数学分析期末复习(大字).doc

2009级数学分析（1）期末复习
第一部 各章内容基本要求
第一章 实数集与函数
1. 熟练掌握绝对值的三角不等式；理解实数的完备性、有理数的稠密性。
2. 熟练掌握有界集、无界集的概念；掌握上、下确界的概念及其等价刻画，明白上、下确界与最大、最小值的联系与区别；理解确界原理。
3. 掌握邻域、空心邻域的概念。
4. 掌握函数的概念及其表示方法；明白函数与其反函数的关系；理解函数是一种对应关系，函数未必都能画出图像；熟悉一些特殊函数取整函数、Dirichlet函数、符号函数及其表示。
5. 掌握基本初等函数与初等函数的概念。
6. 掌握函数的有界性、奇偶性、单调性、周期性，理解周期的概念。
例1. 分别求 的上、下确界，并证明之。
例2. 求集合的上、下确界，并证明之。
例3. 对任一实数集S，证明 sup S = sup {S È {sup S}}。
例4. 证明，任何函数 f 都可以写成一个奇函数与一个偶函数之和。
第二章 数列极限
1. 掌握数列极限的 e-N定义及其几何意义，明白极限是一种趋势，它与数列的任何有限多项无关（其任一子列都收敛且有同一极限）。
2. 掌握数列收敛性与有界性的关系。
3. 掌握收敛数列的极限唯一性、数列有界性、保号性、保序性。
4. 掌握单调有界收敛准则，两边夹定理，Cauchy收敛准则，子列收敛判别法。
5. 掌握极限四则运算性质，掌握一些常见的以0为极限的收敛数列其中
，懂得适时变形，并能熟练运用之。
例5. 用e-N语言证明 。
例6. 证明，若，则存在N > 0, 使得对 任意 n > N 有 。
例7. 证明，若 inf S Ï S, 则存在数列 xn Î S，使得
（1） xn 单调递减；
（2） 。
例8. 证明，若数列 { xn } 从某项开始恒满足 | xn - xn-1 | < 1/n2, 则数列 { xn }收敛【cauchy准则】。
例9. 求。【两边夹定理】
例10. 若,.证明:数列收敛，并求其极限。【单调有界收敛定理】
第三章 函数极限
1. 掌握函数极限的 e-d定义、e- M定义及其几何刻画，明白极限是一种趋势，它与函数在指定点的函数值无关。
2. 掌握函数左、右极限的定义及其与函数极限的关系，会用它判别分段函数在分段点处的极限存在性。
3. 掌握函数极限的唯一性、局部有界性、局部保号性。
4. 掌握函数极限存在的两边夹定理，Cauchy收敛准则以及归结原则，掌握单调有界函数的左右极限存在性准则。
5. 掌握无穷大量、无穷小量的概念、性质及其阶（同阶、高阶、等价），理解无穷小量与有界量乘积还是无穷小量；明白无穷大量与无界量的联系与区别；掌握等价无穷大量、无穷小量代换定理。
6. 掌握两个重要极限及其变形，熟记当x → 0时如下几个常用等价无穷小量：sin x~ x, ex – 1 ~ x, ln(1+ x ) ~ x, 1– cos x ~ x2/2, tan x ~ x, arcsin x ~ x, arctan x ~ x.
7. 掌握极限四则运算性质、复合函数极限法则。
8. 会用极限四则运算性质、复合函数极限法则、两个重要极限以及等价无穷小量代换定理计算各种极限，尤其是不定式极限（）。
9. 理解渐近线的概念及其含义，会求三种不同的渐近线。
例11. 用e-d语言证明 。
例12. 已知

求。
例13. 求
例14. 求
例15. 求
例16. 求
例17. 求下列曲线的渐近线：
（1）; (2)
第四章 函数的连续性
1. 掌握连续函数的概念及其四则运算、复合运算性质；理解初等函数的连续性；理解左、右连续与函数连续的关系，会用它判别分段函数在分段点处的连续性。
2. 掌握间断点的概念及其分类，会判断一些特殊函数或分段函数的间断点类别。
3. 掌握连续函数的局部有界性、局部保号性。
4. 掌握函数在区间上一致连续的概念，会证明函数的一致连续性和非一致连续性。
5. 理解有界闭区间上连续函数的有界性、最值性、介值性和一致连续性。
例18. 分别求函数 与Dirichlet函数D(x)的间断点及其类别.
