数学分析期末复习(大字).doc

2009级数学分析（1）期末复习第一部 各章内容基本要求第一章 实数集与函数1. 熟练掌握绝对值的三角不等式；理解实数的完备性、有理数的稠密性。2. 熟练掌握有界集、无界集的概念；掌握上、下确界的概念及其等价刻画，明白上、下确界与最大、最小值的联系与区别；理解确界原理。3. 掌握邻域、空心邻域的概念。4. 掌握函数的概念及其表示方法；明白函数与其反函数的关系；理解函数是一种对应关系，函数未必都能画出图像；熟悉一些特殊函数取整函数、Dirichlet函数、符号函数及其表示。5. 掌握基本初等函数与初等函数的概念。6. 掌握函数的有界性、奇偶性、单调性、周期性，理解周期的概念。例1. 分别求 的上、下确界，并证明之。例2. 求集合的上、下确界，并证明之。例3. 对任一实数集S，证明 sup S = sup S sup S。例4. 证明，任何函数 f 都可以写成一个奇函数与一个偶函数之和。第二章 数列极限1. 掌握数列极限的 e-N定义及其几何意义，明白极限是一种趋势，它与数列的任何有限多项无关（其任一子列都收敛且有同一极限）。2. 掌握数列收敛性与有界性的关系。3. 掌握收敛数列的极限唯一性、数列有界性、保号性、保序性。4. 掌握单调有界收敛准则，两边夹定理，Cauchy收敛准则，子列收敛判别法。5. 掌握极限四则运算性质，掌握一些常见的以0为极限的收敛数列其中，懂得适时变形，并能熟练运用之。例5. 用e-N语言证明 。例6. 证明，若，则存在N 0, 使得对 任意 n N 有 。例7. 证明，若 inf S S, 则存在数列 xn S，使得（1） xn 单调递减；（2） 。例8. 证明，若数列 xn 从某项开始恒满足 | xn - xn-1 | 1 时在 0, + ) 上不一致连续；当0 a 1 时在 0, + ) 上一致连续。例22. 设函数f , g 都在区间I（有界或无界区间）一致连续且有界，则函数fg 在区间I一致连续。例23. 设函数f , g 都在有界闭区间 a, b 连续，并且满足 ，则对任意点，必存在至少一点使得例24. 设函数f在有界闭区间 a, b 连续，并且满足 ，则必存在至少一点使得例25. 设函数f在某有界闭区间有定义，且在有理点上取值为无理数，在无理点上取值为有理数，求证：f不是连续函数。第五章 导数和微分1. 掌握导数与微分的概念，理解其实质及意义、联系与区别；清楚函数在一点处的可导性、连续性、极限存在性及有界性的关系；掌握左、右导数的概念及其与函数可导性的关系，并会用左、右导数判别分段函数在分段点处的可导性及导数计算。2. 掌握函数导数的四则运算、复合运算、反函数的求导法则；熟记六种基本初等函数的导数；记住一些常见初等函数的导数公式；理解一阶微分形式的不变性。3. 掌握含参量函数的一阶、二阶导数求法。4. 掌握函数极值点、稳定点的定义及其关系；熟悉导函数的介值定理（Darboux定理）。5. 理解高阶导数与高阶微分的概念；掌握函数乘积的高阶导数计算公式（莱布尼茨公式）。6. 理解导数的几何意义与物理意义，会利用导数求曲线的切线及法线方程；会求用参数表示的函数的一阶及二阶导数；会用微分进行简单的近似计算。例26. 求下列函数的导函数与微分：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）。例27. 求使于可导. 例28. 设函数（m为正整数）试问：（1）m等于何值时，在连续；（2）m等于何值时，在可导；（3）m等于何值时，在连续例29. 求由参数方程决定的函数的导数.例30. 求由下列参数方程决定的函数的二阶导数：（1）；（2）例31. 求下列函数的高阶导数：（1），求；（2），求；（3）求。例32. 求下列曲线在指定点P的切线方程和法线方程：（1）； （2）；（3），t = 0点P(1,0)第六章 微分中值定理及其应用1. 掌握洛尔中值定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理的条件、结论及其含义与相互关系，能够灵活使用其解决一些存在性问题，证明一些不等式；理解这些定理条件的重要性和非必要性。2. 掌握导数极限定理，并会用它判别分段函数在分段点处的可导性及导数计算。3. 熟练掌握函数单调性的导数判别法，会据此计算函数的单调区间。