浅谈用复变函数理论证明代数学基本定理.docx

摘 要
伴随漫长的解方程历史探索中，数学家得出一元屡次方程解与次数关系的代数学根本定理，一直以来，学者们给出了不同的方法来证明这个定理。代数学根本定理在代数学中占有非常重要的地位，这篇论文将表达代数学根本定理的内容，并用复变函数理论中的刘维尔定理、儒歇定理、辐角原理、最大模原理、最小模原理、留数定理、柯西定理来证明代数学根本定理，并对这些证明方法进行说明、比拟与总结。
关键词：代数学根本定理； 辐角原理； 最大模原理； 最小模原理

Abstract
With a long history of exploration in the solution of equations, mathematicians come to a dollar many times the relationship between the number of equations and the fundamental theorem of algebra, has been, have given different ways to prove the theorem. Fundamental theorem of algebra in the algebra plays a very important position, this paper will describe the contents of the fundamental theorem of algebra and complex function theory with the Liouville theorem, Confucianism break theorem, argument principle, maximum modulus principle, the minimum Modulus principle, residue theorem, Cauchy's Theorem to prove the fundamental theorem of algebra, and the proof are described, compared and summarized.
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Keywords：Fundamental theorem of algebra; Argument principle; maximum modulus principle; minimum modulus principle
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目 录
前言 1
1代数学根本定理的第一种陈述方式的证明 1
1．1利用刘维尔定理证明 1
1.1.1刘维尔定理 1
1.1.2 证明过程 1
1.2利用最大模定理证明 2
1.2.1最大模原理 2
1.2.2 证明过程 2
1.3利用最小模定理证明 3
1.3.1最小模原理 3
1.3.2 证明过程 3
1.4利用柯西定理证明 4
1.4.1柯西定理 4
1.4.2 证明过程 4
2代数学根本定理的第二种陈述方式的证明 5
2.1利用儒歇定理证明 5
2.1.1儒歇定理 5
2.1.2 证明过程 6
2.2利用辐角原理证明 6
2.2.1辐角原理 6
2.2.2 证明过程 6
2.3利用留数定理证明 7
2.3.1留数定理 7
2.3.2 证明过程 8
参考文献 9
致谢 9

浅谈用复变函数理论证明代数学根本定理
前言
代数学根本定理在代数学中占有十分重要的地位。代数学根本定理的第一种陈述方式为：“任何一个一元次多项式在复数域内至少有一根〞，它的第二种陈述方式为：“任何一个一元次多项式在复数域内有个根，重根按重数计算〞，这两种陈述方式实际上是等价的。此定理假设用代数的方法证明，有些将是极其复杂的。但是，如果我们将复数域理解为复平面，将的根理解为它在复平面上的零点，那么我们就可以借助复变函数的理论去证明代数学根本定理。这种证明方法比拟简洁，方法也有多种，本文提出几种证明方法，其中个别方法在常见的复变函数的教材中已有涉及，如用刘维尔定理和儒歇定理证明代数学根本定理，但仍是有一些方法在复变函数教材中并未涉及。本论文将对利用复变函数中的相关定理证明代数学根本定理作进一步的探讨。
1代数学根本定理的第一种陈述方式的证明
1.1利用刘维尔定理证明
1.1.1刘维尔定理
刘维尔定理：有界整函数必为常数。
证明：是有界整函数，即，使得，
,,在上解析

令，可见，，从而在上恒等于常数。
1.1.2 证明过程
假设在平面上无零点
令为整函数
且当时，
对而言，是整函数
又
在上有界
由刘维尔定理：为常数，与不是常数矛盾
一元次方程在内至少有一个根。
刘维尔定理应用非常广泛。用刘维尔定理做证明题时常见的方法有两种：一种是利用反证法来证明，另一种是构造辅助函数来证明。而在刘维尔定理证明代数学根本定理的过程中巧妙地把这两种方法结合了起来。它的证明思路很清晰：利用反证法，并构造辅助函数，由为整函数且在上有界，得到为常数，这与假设相比得出矛盾，从而得出结论一元次方程在内至少有一个根。它的证明过程也很简洁，很容易让初学者理解和掌握。
1.2利用最大模定理证明
1.2.1最大模原理
最大模原理：设函数在区域内解析，且恒不为常数，那么在区域内任意点都取不到最大值。
证明：假定在内不恒等于一常数，那么是一区域
设在到达极大值
显然，,而且必有一充分小的邻域包含在内
于是在这邻域内可找到一点满足
从而在内有一点满足以及，这与所设矛盾
因此在内恒等于一常数。
1.2.2 证明过程
假设在平面上没有零点，即
那么在平面上解析
显然当且充分大时
有
因此，在上且充分大时，有
由最大模原理，有
特别地，在处，有
而这对于充分大的显然不成立
这就说明了“在平面上没有零点〞的假设是不成立的
从而可以得到在平面至少有一个零点
即一元次方程在内至少有一个根。
1.3利用最小模定理证明
1.3.1最小模原理
最小模原理：假设区域内不恒为常数的解析函数，在内的点有，那么不可能是在内的最小值。
1.3.2 证明过程
设
假设平面，有，并且
又因为在平面上解析，且不为常数
所以由最小模原理知：
只能在上取得 〔#〕
另一方面，，从而当充分大时，在上有，那么这与〔#〕式矛盾，所以假设不成立
即在复平面上至少存在一个零点
亦即一元次方程在内至少有一个根。
最小模原理与最大模原理在证明代数学根本定理的时候的证明方法是极其相似的：首先都是假设一元次方程在内无零点，然后通过在区域内某一点能取到最大值或最小值，但是却不是常数，与定理的内容产生矛盾，从而得出一元次方程在内至少有一个根。这两个定理证明的关键之处是找到在区域内能到达最大值或最小值的某一点，如果找到了这一点，那么我们所要解决的问题就会迎刃而解了。
1.4利用柯西定理证明
1.4.1柯西定理
柯西定理：设函数在整个平面上的单连通区域内解析，为内任何一条简单闭合曲线，那么。
1.4.2 证明过程
设，其中，
假设在平面上无零点，即对任意，有
于是在平面解析，由柯西定理〔其中是圆周〕 〔1〕
另一方面，=