例19. 求函数的间断点，并指出其类别。
例20. 求a，b的值，使得函数

为( - 2p, 2p)上的连续函数。
例21. 证明函数当a > 1 时在 [ 0, +¥ ) 上不一致连续；当0 < a £ 1 时在 [ 0, +¥ ) 上一致连续。
例22. 设函数f , g 都在区间I（有界或无界区间）一致连续且有界，则函数fg 在区间I一致连续。
例23. 设函数f , g 都在有界闭区间 [a, b] 连续，并且满足 ，则对任意点，必存在至少一点使得

例24. 设函数f在有界闭区间 [a, b] 连续，并且满足 ，则必存在至少一点使得
例25. 设函数f在某有界闭区间有定义，且在有理点上取值为无理数，在无理点上取值为有理数，求证：f不是连续函数。
第五章 导数和微分
1. 掌握导数与微分的概念，理解其实质及意义、联系与区别；清楚函数在一点处的可导性、连续性、极限存在性及有界性的关系；掌握左、右导数的概念及其与函数可导性的关系，并会用左、右导数判别分段函数在分段点处的可导性及导数计算。
2. 掌握函数导数的四则运算、复合运算、反函数的求导法则；熟记六种基本初等函数的导数；记住一些常见初等函数的导数公式；理解一阶微分形式的不变性。
3. 掌握含参量函数的一阶、二阶导数求法。
4. 掌握函数极值点、稳定点的定义及其关系；熟悉导函数的介值定理（Darboux定理）。
5. 理解高阶导数与高阶微分的概念；掌握函数乘积的高阶导数计算公式（莱布尼茨公式）。
6. 理解导数的几何意义与物理意义，会利用导数求曲线的切线及法线方程；会求用参数表示的函数的一阶及二阶导数；会用微分进行简单的近似计算。
例26. 求下列函数的导函数与微分：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）；
（7）；
（8）；
（9）；
（10）。
例27. 求使于可导.
例28. 设函数（m为正整数）．
试问：（1）m等于何值时，在连续；
（2）m等于何值时，在可导；
（3）m等于何值时，在连续．
例29. 求由参数方程决定的函数的导数.
例30. 求由下列参数方程决定的函数的二阶导数：
（1）；
（2）．
例31. 求下列函数的高阶导数：
（1），求；
（2），求；
（3）求。
例32. 求下列曲线在指定点P的切线方程和法线方程：
（1）； （2）；
（3），t = 0点P(1,0)．
第六章 微分中值定理及其应用
1. 掌握洛尔中值定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理的条件、结论及其含义与相互关系，能够灵活使用其解决一些存在性问题，证明一些不等式；理解这些定理条件的重要性和非必要性。
2. 掌握导数极限定理，并会用它判别分段函数在分段点处的可导性及导数计算。
3. 熟练掌握函数单调性的导数判别法，会据此计算函数的单调区间。
4. 熟练掌握函数极值的一、二阶导数判别法，能够熟练使用其解决一些应用性极值与最值问题；理解函数极值的高阶导数判别法。
5. 熟练掌握求不定式极限的洛必达法则，能够用其解决不定式极限问题（）。
6. 掌握泰勒多项式的概念，掌握泰勒定理（泰勒公式），理解泰勒定理的思想，会求指定函数在指定点的泰勒展式，并写出其皮亚诺型余项和拉格朗日型余项，会用泰勒多项式逼近函数。
例33. 证明：方程（³3为正整数，p, q, r，为实数）当为偶数时至多有4个实根；当为奇数时至多有3个实根。
例34. 求证：n次多项式最多有n个实根。
例35. 应用拉格朗日中值定理证明下列不等式：
（1） （2）
例36. 设函数二阶可导且, 利用Lagrange中值定理证明: .
