Morita环上的F-Gorenstein平坦模.pdf

第6 0卷2 0 2 4年第1期 西 北 师 范 大 学 学 报(自然科学版)V o l.6 0 2 0 2 4 N o.1 J o u r n a l o f N o r t h w e s t N o r m a l U n i v e r s i t y(N a t u r a l S c i e n c e)D O I:1 0.1 6 7 8 3/j.c n k i.n w n u z.2 0 2 4.0 1.0 0 3收稿日期:2 0 2 3 0 2 0 5;修改稿收到日期:2 0 2 3 0 6 0 9作者简介:杨晓燕(1 9 8 0),女,甘肃张掖人,教授,博士,博士研究生导师.主要研究方向为环的同调理论.E m a i l:y x y 8 0 0 2 1 81 6 3.c o mM o r i t a环上的F-G o r e n s t e i n平坦模杨晓燕,汪 静(西北师范大学 数学与统计学院,甘肃 兰州 7 3 0 0 7 0)摘要:设(0,0)=ANMB 是M o r i t a环,其中A和B是环,N为(A,B)-双模,M为(B,A)-双模.证明了若双模M和N满足某些条件,则函子TA:M o d-AM o d-(0,0)和TB:M o d-BM o d-(0,0)保持F-G o r e n s t e i n平坦性.关键词:M o r i t a环;F-G o r e n s t e i n平坦模;平坦余挠模;余挠模中图分类号:O 1 5 3.3 文献标志码:A 文章编号:1 0 0 1-9 8 8(2 0 2 4)0 1-0 0 1 1-0 3F-G o r e n s t e i n f l a t m o d u l e s o v e r M o r i t a r i n g sYANG X i a o-y a n,WANG J i n g(C o l l e g e o f M a t h e m a t i c s a n d S t a t i s t i c s,N o r t h w e s t N o r m a l U n i v e r s i t y,L a n z h o u 7 3 0 0 7 0,G a n s u,C h i n a)A b s t r a c t:L e t(0,0)=ANMB b e a M o r i t a r i n g,w h e r e A a n d B a r e t w o r i n g s,N i s a (A,B)-b i m o d u l e a n d M i s a(B,A)-b i m o d u l e.I t i s p r o v e d t h a t t h e f u n c t o r s TA:M o d-AM o d-(0,0)a n d TB:M o d-BM o d-(0,0)p r e s e r v e F-G o r e n s t e i n f l a t i f t h e b i m o d u l e s M a n d N s a t i s f i e s s o m e c o n d i t i o n s.K e y w o r d s:M o r i t a r i n g;F-G o r e n s t e i n f l a t m o d u l e;f l a t c o t o r s i o n m o d u l e;c o t o r s i o n m o d u l e0 引言1 9 6 9年,A u s l a n d e r等在双边N o e t h e r环上,对有 限 生 成 模 引 入 了G-维 数 的 概 念.随 后,G o r e n s t e i n投 射 模、G o r e n s t e i n内 射 模 和G o r e n s t e i n平坦模的概念相继被引入,使得相对同调代数理论得到了极大发展.2 0 1 2年,A s a d o l l a h i等1引入了F-G o r e n s t e i n平坦模的定义.称左R-模M是F-G o r e n s t e i n平坦模,如果存在平坦左R-模的正合列F*:F-1F0F1F2使得MK e r(F0F1),并且对任意平坦余挠模W,序列H o mR(F*,W)正合.在环模理论中,M o r i t a环是一类重要的非交换环,在 各 个 代 数 分 支 都 有 重 要 应 用.近 来,M a o2构造了形式三角矩阵环上的G o r e n s t e i n平坦模.三角矩阵环是一种特殊的M o r i t a环.2 0 1 7年,G a o等3构造了M o r i t a环上的G o r e n s t e i n投射模,并证明了函子TA,TB在适当条件下保持G o r e n s t e i n投射性.越来越多的研究表明,函子TA,TB在M o r i t a环上模的研究中具有良好的性质,比如函子TA,TB保持自由性、投射性、平坦性、有限生成性及有限表示性等4-5.