s i n g R i c c a t i t r a n s f o r m a t i o n,i n e q u a l i t y t e c h n i q u e s a n d a n a l y t i c a l p r o p e r t i e s,t h e o s c i l l a t i o n c r i t e r i a a n d a s y m p t o t i c b e h a v i o r o f s o l u t i o n s f o r a c l a s s o f t h i r d o r d e r n o n l i n e a r d e l a y d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s a r e s t u d i e d,t h e s u f f i c i e n t c o n d i t i o n s f o r t h e o s c i l l a t i o n o f t h e e q u a t i o n s a r e e s t a b l i s h e d.F i n a l l y,a n e x a m p l e i s u s e d t o v e r i f y i t.K e y w o r d s:d e l a y d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n;R i c c a t i t r a n s f o r m a t i o n;o s c i l l a t i o n c r i t e r i a;a s y m p t o t i c p r o p e r t y;p o s i t i v e s o l u t i o n0 引言近年来,高阶非线性微分方程的振动性问题被广泛应用在生物学、天体物理、人工智能和流体力学等高新技术领域,方程振动性的研究受到了很大关注,取得了许多重要结果1-1 2.文献1 研究了三阶线性时滞微分方程(r2(t)(r1(t)y(t)+q(t)y(t)=0,tt00的振动性,得到了方程振动的充分条件.文献2进一步研究了非线性时滞微分方程(r2(t)(r1(t)y(t)1)2)+q(t)y(t)=0,tt00的振动性,推广了文献1 的研究结果,得到了新的振动准则.受上述工作的启发,本文进一步改进文献2的研究结果,讨论三阶非线性时滞微分方程(r2(t)(r1(t)(y(t)1)2)+q(t)f(t,y(t)=0,tt00(1)的振动性和渐近性.这里,fC(t0,)R,R).本文假设下列条件成立:(H1)f(t,v)vk0,1,2和是两个正奇数的比;(H2)r1(t),r2(t),q(t)C(t0,+),(0,+),并且12西 北 师 范 大 学 学 报(自然科学版)第6 0卷 J o u r n a l o f N o r t h w e s t N o r m a l U n i v e r s i t y(N a t u r a l S c i e n c e)V o l.6 0 h1(t0)=t0r-111(s)ds,h2(t0)=t0r-122(s)ds0,l i mt(t)=.y(t)称为方程(1)的一个解,如果函数y(t),r1(t)(y(t)1和r2(t)(r1(t)(y(t)1)2连续可微,且在区间t0,)上y(t)满足方程(1).方程(1)的一个非平凡解称为振动的,如果它有任意大的零点,否则称为非振动的.方程(1)的一切解均 振 动,则 称 方 程(1)为 振 动 的.本 文 应 用R i c c a t i变 换、不 等 式 技 巧 和 分 析 性 质 研 究 方 程(1)解的振动性和渐近性,获得了该类方程的几个振动准则,推广和改进了现有文献的研究结果.为了书写方便,记L1y(t)=r1(t)(y(t)1,L2y(t)=r2(t)(r1(t)(y(t)1)2,L3y(t)=(r2(t)(r1(t)(y(t)1)2).1 基本引理为了证明本文结果,先介绍一个引理.引理1 设条件(H1)(H3)成立,若y(t)是方程(1)的正解,则当tt1t0时,y(t)只可能有下面4种性质:(i)y(t)0,L1y(t)0,L2y(t)0,L3y(t)0,L1y(t)0,L3y(t)0,L1y(t)0,L2y(t)0,L3y(t)0,L1y(t)0,L2y(t)0,L3y(t)0,y(t)0.由引理1,只可能有以下4种性质.(a)若y(t)满足性质(i),则L1y(t)=r1(t)(y(t)10,说明y(t)0,则存在t2t1,当tt2时,y(t)1,且-L3y(t)=q(t)f(t,y(t)k q(t)y(t)k lq(t).