上海市松江区2019届高三一模数学卷word版(附详细答案).pdf

高三数学 第 1 页 共 9 页松江区 2018 学年度第一学期期末质量监控试卷高三数学（满分 150 分，完卷时间 120 分钟）201812一、填空题一、填空题（本大题满分（本大题满分 5454 分）本大题共有分）本大题共有 1212 题，第题，第 1 16 6 题每个空格填对得题每个空格填对得 4 4 分，第分，第7 71212 题每个空格填对得题每个空格填对得 5 5 分，否则一律得零分分，否则一律得零分1设集合，则AB 1Ax x03xBxx2若复数满足，则 z(34)43i ziz 3已知函数的图像与函数的图像关于直线对称，且点()yf xxya(0,1)aayx在函数的图像上，则实数 (4,2)P()yf xa 4已知等差数列的前 10 项和为 30，则 na14710aaaa5若增广矩阵为的线性方程组无解，则实数的值为 mmmm2111m6已知双曲线标准方程为，则其焦点到渐近线的距离为 2213xy7若向量a，b满足7abb，且3a，2b，则向量a与b夹角为 8在中，内角、所对的边分别是、,若，ABCABCabc226,3cabC则ABC的面积 9若函数，则图像上关于原点对称的点共有 lg(1)1()sin0 xxf xxx xfy O对 10已知、是单位圆上三个互不相同的点，若，则的最ABC|ABAC AB AC 小值是 11已知向量，是平面内的一组基向量，为内的定点，对于内任意一点，1e2eOP当时，则称有序实数对为点的广义坐标若点的广义坐标分21eyexOPyx,PBA、别为对于下列命题：2211,yxyx、线段的中点的广义坐标为；BA、2,22121yyxx两点间的距离为；BA、221221yyxx高三数学 第 2 页 共 9 页向量平行于向量的充要条件是；OAOB1221yxyx向量垂直于向量的充要条件是OAOB02121yyxx其中的真命题是 （请写出所有真命题的序号）12已知函数的定义域为，且和对任意的)(xfR()()1f xfx(1)(1)4fxfx都成立若当时，的值域为，则当时，函数xR 1,0 x)(xf2,1 100,100 x 的值域为 )(xf二、选择题二、选择题(本大题满分本大题满分 2020 分分)本大题共有本大题共有 4 4 题，每题有且只有一个正确答案，选对得题，每题有且只有一个正确答案，选对得 5 5 分，分，否则一律得零分否则一律得零分13过点 且与直线垂直的直线方程是(0,1)210 xy A B 210 xy 210 xy C D 220 xy210 xy 14若，则是的 0a 0b xyabx ya bxaybA 充分非必要条件 B 必要非充分条件 C 充要条件 D 既非充分又非必要条件15将函数的图像向下平移 1 个单位，得到的图像，若()2sin(3)4f xx()g x，其中，则的最大值为12()()9g xg x12,0,4x x12xxABCD93753116对于平面上点和曲线，任取上一点，若线段的长度存在最小值，则称该PCCQPQ值为点到曲线的距离，记作若曲线是边长为的等边三角形，则点集PCCPd,C6所表示的图形的面积为1,|CPdPDA B363336C D363336三解答题（本大题满分三解答题（本大题满分 7676 分）本大题共有分）本大题共有 5 5 题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤规定区域内写出必要的步骤17（本题满分（本题满分 1414 分）本题共有分）本题共有 2 2 个小题，第个小题，第 1 1 小题满分小题满分 6 6 分，第分，第 2 2 小题满分小题满分 8 8 分分已知向量，(3sin,1)ax(cos,1)bx高三数学 第 3 页 共 9 页（1）若，求的值；abtan2x（2）若，求函数的最小正周期及当时的最大值()()f xabb)(xf2,0 x 18（本题满分（本题满分 1414 分）本题共有分）本题共有 2 2 个小题，第个小题，第 1 1 小题满分小题满分 6 6 分，第分，第 2 2 小题满分小题满分 8 8 分分已知函数（常数）2()21xf xaaR（1）讨论函数的奇偶性，并说明理由；)(xf（2）当为奇函数时，若对任意的，都有成立，求的最大值 )(xf2,3x()2xmf x m 19（本题满分（本题满分 1414 分）本题共有分）本题共有 2 2 个小题，第个小题，第 1 1 小题满分小题满分 7 7 分，第分，第 2 2 小题满分小题满分 7 7 分分某科技创新公司投资 400 万元研发了一款网络产品，产品上线第 1 个月的收入为 40 万元，预计在今后若干个月内,该产品每月的收入平均比上一月增长 50%同时，该产品第 1个月的维护费支出为 100 万元，以后每月的维护费支出平均比上一个月增加 50 万元(1)分别求出第 6 个月该产品的收入和维护费支出，并判断第 6 个月该产品的收入是否足够支付第 6 个月的维护费支出？