受以上研究的启发,本文研究具有零双模同态的M o r i t a环上的F-G o r e n s t e i n平坦模,给出了函子TA,TB保持F-G o r e n s t e i n平坦性的条件,最后给出了特殊M o r i t a环(0,0)=的几个推论.1 预备知识设A,B是两个环,N为(A,B)-双模,M为(B,A)-双模,:MANB为双模同态,:N11西 北 师 范 大 学 学 报(自然科学版)第6 0卷 J o u r n a l o f N o r t h w e s t N o r m a l U n i v e r s i t y(N a t u r a l S c i e n c e)V o l.6 0 BMA为双模同态.M o r i t a环定义为:(,)=ANMB ,其中(,)中的加法为对应元素相加,乘法定义为a nm b a n m b =a a+(nm)a n+n b m a+b m b b+(mn),其中m,m M,n,n N.假设(mn)m=m(nm),n(mn)=(nm)n,这个条件保证(,)是一个结合环.记M o r i t a环为(,).所有(,)-模构成的范畴等价于范畴M(),其中的对象是四元组(X,Y,f,g),XM o d-A,YM o d-B,fH o mB(MAX,Y),gH o mA(NBY,X),且使得下图可交换:设(X,Y,f,g)与(X,Y,f,g)为M()中的对象,则M()中的态射(X,Y,f,g)(X,Y,f,g)是态射对(a,b),其中a:XX 是A-模同态,b:YY 是B-模同态,且使得下图可交换:注13 设(,)=ANMB 是M o r i t a环,则M o d-(,)中的序列0(X1,Y1,f1,g1)(X2,Y2,f2,g2)(X3,Y3,f3,g3)0正合当且仅当M o d-A中的序列0 X1X2X3 0和M o d-B中的序列0 Y1Y2Y3 0都正合.注23 设(0,0)=ANMB 是M o r i t a环,I是恒等映射,则(i)对任意XM o d-A和A-模同态a:XX,函子TA:M o d-AM o d-(0,0)定义为TA(X)=(X,MAX,IMX,0),TA(a)=(a,IMa).(i i)对任意YM o d-B和B-模同态b:YY,函子TB:M o d-BM o d-(0,0)定义为TB(Y)=(NBY,Y,0,INY),TB(b)=(INb,b).(i i i)对任意XM o d-A和A-模同态a:XX,函子ZA:M o d-AM o d-A(0,0)定义为ZA(X)=(X,0,0,0),ZA(a)=(a,0).(i v)对任意YM o d-B和B-模同态b:YY,函子ZB:M o d-BM o d-(0,0)定义为ZB(Y)=(0,Y,0,0),ZB(b)=(0,b).(v)对任意(X,Y,f,g)M o d-(0,0)和(0,0)-模同态(a,b):(X,Y,f,g)(X,Y,f,g),函子UA:M o d-(0,0)M o d-A定义为UA(X,Y,f,g)=X,UA(a,b)=a.(v i)对 任 意(X,Y,f,g)M o d-(0,0)和(0,0)-模同态(a,b):(X,Y,f,g)(X,Y,f,g),函子UB:M o d-(0,0)M o d-B定义为UB(X,Y,f,g)=Y,UB(a,b)=b.2 M o r i t a环上的F-G o r e n s t e i n平坦模定理1 设(0,0)=ANMB 为M o r i t a环.(i)若TA(X)是F-G o r e n s t e i n平坦左(0,0)-模,f d(BM)且 对 任 意 余 挠 左A-模C,MAC是余挠左B-模,则X是F-G o r e n s t e i n平坦左A-模.反之,若X是F-G o r e n s t e i n平坦左A-模且f d(AM),则TA(X)是F-G o r e n s t e i n平坦左(0,0)-模.(i i)若TB(Y)是F-G o r e n s t e i n平坦左(0,0)-模,f d(AN)且 对 任 意 余 挠 左B-模G,NBG是余挠左A-模,则Y是F-G o r e n s t e i n平坦左B-模.反之,若Y是F-G o r e n s t e i n平坦左B-模且f d(NB),则TB(Y)是F-G o r e n s t e i n平坦左(0,0)-模.证明 我们只证明(i),(i i)的证明是对偶的.假设TA(X)是F-G o r e n s t e i n平坦左(0,0)-模.由定义可知,存在平坦左(0,0)-模正合列T*:(X-1,Y-1,f-1,g-1)(a-1,b-1)(X0,Y0,f0,g0)(a0,b0)(X1,Y1,f1,g1)(a1,b1)(X2,Y2,f2,g2)(a2,b2)21 2 0 2 4年第1期 杨晓燕等:M o r i t a环上的F-G o r e n s t e i n平坦模 2 0 2 4 N o.1F-G o r e n s t e i n f l a t m o d u l e s o v e r M o r i t a r i n g s使得TA(X)K e r(a0,b0),且对任意的平坦余挠左(0,0)-模W,复形H o m(0,0)(F*,W)正合.由文献4 推论8.9可知,存在平坦左A-模的正合列T*1:X-1a-1X0a0X1 a1X2a2使得XK e r(a0).对于任意的平坦余挠左A-模D,由假设和文献5 引理6.4可知,TA(D)=(D,MAD,IMD,0)是平坦余挠左(0,0)-模.