寿光现代中学2022-2023学年数学高一上期末调研试题含解析.doc

2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题（本大题共10小题；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上.）
1．若将函数的图象上所有点的横坐标缩短为原来的一半（纵坐标不变），再将所得图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则下列说法正确的是（ ）
A.的最小正周期为 B.在区间上单调递减
C.图象的一条对称轴为直线 D.图象的一个对称中心为
2．函数的单调递减区间为
A.， B.，
C.， D.，
3．下列关于函数的说法不正确的是（ ）
A.在区间上单调递增
B.最小正周期是2
C.图象关于直线轴对称
D.图象关于点中心对称
4．已知角α的终边经过点，则等于（ ）
A. B.
C. D.
5．设P为函数图象上一点，O为坐标原点，则的最小值为（）
A.2 B.
C. D.
6．已知向量，，且，则
A. B.
C. D.
7．已知函数，且，则（ ）
A. B.
C. D.
8．用函数表示函数和中的较大者，记为：，若，，则的大致图像为（）
A. B.
C. D.
9．若关于x的不等式的解集为，则关于函数，下列说法不正确的是（）
A.在上单调递减 B.有2个零点，分别为1和3
C.在上单调递增 D.最小值是
10．设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题：
①若m⊥α，n∥α，则m⊥n
②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β
③若α⊥β，m⊂α，则m⊥β
④若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ
其中正确命题的序号是（　　）
A.和 B.和
C.和 D.和
二、填空题（本大题共5小题，请把答案填在答题卡中相应题中横线上）
11．过两直线2x+y-8=0和x-2y+1=0的交点,且平行于直线4x-3y-7=0的直线方程为_______________.
12．下列四个命题中：
①若奇函数在上单调递减，则它在上单调递增
②若偶函数在上单调递减，则它在上单调递增；
③若函数为奇函数，那么函数的图象关于点中心对称；
④若函数为偶函数，那么函数的图象关于直线轴对称；
正确的命题的序号是___________.
13．若函数是定义在上的偶函数，当时，．则当时，______，若，则实数的取值范围是_______.
14．若关于的不等式的解集为，则实数__________
15．下列函数图象与x轴都有交点，其中不能用二分法求其零点的是___________.（写出所有符合条件的序号）

三、解答题（本大题共6小题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
16．给定函数，，，用表示，中的较大者，记为.

（1）求函数的解析式并画出其图象；
（2）对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.
17．某企业生产，两种产品，根据市场调查与预测，产品的利润与投资成正比，其关系如图（1）所示；产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图（2）所示（注：利润和投资的单位均为万元）

图（1） 图（2）
（1）分别求，两种产品的利润关于投资的函数解析式
（2）已知该企业已筹集到18万元资金，并将全部投入，两种产品的生产
①若平均投入两种产品的生产，可获得多少利润？
②如果你是厂长，怎样分配这18万元投资，才能使该企业获得最大利润？其最大利润为多少万元？
18．已知函数，.
（1）求函数的值域；
（2）若存在实数，使得在上有解，求实数的取值范围.
19．已知分别是定义在上的奇函数和偶函数，且
（1）求的解析式；
（2）若时，对一切，使得恒成立，求实数的取值范围.
20．已知，，且
（1）求的定义域.
（2）判断的奇偶性，并说明理由.
21．若函数是定义在实数集上的奇函数，并且在区间上是单调递增的函数.
（1）研究并证明函数在区间上的单调性；
（2）若实数满足不等式，求实数的取值范围.