4. 熟练掌握函数极值的一、二阶导数判别法，能够熟练使用其解决一些应用性极值与最值问题；理解函数极值的高阶导数判别法。5. 熟练掌握求不定式极限的洛必达法则，能够用其解决不定式极限问题（）。6. 掌握泰勒多项式的概念，掌握泰勒定理（泰勒公式），理解泰勒定理的思想，会求指定函数在指定点的泰勒展式，并写出其皮亚诺型余项和拉格朗日型余项，会用泰勒多项式逼近函数。例33. 证明：方程（3为正整数，p, q, r，为实数）当为偶数时至多有4个实根；当为奇数时至多有3个实根。例34. 求证：n次多项式最多有n个实根。例35. 应用拉格朗日中值定理证明下列不等式：（1） （2）例36. 设函数二阶可导且, 利用Lagrange中值定理证明: .例37. 应用函数的单调性证明下列不等式：（1） （2）例38. 确定下列函数的单调区间：（1） （2）（3）例39. 求下列函数的极值：（1） （2）（3） （4）例40. 求下列函数在指定区间上的最大值与最小值（1）（2）例41. 给定长为的线段，试把它分成两段，使以这两段为边所围成的矩形面积为最大.例42. 求下列待定型的极限：（1） （2）（3） （4）（5） （6）（7） （8）例43. 求下列函数的在指定点的指定阶数的泰勒展式，分别写出其皮亚诺型余项和拉格朗日型余项。(1) ln x 在 x = 2处，n 阶展式。(2) 在 x = 1处，3阶展式。(3) 在 x = 0处，n 阶展式。第二部 各类问题基本方法一、证明问题1. 确界问题求法与证明：（1） 按照定义，证是上（下）界，是最小（大）上（下）界；（2） 最大值（若存在）是上确界，最小值（若存在）是下确界。2. 数列收敛性、函数极限存在性证明（1） 用定义（e-N语言，e-d语言）；（2） 单调有界收敛准则，证单调上升有上界或单调下降有下界；（3） 两边夹定理，证介于两个具有相同极限的数列或函数之间；（4） Cauchy收敛准则，证两项之差随下标增大而趋于0。3. 连续性、一致连续性、非一致连续性证明（1） 用定义；（2） 用左右连续性（适合于分段函数在分段点处）；（3） 用连续函数四则运算、复合运算性质；（4） 用有界闭区间上连续函数的一致连续性；（5） 分割区间，函数f在区间上一致连续当且仅当f在每个区间上一致连续性。4. 可导性证明（1） 用定义；（2） 用左右导数（适合于分段函数在分段点处）；（3） 用导数极限定理（适合于分段函数在分段点处）；（4） 用可导函数四则运算、复合运算性质及反函数的可导性。5. 函数的单调性与极值性证明（1） 用定义；（2） 用导数判别。6. 根的存在性证明（1） 连续函数介值定理，导函数介值定理；（2） 微分中值定理，函数两零点之间存在其导函数的零点。7. 不等式证明（1） 用微分中值定理（拉格朗日微分中值定理。柯西微分中值定理）；（2） 用函数单调性。二、计算问题1. 求极限（1）用定义；（2）用左右极限（适合于分段函数在分段点处）；（3）用两边夹定理；（4）用单调有界收敛准则，待定极限，导出方程，再解方程；（5）用极限运算性质（熟悉一些基本的无穷大量级别，对于无穷大之商注意分子、分母同除以最大项；对于无理分式不定式要注意有理化以消去不定因子；对于无穷大量之差要懂得通过视其为1/0型通分转化为0比0型）；（6）用两个重要极限及其变形（超越函数：幂指数函数、三角函数型）；（7）用等价无穷小（大）量代换定理；（8）用连续函数的性质、导数的定义；（9）用Tailor展式；（10）用洛必达法则（注意适时化简，并注意条件）。2. 求导数、微分（1）用定义（差商极限）；（2）用左右导数（适合于分段函数在分段点处）；（3）牢记1个基本关系（）、3个基本导数（常值、指数、正弦）、5条基本法则（线性和、积、商、复合、反函数）；（4）熟记课本列举的基本求导公式。3. 求单调区间、极值、最值求导函数；求驻点、不可导点；分割区间；判断各区间上导函数的符号（列表）；决定单调性、极值性、最值性。4. 求切线、法线方程求导数以决定切线、法线斜率；求点坐标；按照点斜式写出切线、法线方程。5. 求渐近线用定义（取相关极限）6. 求泰勒展式（1） 按定义：求函数在指定点至指定阶的导数；写出泰勒系数；决定余项（皮亚诺余项、拉格朗日余项）；写出展式。（2） 利用已知展式及变量替换。