由文献3 定理3.8可知,存在左(0,0)-模的正合列0ZB(MAD)TA(D)ZA(D)0由于BM的平坦维数有限,不妨设f d(BM)=m,于是由文献7 可知,对于任意右B-模L有T o rBm+1(L,M)D T o rBm+1(L,MAD)=0故MAD的平坦维数有限,所以ZB(MAD)是平坦维数有限的余挠左(0,0)-模.由文献1 定理4.5可知E x ti1(0,0)(TA(X),ZB(MAD)=0,所以有正合列0 H o m(0,0)(T*,ZB(MAD)H o m(0,0)(T*,TA(D)H o m(0,0)(T*,ZA(D)0因为H o m(0,0)(T*,ZB(MAD)和H o m(0,0)(T*,TA(D)正合,所以H o m(0,0)(T*,ZA(D)正合.由文献3 引理3.9,H o m(0,0)(T*,ZA(D)H o mA(T*1,D),所以H o mA(T*1,D)正合.故X是F-G o r e n s t e i n平坦左A-模.反之,设X是F-G o r e n s t e i n平坦左A-模,则由定义可知,存在平坦左A-模的正合列F*1:F-11-11F0101F11使得XK e r(01),且对任意的余挠左A-模C,H o mA(F*1,C)正合.因为MA的平坦维数有限,由文献8 引理2.3可知,MAF*1正合,所以存在平坦左(0,0)-模的正合列F*:TA(F-11)TA(-11)TA(F01)TA(01)TA(F11)使得TA(X)K e r(TA(01).对任意的平坦余挠左(0,0)-模W=(P,Q,f1,g1),由文献4 推论8.9和文献5 引理6.4可知,P是平坦余挠左A-模.由文献3 命题2.4可知,对任意iZ,有H o m(0,0)(TA(Fi1),(P,Q,f1,g1)H o mA(Fi1,P)于是由定义可知,H o m(0,0)(F*,(P,Q,f1,g1)H o mA(F*1,P)正合.由此可知,TA(X)是F-G o r e n s t e i n平坦左(0,0)-模.】推论1 设(0,0)=,其中是任意环,则对-模X,以下条件等价:(1)X是F-G o r e n s t e i n平坦模;(2)T1(X)=(X,X,IX,0)是F-G o r e n s t e i n平坦模;(3)T2(X)=(X,X,0,IX)是F-G o r e n s t e i n平坦模.引理1 设A和B是左凝聚环.若BM,AN是内射模,MA,NB是平坦模,则对任意左A-模X,左B-模Y,MAX,NBY是余挠模.证明 对任意左A-模X,取X的平坦分解F2F1F0XF0因为MA是平坦模,所以有正合列MAF2MAF1MAF0 MAX0又因为BM是内射模,所以由文献9 定理3.2.1 6可知MAFi是内射左B-模.取MAX的内射分解0MAXI0I1于是有余挠左B-模的正合复形MAF1MAF0I0 I1使得MAXK e r.从而由文献1 0 事实1.1可知,MAX是余挠左B-模.】类似地,可以得到NBY是余挠左A-模.推论2 设A和B是左凝聚环,双模M和N满足BM,AN是 内 射 模,MA,NB是 平 坦 模,则TA(X)是F-G o r e n s t e i n平坦左(0,0)-模当且仅当X是F-G o r e n s t e i n平 坦 左A-模,TB(Y)是F-G o r e n s t e i n平 坦 左(0,0)-模 当 且 仅 当Y是F-G o r e n s t e i n平坦左B-模.参考文献:1 A S A D O L L AH I J,S A L A R I AN S.C o h o m o l o g y t h e o r i e s b a s e d o n f l a t sJ.J o u r n a l o f A l g e b r a,2 0 1 2,3 5 3(1):9 3.(下转第2 9页)31 2 0 2 4年第1期 卫珍妮:具有饱和恢复率的S E I R时滞模型的行波解 2 0 2 4 N o.1T r a v e l i n g w a v e s o l u t i o n s f o r a d e l a y e d S E I R m o d e l w i t h s a t u r a t e d r e c o v e r y r a t eT r a v e l i n g w a v e s o f t h e s p r e a d o f a v i a n i n f l u e n z aJ.P r o c e e d i n g s o f t h e Am e r i c a n M a t h e m a t i c a l S o c i e t y,2 0 1 2,1 4 0(1 1):3 9 3 1.5 WAN G Z h i-c h e n g,WU J i a n-h o n g.T r a v e l l i n g w a v e s o f a d i f f u s i v e K e r m a c k-M c k e n d r i c k e p i d e m i c m o d e l w i t h n o n-l o c a l d e l a y e d t r a n s m i s s i o nJ.P r o c e e d i n g s o f t h e R o y a l S o c i e t y A,2 0 1 0,4 6 6(2 1 1 3):2 3 7.6 Z HAN G T i a n-r a n,WAN G