参考答案

一、选择题（本大题共10小题；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上.）
1、D
【解析】根据题意函数的图象上所有点的横坐标缩短为原来的一半（纵坐标不变），再将所得图象向左平移个单位长度，得到函数，即可求出最小正周期，把看成是整体，分别求的单调递减区间、对称轴、对称中心，在分别验证选项即可得到答案.
【详解】由于函数的图象上所有点的横坐标缩短为原来的一半（纵坐标不变），故函数的解析式为，再将所得图象向左平移个单位长度，.，故A错误；的单调减区间为，故在区间内不单调递减；图象的对称轴为，不存在使得图象的一条对称轴为直线，故C错误；图象的对称中心的横坐标为，当时，图象的一个对称中心为，故D正确.
故选：D.
2、D
【解析】由题意得
选D.
【点睛】函数的性质
(1).
(2)周期
(3)由 求对称轴
(4)由求增区间;
由求减区间
3、D
【解析】结合三角函数的性质，利用整体代换思想依次讨论各选项即可得答案.
【详解】当时，，此时函数为增函数，
所以函数在区间上单调递增，A选项正确；
由函数周期公式，B选项正确；
当时，，由于是的对称轴，故直线是函数的对称轴，C选项正确.
当时，，由于是的对称轴，故不是函数的中心对称，D选项错误；
故选：D.
4、D
【解析】由任意角三角函数的定义可得结果.
【详解】依题意得.
故选：D.
5、D
【解析】根据已知条件，结合两点之间的距离公式，以及基本不等式的公式，即可求解
【详解】为函数的图象上一点，
可设，
，
当且仅当，即时，等号成立
故的最小值为
故选：
6、D
【解析】分析：直接利用向量垂直的坐标表示得到m的方程，即得m的值.
详解：∵，∴，故答案为D.
点睛：（1）本题主要考查向量垂直的坐标表示，意在考查学生对该这些基础知识的掌握水平.(2) 设=,=，则
7、B
【解析】构造函数，判断的单调性和奇偶性，由此化简不等式，即得.
【详解】∵函数，
令，则，
∴的定义域为，，
所以函数为奇函数，
又，
当增大时，增大，即在上递增，
由，可得，即，
∴，
∴，即.
故选：B.
8、A
【解析】利用特殊值确定正确选项.
【详解】依题意，
，排除CD选项.
，排除B选项.
所以A选项正确.
故选：A
9、C
【解析】根据二次函数性质逐项判断可得答案.
【详解】方程的两个根是1和3，则函数图象的对称轴方程是，是开口向上的抛物线，A正确；C错误；
函数的两个零点是1和3，因此B正确；又，，，即，为最小值，D正确
故选：C.
10、B
【解析】根据空间直线和平面平行、垂直的性质分别进行判断即可
【详解】①若m⊥α，n∥α，则m⊥n成立，故①正确，
②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β不成立，两个平面没有关系，故②错误
③若α⊥β，m⊂α，则m⊥β不成立，可能m与β相交，故③错误，
④若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ，成立，故④正确，
故正确是①④，
故选B
【点睛】本题主要考查命题的真假判断，涉及空间直线和平面平行和垂直的判定和性质，考查学生的空间想象能力

二、填空题（本大题共5小题，请把答案填在答题卡中相应题中横线上）
11、
【解析】联立两直线方程求得交点坐标，求出平行于直线4x-3y-7=0的直线的斜率，由点斜式的直线方程，并化为一般式
【详解】联立 ，解得
∴两条直线2x+y-8=0和x-2y+1=0的交点为（3，2），
∵直线4x-3y-7=0的斜率为 ，
∴过两条直线2x+y-8=0和x-2y+1=0的交点，且平行于直线4x-3y-7=0的直线的方程为y-2=（x-3）
即为4x-3y-6=0
故答案为4x-3y-6=0
【点睛】本题考查了直线的一般式方程与直线平行的关系，训练了二元一次方程组的解法，是基础题
12、②③
【解析】根据奇函数、偶函数的性质可判断①②，结合平移变换可判断③④.
【详解】奇函数在关于原点对称的两个区间上具有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的两个区间上具有相反的单调性，故①错误，②正确；因为函数为奇函数，图象关于原点对称，的图象可以由的图象向右平移1个单位长度得到，故的图象关于点对称，故③正确；函数的图象可以由函数的图象向左平移1个单位长度得到，因为为偶函数，图象关于y轴对称，所以的图象关于直线轴对称，故④错误.
故答案为：②③
13、 ①. ②.
【解析】根据给定条件利用偶函数的定义即可求出时解析式；再借助函数在单调性即可求解作答.
【详解】因函数是定义在上的偶函数，且当时，，
则当时，，，
所以当时，；
依题意，在上单调递增，
则，解得，
所以实数的取值范围是.
故答案为：；
14、
【解析】先由不等式的解得到对应方程的根，再利用韦达定理，结合解得参数a即可.
【详解】关于的不等式的解集为，
则方程的两根为，则，
则由，得，即，
故.
故答案为：.
15、（1）（3）
【解析】根据二分法所求零点的特点，结合图象可确定结果.
【详解】用二分法只能求“变号零点”，（1），（3）中的函数零点不是“变号零点”，故不能用二分法求
故答案为：（1）（3）