例37. 应用函数的单调性证明下列不等式：
（1）
（2）
例38. 确定下列函数的单调区间：
（1） （2）
（3）
例39. 求下列函数的极值：
（1） （2）
（3） （4）
例40. 求下列函数在指定区间上的最大值与最小值
（1）
（2）
例41. 给定长为的线段，试把它分成两段，使以这两段为边所围成的矩形面积为最大.
例42. 求下列待定型的极限：
（1） （2）
（3） （4）
（5） （6）
（7） （8）
例43. 求下列函数的在指定点的指定阶数的泰勒展式，分别写出其皮亚诺型余项和拉格朗日型余项。
(1) ln x 在 x = 2处，n 阶展式。
(2) 在 x = 1处，3阶展式。
(3) 在 x = 0处，n 阶展式。
第二部 各类问题基本方法
一、证明问题
1. 确界问题求法与证明：
（1） 按照定义，证是上（下）界，是最小（大）上（下）界；
（2） 最大值（若存在）是上确界，最小值（若存在）是下确界。
2. 数列收敛性、函数极限存在性证明
（1） 用定义（e-N语言，e-d语言）；
（2） 单调有界收敛准则，证单调上升有上界或单调下降有下界；
（3） 两边夹定理，证介于两个具有相同极限的数列或函数之间；
（4） Cauchy收敛准则，证两项之差随下标增大而趋于0。
3. 连续性、一致连续性、非一致连续性证明
（1） 用定义；
（2） 用左右连续性（适合于分段函数在分段点处）；
（3） 用连续函数四则运算、复合运算性质；
（4） 用有界闭区间上连续函数的一致连续性；
（5） 分割区间，函数f在区间上一致连续当且仅当f在每个区间上一致连续性。
4. 可导性证明
（1） 用定义；
（2） 用左右导数（适合于分段函数在分段点处）；
（3） 用导数极限定理（适合于分段函数在分段点处）；
（4） 用可导函数四则运算、复合运算性质及反函数的可导性。
5. 函数的单调性与极值性证明
（1） 用定义；
（2） 用导数判别。
6. 根的存在性证明
（1） 连续函数介值定理，导函数介值定理；
（2） 微分中值定理，函数两零点之间存在其导函数的零点。
7. 不等式证明
（1） 用微分中值定理（拉格朗日微分中值定理。柯西微分中值定理）；
（2） 用函数单调性。
二、计算问题
1. 求极限
（1）用定义；
（2）用左右极限（适合于分段函数在分段点处）；
（3）用两边夹定理；
（4）用单调有界收敛准则，待定极限，导出方程，再解方程；
（5）用极限运算性质（熟悉一些基本的无穷大量级别，对于无穷大之商注意分子、分母同除以最大项；对于无理分式不定式要注意有理化以消去不定因子；对于无穷大量之差要懂得通过视其为1/0型通分转化为0比0型）；
（6）用两个重要极限及其变形（超越函数：幂指数函数、三角函数型）；
（7）用等价无穷小（大）量代换定理；
（8）用连续函数的性质、导数的定义；
（9）用Tailor展式；
（10）用洛必达法则（注意适时化简，并注意条件）。
2. 求导数、微分
（1）用定义（差商极限）；
（2）用左右导数（适合于分段函数在分段点处）；
（3）牢记1个基本关系（）、3个基本导数（常值、指数、正弦）、5条基本法则（线性和、积、商、复合、反函数）；
（4）熟记课本列举的基本求导公式。
3. 求单调区间、极值、最值
求导函数；求驻点、不可导点；分割区间；判断各区间上导函数的符号（列表）；决定单调性、极值性、最值性。
4. 求切线、法线方程
求导数以决定切线、法线斜率；求点坐标；按照点斜式写出切线、法线方程。
5. 求渐近线
用定义（取相关极限）
6. 求泰勒展式
（1） 按定义：求函数在指定点至指定阶的导数；写出泰勒系数；决定余项（皮亚诺余项、拉格朗日余项）；写出展式。
（2） 利用已知展式及变量替换。