W e n-d i.E x i s t e n c e o f t r a v e l i n g w a v e s o l u t i o n s f o r i n f l u e n z a m o d e l w i t h t r e a t m e n tJ.J o u r n a l o f M a t h e m a t i c a l A n a l y s i s a n d A p p l i c a t i o n s,2 0 1 4,4 1 9(1):4 6 9.7 B A I Z h e n-g u o,WU S h i-l i a n g.T r a v e l i n g w a v e s i n a d e l a y e d S I R e p i d e m i c m o d e l w i t h n o n l i n e a r i n c i d e n c eJ.A p p l i e d M a t h e m a t i c s a n d C o mp u t a t i o n,2 0 1 5,2 6 3:2 2 1.8 Z HAO L i n,Z HANG L i a n g,HUO H a i-f e n g.T r a v e l i n g w a v e s o l u t i o n s o f a d i f f u s i v e S E I R e p i d e m i c m o d e l w i t h n o n l i n e a r i n c i d e n c e r a t eJ.T a i w a n e s e J o u r n a l o f M a t h e m a t i c s,2 0 1 9,2 3(4):9 5 1.9 XU Z h i-t i n g.T r a v e l i n g w a v e s i n a K e r m a c k-M c k e n d r i c k e p i d e m i c m o d e l w i t h d i f f u s i o n a n d l a t e n t p e r i o dJ.N o n l i n e a r A n a l y s i s,2 0 1 4,1 1 1:6 6.1 0 T I AN B a o-c h u a n,YUAN R o n g.T r a v e l i n g w a v e s f o r a d i f f u s i v e S E I R e p i d e m i c m o d e l w i t h s t a n d a r d i n c i d e n c e sJ.S c i e n c e C h i n a M a t h e m a t i c s,2 0 1 7,6 0(5):8 1 3.1 1 XU Z h i-t i n g.T r a v e l i n g w a v e s f o r a d i f f u s i v e S E I R e p i d e m i c m o d e lJ.C o mm u n i c a t i o n s o n P u r e a n d A p p l i e d A n a l y s i s,2 0 1 6,1 5(3):8 7 1.1 2 S CHWA R T Z I B,S M I TH H L.I n f i n i t e s u b h a r m o n i c b i f u r c a t i o n i n a n S E I R e p i d e m i c m o d e lJ.J o u r n a l o f M a t h e m a t i c a l B i o l o g y,1 9 8 3,1 8(3):2 3 3.1 3 Z HOU X u e-y o n g,C U I J i n g-a n.A n a l y s i s o f s t a b i l i t y a n d b i f u r c a t i o n f o r a n S E I R e p i d e m i c m o d e l w i t h s a t u r a t e d r e c o v e r y r a t eJ.C o mm u n i c a t i o n s i n N o n l i n e a r S c i e n c e a n d N u m e r i c a l S i m u l a t i o n,2 0 1 1,1 6(1 1):4 4 3 8.1 4 MA R T I N R H,S M I TH H L.A b s t r a c t f u n c t i o n a l-d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s a n d r e a c t i o n-d i f f u s i o n s y s t e m sJ.T r a n s a c t i o n s o f t h e Am e r i c a n M a t h e m a t i c a l S o c i e t y,1 9 9 0,3 2 1(1):1.1 5 WU J i a n-h o n g.T h e o r y a