其中函数满足当时，一致趋于零。
又因为
所以
，当 〔2〕
故
比拟与得，这与定理的条件矛盾
所以在平面上至少有一个零点
即一元次方程在内至少有一个根。
以上四种证明方法均采用反证法，假设一元次方程在内无零点，通过证明，得到的结论都是代数学根本定理的第一种陈述方式：“一元次方程在内至少有一个根〞。
2代数学根本定理的第二种陈述方式的证明
2.1利用儒歇定理证明
2.1.1儒歇定理
儒歇定理：设是在复平面上的一个有界区域，其边界是一条或有限条简单闭合曲线。设函数及在及所组成的闭区域上解析，并且在上，，那么在上，及的零点的个数相同。
证明：由于在上，，可见及在上都没有零点。如果及分别是及在内的零点的个数，那么有
，

下面证明,为此只需证明
当时，，从而点，总在平面上的圆盘内，当在上连续变动一周时，从起始值连续变动仍然回到它的起始值〔不围绕〕,亦即，于是得证，从而定理得证。
2.1.2 证明过程
设
令，
当在充分大的圆周上时〔不妨取〕

由儒歇定理：与在内部有相同个数的零点，即个零点
原方程在内有且仅有个根
这个证明的突破点在于取， 之后就能顺利地得到，然后由儒歇定理就能得到结论：原方程在内有且仅有个根。
2.2利用辐角原理证明
2.2.1辐角原理
辐角原理：设在闭围线上解析，在其内部除了个极点外解析，在上不为零，而在的内部有个零点，而一个级极点算作个极点。
它们在的内部均解析，且连续到
在上，
那么函数与在的内部有同样多(级算作个)的零点。
2.2.2 证明过程
设〔〕
显然，有唯一奇点，它是的级极点，即，所以，作一个充分大的圆，充分大，那么的所有零点都在内，设的全部零点个数为，由辐角原理〔其中〕
下面需证：
显然，由上式有
(*)
表示函数关于无穷远点的留数
而

其中以无穷远点为不低于级的零点。从上式可知关于无穷远点的留数为，因此，由〔*〕可知，，即证。
2.3利用留数定理证明
2.3.1留数定理
留数定理：设是在复平面上的一个有界区域，其边界是一条或有限条简单闭合曲线。设函数在内除去有孤立奇点，，…，外，在每一点都解析，并且它在上每一点也解析。那么我们有，这里沿的积分是按照关于区域的正向取的。
证明：以内每一个孤立奇点为心，作圆，使以它为边界的闭圆盘上每一点都在内，并且使任意两个这样的闭圆盘彼此无公共点。从中除去以这些为边界的闭圆盘得一区域，其边界是以及。在及其边界所组成的闭区域上，解析。因此根据柯西定理， ，这里沿的积分是按照关于区域的正向取的，沿的积分是按反时针方向取的。根据留数的定义，由此可立即推出。
2.3.2 证明过程
设
由知，存在正数，当时，有
这就是说的根只可能在圆盘之内，又因为在内解析
由留数定理得：，，表示在内部的零点个数
另一方面，根据在无穷远点的留数定义，有=
而当时，为的可去奇点
于是有，其中的最高次幂为
所以，，因此有
故在复平面上有且仅有个根
这三种证明方法都是采用直接证明的方法，得出代数学根本定理的第二种陈述方式：“一元次方程在内有且仅有个根〞。这些证明方法各有长处，在具体应用的时候可以做出适当的选择，快速有效地解决问题。

参考文献
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[2]余家荣.复变函数论[M].北京:高等教育出版社,2007
[3]杨露.代数学根本定理的推广[J].烟台师范学院学报(自然科学版),2000,16(2):150-152
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[5]张庆.利用复变函数的理论证明代数学根本定理[J].河北职工大学学报,1999年5月首卷第1期
[6]刘洪旭.代数学根本定理的引申及证明[J].辽宁师专学报,2006年12月第8卷第4期
[7]刘喜兰.代数学根本定理的几种非代数证明[J].雁北师院学报,1996年12月第12卷第6期

致谢
感谢老师的悉心指导！
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