(2)从第几个月起，该产品的总收入首次超过总支出？（总支出包括维护费支出和研发投资支出）20（本题满分（本题满分 1616 分）本题共有分）本题共有 3 3 个小题，第个小题，第 1 1 小题满分小题满分 4 4 分，第分，第 2 2 小题满分小题满分 6 6 分，第分，第3 3 小题满分小题满分 6 6 分分已知曲线上的任意一点到两定点、的距离之和为，直线 交1(1,0)F 2(1,0)F2 2l曲线于、两点，为坐标原点ABO高三数学 第 4 页 共 9 页（1）求曲线的方程；（2）若 不过点且不平行于坐标轴，记线段的中点为求证：直线的斜率lOABMOM与 的斜率的乘积为定值；l（3）若，求面积的取值范围 OAOBAOB2121（本题满分（本题满分 1818 分）本题共有分）本题共有 3 3 个小题，第个小题，第 1 1 小题满分小题满分 4 4 分，第分，第 2 2 小题满分小题满分 6 6 分，第分，第 3 3小题满分小题满分 8 8 分分对于给定数列，若数列满足：对任意，都有，na nb*Nn011nnnnbaba则称数列是数列的“相伴数列”nb na（1）若，且数列是的“相伴数列”，试写出的一个通项公式，并nnnbac nb na nc说明理由；（2）设，证明：不存在等差数列，使得数列是的“相伴数列”；12 nan nb nb na（3）设，（其中），若是的“相伴数列”，试分析实数12nna1nnqbb0q nb na的取值应满足的条件qb、2018.12松江区松江区 2018 学年度第一学期高三期末考试学年度第一学期高三期末考试数学试卷参考答案一、填空题一、填空题1；2 1 ；3 2 ；4 12；13xx5 -1；6 1；7 8 63 3294；10；11；12；121001002,212令，则有，即1tx()(2)4f tft4(2)()ftf t当时，又，0,1t21,2t()1,2f t 42,4()f t高三数学 第 5 页 共 9 页即当时，的值域为1,2x()f x2,4当时，的值域为0,2x()f x1,4)(4)2()2(4)()(1)(4)1()1(1)()(xfxfxfxfxfxfxfxfxfxf当时，的值域为，时，的值域为，2,4x()f x4,164,6x()f x616,2 依此类推可知，当时，的值域为，2,22xkk()f x2222,2kk当时，的值域为0,100 x()f x1001,2又，当时，1()()f xfx 100,0 x 0,100 x 100()1,2fx100()2,1f x综上，当时，函数的值域为.100,100 x)(xf1001002,2二、选择题13A 14B 15A 16D17解：（1）由得,，2 分/abrr3sincosxx 4 分3tan3x 6 分22tantan31tanxxx（2）8 分2()()3sin coscosf xabbxxxrrr 10 分3111sin2cos2sin(2)22262xxx函数的最小正周期为 12 分)(xf22T当时，2,0 x72666x当，即时，14 分262x6xmax3()()62f xf18解：（1）若为奇函数，必有 得，2 分)(xf(0)10fa 1a 当时，1a 221()12121xxxf x 2112()()2121xxxxfxf x 当且仅当时，为奇函数 4 分1a)(xf又，对任意实数，都有2(1)3fa4(1)3faa(1)(1)ff不可能是偶函数 6 分)(xf高三数学 第 6 页 共 9 页（2）由条件可得：恒成立，8 分222()2(1)(21)32121xxxxxmf x记，则由 得，10 分21xt 2,3x5,9t此时函数在上单调递增，12 分2()3g ttt 5,9t所以的最小值是，13 分()g t12(5)5g所以，即的最大值是 14 分125m m12519解：记产品从第一个月起，每个月的收入为数列，每个月的维护费支出为数列 na，nb则，4 分1340()2nna10050(1)nbn(1)第 6 个月的收入为：万元，56340()303.752a 第 6 个月的维护费为：万元，6 分610050(6 1)350b 第 6 个月的收入还不足以支付第 6 个月的维护费 7 分(2)到第个月，该产品的总收入为 9 分n340 1()3280()803212nnnS该产品的总支出为 11 分2(1)1005040025754002nn nTnnn由题意知，只需 ，即 12 分0nnST23515()(6)021616nnn由计算器解得满足上述不等式的最小正整数 n=10.