n d A p p l i c a t i o n s o f P a r t i a l F u n c t i o n a l D i f f e r e n t i a l E q u a t i o n sM.N e w Y o r k:S p r i n g e r,1 9 9 6:5 0.1 6 WE N G P e n-x u a n,X U Z h i-t i n g.W a v e f r o n t s f o r a g l o b a l r e a c t i o n-d i f f u s i o n p o p u l a t i o n m o d e l w i t h i n f i n i t e d i s t r i b u t e d d e l a yJ.J o u r n a l o f M a t h e m a t i c a l A n a l y s i s a n d A p p l i c a t i o n s,2 0 0 8,3 4 5(1):5 2 2.(责任编辑 马宇鸿)(上接第1 3页)2 MAO L X.G o r e n s t e i n f l a t m o d u l e s a n d d i m e n s i o n s o v e r f o r m a l t r i a n g u l a r m a t r i x r i n g sJ.J o u r n a l o f P u r e a n d A p p l i e d A l g e b r a,2 0 2 0,2 2 4(4):1 0 6.3 G AO N,P S A R OU D AK I S C.G o r e n s t e i n h o m o l o g i c a l a s p e c t s o f m o n o m o r p h i s m c a t e g o r i e s v i a M o r i t a r i n g sJ.A l g e b r a s a n d R e p r e s e n t a t i o n T h e o r y,2 0 1 7,2 0(2):4 8 7.4 K R Y L OV P A,TUGAN B A E V A A.M o d u l e s o v e r f o r m a l m a t r i x r i n g sJ.J o u r n a l o f M a t h e m a t i c a l S c i e n c e s,2 0 1 0,1 7 1(2):2 4 8.5 YAN M Q,YAO H L.P u r e p r o j e c t i v e m o d u l e s a n d F P-i n j e c t i v e m o d u l e s o v e r M o r i t a r i n g sJ.F r o n t i e r s o f M a t h e m a t i c s i n C h i n a,2 0 2 0,1 5(6):1 2 6 5.6 K R Y L OV P A,TUG AN B A E V A A.F o r m a l M a t r i c e sM.C h a m,S w i t z e r l a n d:S p r i n g e r,2 0 1 7:3 1.7 CHR I S T E N S E N L W,F OX B Y H B,HO LM H.D e r i v e d C a t e g o r y M e t h o d s i n C o mm u t a t i v e A l g e b r aM.P r e p r i n t,2 0 2 2.h t t p s:/w w w.m a t h.t t u.e d u/l c h r i s t e/b o o k.h t m l.8 E NO CH S E E,C OR T S-I Z UR D I A G A M,TO R R E C I L L A S B.G o r e n s t e i n c o n d i t i o n s o v e r t r i a n g u l a r m a t r i x r i n g sJ.J o u r n a l o f P u r e a n d A p p l i e d A l g e b r a,2 0 1 4,2 1 8(8):1 5 4 4.9 E NO CH S E E,J E N D A O M G.R e l a t i v e H o m o l o g i c a l A l g e b r aM.B e r l i n:W a l t e r d e G r u y t e r,2 0 0 0.1 0 CHR I S T E N S E N L W,E S T R A D A S,L I AN G L,e t a l.A r e f i n e m e n t o f G o r e n s t e i n f l a t d i m e n s i o n v i a t h e f l a t-c o t o r s i o n t h e o r yJ.J o u r n a l o f A l g e b r a,2 0 2 1,5 6 7:3 4 6.(责任编辑 马宇鸿)92