(4)对(4)式从t2到t积分得-L2y(t)-L2y(t2)+k ltt2q(s)ds k ltt2q(s)ds,-(L1y(t)r-122(t)k ltt2q(s)ds 12.对上式从t2到t积分可得-L1y(t)-L1y(t2)+(k l)12tt2r-122(u)ut2q(s)ds 12du (k l)12tt2r-122(u)ut2q(s)ds 12du,于是-y(t)(k l)121r-121(t)tt2r-122(u)ut2q(s)ds 12du 11.对上式从t2到t积分得y(t)y(t2)-(k l)121tt2r-121(v)vt2r-122(u)ut2q(s)ds 12du 11dv.由(2)式知当t时y(t)-,这与y(t)0矛盾.因此l i mty(t)=0.22 2 0 2 4年第2期 赵玉萍:非线性三阶时滞微分方程的振动性 2 0 2 4 N o.2O s c i l l a t i o n c r i t e r i a f o r t h i r d o r d e r n o n l i n e a r d e l a y d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s(b)若y(t)满足性质(i i),类似于情形(a)我们得到(4)式,再对(4)式从t2到t积分可得L2y(t)L2y(t2)-k ltt2q(s)ds.由(3)式,当t 时L2y(t)-,这 与L2y(t)0矛盾.因此l i mty(t)=0.(c)若y(t)满足性质(i i i).设w(t)=L2y(t)y(t),tt1,显然w(t)0.利用(1)式可得w(t)=L3y(t)y(t)-L2y(t)y-1(t)y(t)(t)y2(t)L3y(t)y(t)-k q(t).对上式从t1到t积分,得w(t)w(t1)-ktt1q(s)ds.由(3)式 知 当t 时w(t)-,这 与w(t)0矛盾.因此方程的解振动.(d)若y(t)满足性质(i v).当tt1时y(t)为单调递增函数.对(1)式从t1到t积分,得-L2y(t)=-L2y(t1)+tt1q(s)f(s,y(s)ds k y(t1)tt1q(s)ds,从而-(L1y(t)r-123(t)k y(t1)tt1q(s)ds 12.对上式从t1到t积分,得L1y(t)L1y(t1)-(k y(t1)12 tt1r-122(u)ut1q(s)ds 12du.由(3)式,当t 时L1y(t)-,这 与L1y(t)0矛盾.因此方程的解振动.】注1 定理1中方程(1)的非振动解只可能出现在引理1的性质(i)或(i i),在性质(i i i)和(i v)情形下方程不存在非振动解.定理2 若条件(H1)(H3)成立,y(t)满足引理1的性质(i i),设函数Q(t)=tr-111(s)h112(s)ds.(5)如果t0q(s)Q(s)ds=,(6)则存在t2t1t0,当tt2时,函数y(t)Q(t)单调递减趋于0.证明 先证l i mty(t)Q(t)=0.利用洛必达法则可得l i mty(t)Q(t)=-l i mtL1y(t)h2(t)11=l i mtL2y(t)112,(7)L3y(t)t1,当tt2时,L2y(t)单调递减.设l i mtL2y(t)=a,则a=0.否则如果a0,则存在t2t1,当tt2时,L2y(t)a0.于是y(t)a112Q(t).由(1)式可得-L3y(t)k a12q(t)Q(t),tt2.对上式从t2到t积分,得L2y(t)L2y(t2)-k a12tt2q(s)Q(s)ds.由(6)式,当t 时L2y(t)-,这 与L2y(t)0矛盾,因此l i mtL2y(t)=0.由(7)式可得l i mty(t)Q(t)=0,所以l i mty(t)=l i mtL1y(t)=0.(8)因为-L1y(t)=L1y()-L1y(t)=tr-122(s)(L2y(s)12ds (L2y(t)12h2(t),所以存在t3t2,当tt3时,有L1y(t)h2(t)=(L2(y(t)12h2(t)+L1y(t)r122(t)h22(t)0,于是当tt3时,函数L1y(t)h2(t)单调递增.结 合(8)式可得32西 北 师 范 大 学 学 报(自然科学版)第6 0卷 J o u r n a l o f N o r t h w e s t N o r m a l U n i v e r s i t y(N a t u r a l S c i e n c e)V o l.6 0 y(t)=y(t)-y()=-th112(s)(L1y(s)11r111(s)h112(s)ds -L1y(t)h2(t)11Q(t),所以存在t4t3,当tt4时,有y(t)Q(t)=(L1(y(t)11Q(t)+y(t)h112(t)r111(t)Q2(t)0,所以当tt4时,y(t)Q(t)是单调递减的.】