从第 10 个月起，该产品的总收入首次超过总支出 14 分注：921023515()38.44,99639.75216163515()57.66,1010646.6321616 20.解：（1）由题意知曲线是以原点为中心，长轴在轴上的椭圆，1 分x设其标准方程为，则有，22221xyab2,1ac所以，4 分2221bac2212xy（2）证明：设直线 的方程为，5 分l(0,0)ykxb kb设112200(,),(,),(,)A x yB xyM xy高三数学 第 7 页 共 9 页则由 可得，即2212ykxbxy222()2xkxb222(12)4220kxkbxb，8 分122412kbxxk 12022212xxkbxk，2002221212k bbykxbbkk，9 分0012OMykxk 直线的斜率与 的斜率的乘积=为定值 10 分OMl1122OMkkkk （3）解法一：设1122(,),(,)A x yB xy则由知，即，11 分OAOB12120 x xy y1212x xy y 22221212x xy y 12 分2222222222112212122111222AOBSxyxyx xx yx y因、两点在椭圆上，有AB 即 也即 221122221212xyxy221122222222xyxy22221122(2)(2)4xyxy得 13 分222222122112522x yx yx x221211222AOBSx x 又由 得221122221212xyxy 2222222222121212121211(1)(1)1()2224xxy yxxx xx x 15 分22221212122()434xxx xx x2212409x x 16 分221211222,2232AOBSx x解法二：当直线、分别与坐标轴重合时，易知的面积，11 分OAOBAOB22AOBS当直线、的斜率均存在且不为零时，设直线、的方程为：、OAOBOAOBykx，点，1yxk 1122(,),(,)A x yB xy高三数学 第 8 页 共 9 页由 可得，2212ykxxy22222xk x，代入 得 12 分212221xkykx2212221kyk同理可得，222222kxk22222yk 13 分22221(1)2(21)(2)AOBkSOA OBkk令，21tk1,)t则 14 分222111111192(21)(1)2()24AOBtSOA OBttttt由知 15 分1,)t22,)32AOBS综上可知，16 分22,32AOBS2121 解：（1），2 分(1)nnc 此时，1211111()()(1)(1)(1)0nnnnnnnnnnnababaaaa 所以是数列的“相伴数列”4 分 nb na注：答案不唯一，只需是正负相间的数列 nc（2）证明，假设存在等差数列是的“相伴数列”，则有 5 分 nb na11b 若，则由 得，11b 12(1)(3)0bb23b 又由 得 23(3)(5)0bb35b 又因为是等差数列，所以，得，与矛盾 7 分 nb13226bbb23b 同理，当，则由 得，11b 12(1)(3)0bb23b 又由 得23(3)(5)0bb35b 又因为是等差数列，所以，得，与矛盾 9 分 nb13226bbb23b 所以，不存在等差数列，使得数列是的“相伴数列”10 分 nb nb na（3）由于，易知且，12nna0b1b当时，由于对任意，都有，1b11ab*Nn011nnnnbaba故只需，12 分22212100kkkkabab*()kN由于，所以当时，0q*,2Nkknnknabqb012故只需当时，*,12Nkknnkknabqb222高三数学 第 9 页 共 9 页即对恒成立，得；13 分bqk22*Nk2q当时，10 b，与矛盾，不符合题意；14 分11ab 220abqb02211baba当时，1b11ab 当时，*,12Nkknnknabqb02故只需当时，*,2Nkknnkknabqb12122即对恒成立，得；15 分bqk122*Nk2q当时，则，01b11ab 222abqb下证只需：若，则，2bq2bqbq2当时，*,12Nkknnknabqb02当时，*,2Nkknnkkkkknabbbbqb12122212122212符合题意 17 分综上所述，实数的取值应满足的条件为：qb、或 18 分 2,11qb，2,0,1bqb