三、解答题（本大题共6小题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
16、（1），作图见解析；
（2）.
【解析】（1）根据题意，分类讨论，结合一元二次不等式的解法进行求解并画出图象即可；
（2）构造新函数，利用分类讨论思想，结合二次函数的性质进行求解即可.
【小问1详解】
①当即时，，则，
②当即或时，，则，
故
图象如下：
【小问2详解】
由（1）得，当时，，
则在上恒成立等价于在上恒成立.
令，，
原问题等价于在上的最小值.
①当即时，在上单调递增，
则，故.
②当即时，在上单调递减，在上单调递增，
则，由时，，故不合题意.
综上所述，实数的取值范围为.
17、 (1) ，;(2) 当，两种产品分别投入2万元，16万元时，可使该企业获得最大利润，最大利润为万元
【解析】（1）设投资为万元（），设，，根据函数的图象，求得的值，即可得到函数的解析式；，
（2）①由（1）求得，，即可得到总利润．②设产品投入万元，产品投入万元，得到则，结合二次函数的图象与性质，即可求解
【详解】（1）设投资为万元（），，两种产品所获利润分别为，万元，
由题意可设，，其中，是不为零的常数
所以根据图象可得，，，，
所以，
（2）①由（1）得，，所以总利润为万元
②设产品投入万元，产品投入万元，该企业可获总利润为万元，
则，
令，则，且，
则，
当时，，此时，
当，两种产品分别投入2万元，16万元时，可使该企业获得最大利润，最大利润为万元
【点睛】本题主要考查了函数的实际应用问题，其中解答中能够从图象中准确地获取信息，利用待定系数法求得函数的解析式，再结合二次函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题
18、（1）
（2）
【解析】（1）结合题意得，，进而求解得值域为；
（2）由题知，进而换元得在上有解，再根据对勾函数求最值即可；
【小问1详解】
解：函数，
因为，
所以当时，，.
当时，，.
即.
当时，；
当时，.
综上：值域为.
【小问2详解】
解：可以化为
即：
令，，所以，
所以
所以在上有解
即在上有解
令，
则
而
当且仅当，即时取等号
所以实数的取值范围是
19、（1）;（2）综上或
【解析】（1）利用奇偶性构建方程组，解之即可；（2）恒成立等价于在恒成立（其中），
令，讨论二次项系数，利用三个“二次”的关系布列不等式组即可.
试题解析：
（1）①，，
分别是定义在上的奇函数和偶函数，②，由①②可知
（2）当时，，
令，即 ，
恒成立，
在恒成立.令
（ⅰ）当时，（舍）；
（ⅱ）法一：当时，
或 或
解得.
法二：由于，所以或 解得.
（ⅲ）当时，，解得综上或
点睛：研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，然后研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.
20、（1）；（2）偶函数，理由见解析.
【解析】（1）根据对数的真数大于零可求得和的定义域，取交集可得定义域；
（2）整理可得，验证得，得到函数为偶函数.
【详解】（1）令得：定义域为
令得：定义域为
的定义域为
（2）由题意得：，

为定义在上的偶函数
【点睛】本题考查函数定义域的求解、奇偶性的判断；求解函数定义域的关键是明确对数函数要求真数必须大于零，且需保证构成函数的每个部分都有意义.
21、（1）见解析；（2）.
【解析】（1）设，则，所以，根据在区间上是单调递增，可得，从而可得函数在区间上是单调递减函数；（2）先证明在区间上是单调递增的函数，根据奇偶性可得在区间上是单调递增的函数，再将变形为，可得，进而可得实数的取值范围.
试题解析：（1）设，显然恒成立.
设，则，， ，
则，
所以，
又在区间上是单调递增，所以 ，
即，
所以函数在区间上是单调递减函数.
（2）因为是定义在实数集上的奇函数，所以，
又因为在区间上是单调递增的函数，
所以当时， ，
当时，， ，
所以当，有.
设，则，所以，
即，所以，
所以在区间上是单调递增函数.
综上所述，在区间上是单调递增的函数.
所以由得，
即所以.
【方法点睛】本题主要考查函数的奇偶性的应用以及抽象函数与复合函数的单调性，属于难题.利用定义法判断函数的单调性的一般步骤是：（1）在已知区间上任取；（2）作差；（3）判断的符号（往往先分解因式，再判断各因式的符号）， 可得在已知区间上是增函数， 可得在已知区间上是减函数.