推论1 若条件(H1)(H3)成立,满足引理1的性质(i i),设函数Q(t)=tr-111(s)h112(s)ds,如果(6)式成立,则存在t2t1,当tt2时,方程(1)的正解y(t)满足y(t)m Q(t),这里m0是一个常数.定理3 设条件(H1)(H3)成立,=12,若下列条件成立:l i m i n ftk11t(t)r-111(v)vt0r-122(u)ut0q(s)ds 12du 11dv1e,(9)l i m s u ptk11t(t)r-111(v)tvr-122(u)tuq(s)ds 12du 11dv1,(1 0)则方程(1)振动.证明 假设y(t)是方程(1)的非振动解,不失一般性,设y(t)是方程(1)的正解.当tt1t0时,y(t)0,y(t)0.由引理1可知,只可能有以下4种性质.(a)若y(t)满足性质(i),则当tt1时y(t)为单调递减函数.对(1)式从t1到t积分可得-L2y(t)=-L2y(t1)+tt1q(s)f(s,y(s)ds k y(t)t1t1q(s)ds,于是-(L1y(t)r-122(t)k y(t)tt2q(s)ds 12.对上式从t1到t积分,得-L1y(t)tt1(k y(u)12r-122(u)ut1q(s)ds 12du (k y(t)12tt1r-122(u)ut1q(s)ds 12du.(1 1)化简可得y+k11y12(t)r-111(t)tt1r-122(u)ut1q(s)ds 12du 110.利用=12可得y+k11y-11(t)tt1r-122(u)ut1q(s)ds 12du 11y(t)0.利用(9)式,由文献2 定理2.2知,上式没有正解,这与y(t)0矛盾.2)若y(t)满足性质(i i),则当tt1时,函数y(t)单调递减.对(1)式从t到u积分(这里tu)可得L2y(u)L2y(u)-L2y(t)=tuq(s)f(s,y(s)ds k y(t)tuq(s)ds,从而有(L1y(u)r-122(u)(k y(t)tuq(s)ds)12.对上式从u到t积分两次可得y(u)(k y(t)112tur-112(v)tvr-122(x)txq(s)ds 12dx 11dv=k1y(t)tur-111(v)tvr-122(x)txq(s)ds 12dx 11dv.(1 2)令(t)=u代入(1 2)式,这与(1 0)式矛盾.注意到(2)式是(9)式的必要条件,由注1可得引理1中在性质(i i i)和(i v)情形下方程(1)不存在非振动解.因此方程(1)振动.】注2 文献2 定理2.2是方程(1)中当f(t,42 2 0 2 4年第2期 赵玉萍:非线性三阶时滞微分方程的振动性 2 0 2 4 N o.2O s c i l l a t i o n c r i t e r i a f o r t h i r d o r d e r n o n l i n e a r d e l a y d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n sy(t)=y(t)时定理3的特殊情形.定理4 设条件(H1)(H3)成立,=12,若(6)式和(9)式成立,则存在t1t0,当tt1时,方程(1)的正解y(t)满足y(t)0是常数.证明 由定理3和推论1易证.】定理5 设条件(H1)(H3)成立,=12,若(1 0)式成立,且l i m s u ptk12h11(t)tt1r-122(u)ut1q(s)ds 12du1,(1 3)则方程(1)振动.证明 假设y(t)是方程(1)的非振动解,不失一般性,设y(t)是方程(1)的正解.当tt1t0时,y(t)0,y(t)0.由 引 理1可 知,y(t)只可能有4种性质.若y(t)满足性质(i),则当tt1时,函数y(t)单调递减,于是y(t)=y()-tr-111(s)(L1y(s)11ds -(L1y(t)11h1(t).(1 4)由(1 1)式和(1 4)式可得-L1y(t)(k y(t)12tt1r-122(u)ut1q(s)ds 12du -k12(L1y(t)12h21(t)tt1r-122(u)ut1q(s)ds 12du=-k12L1y(t)h21(t)tt1r-122(u)ut1q(s)ds 12du.化简得到k12h11(t)tt1r-122(u)ut1q(s)ds 12du1,这与(1 3)式矛盾.若y(t)满足引理1的性质(i i),其证明方法类似于定理3中(b)的情形,故略去.若y(t)满足引理1的性质(i i i)和(i v),注意到(3)式是(1 3)式的必要条件,应用与定理1中(c)和(d)相同的证明方法可得方程(1)的解振动.因此在引理1的4种情形下方程(1)都是振动的.】例1 考虑三阶非线性时滞微分方程 t3(t7(y(t)5)95+t2y35t2 =0,t1(1 5)的振动性.因为方程(1 5)满足定理1的条件,所以方程的每一个解y(t)振动或者l i mty(t)=0.参考文献:1 DZ UR I NA J,J A D L OV S KA I.O s c i l l a t i o n o f t h i r d-o r d e r d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s w i t h n o n c a n o n i c a l o p e r a t o r sJ.A p p l M a t h C o mp u t,2 0 1 8,3 3 6(1):3 9 4.2 YAO J i a n-l i,Z HANG X i a o-p i n g,YU J i a n-b a o.O s c i l l a t i o n o f t h i r d-o r d e r n o n l i n e a r d e l a y d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n sJ.A n n A p p l M a t h,2 0 2 0,3 6(4):4 1 6.3 林文贤.一类具阻尼项的三阶非线性中立型泛函微分方程的振动性J.中山大学学报(自然科学版),2 0 1 6,5 5(6):5.4 曾云辉,罗李平,汪志红,等.一类具阻尼项的三阶非线性中立型泛函微分方程的振动 性和 渐近 性J.振动与冲击,2 0 2 1,3 2(2):2 2.5 仉志余,宋菲菲,俞元洪.显含阻尼项的三阶非线性中立型Em d e n-F o w l e r微分方程的振动性和渐近性J.应用数学,2 0 2 0,3 3(3):1 2.6 贾对红.具有连续分布时滞的三阶中立型微分方程的振动性J.太 原 师范 学 院 学 报(自 然 科 学 版),2 0 2 1,2 0(2):1 7.7 刘一龙.时间尺度上三阶E m d e n-F o w l e r动力方程的振动准则J.浙江大学学报(理学版),2 0 1 4,4 1(3):7.8 汪皎月.三阶中立型微分方程的振动准则J.西南大学学报(自然科学版),2 0 1 4,3 3(3 6):6 7.9 AK TA M F,T I R VAK I A,Z A F E R A.O s c i l l a t i o n c r i t e r i a f o r t h i r d-o r d e r n o n l i n e a r f u n c t i o n a l d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n sJ.J o u r n a l o f T a i y u a n N o r m a l U n i v e r s i t y,2 0 2 0,2 3(7):7 5 6.1 0 YANG L u,X U Z e n g.O s c i l l a t i o n o f c e r t a i n t h i r d-o r d e r q u a s i l i n e a r n e u t r a l d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n sJ.M a t h e m a t i c a S l o v a c a,2 0 1 4,6 4(1):8 5.1 1 L I W e n g-x i a.O s c i l l a t i o n r e s u l t s o f P h i l o s-t y p e f o r t h i r d-o r d e r h a l f l i n e a r n e u t r a l d a m p e d d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n sJ.J o u r n a l o f A n h u i U n i v e r s i t y(N a t u r a l S c i e n c e E d i t i o n),2 0 1 6,3 3(5):8 9.1 2 高承华,吕莉.边界条件含有特征参数的二阶离散S t u r m-L i o u v i l l e问题 的 谱 J.西 北 师 范 大 学 学 报(自然科学版),2 0 1 9,5 5(6):1.(责任编辑 马宇鸿)52